摘要: 相交性測試的目的是檢測兩個(gè)幾何圖元是否相交，在某些情況下還要求出相交部分，這些基本測試構(gòu)成了碰撞檢測系統(tǒng)的基礎(chǔ)。碰撞檢測用來防止物體互相穿越，或者使物體看起來好像互相被彈開。
我們將討論兩種不同類型的相交性測試：
（1）靜態(tài)測試檢測兩個(gè)靜止圖元是否相交。它是一種布爾型測試----也就是說，測試結(jié)果只有真（相交時(shí)）或假（不相交時(shí)）。如果兩個(gè)圖元相交，則可以獲取更多的信息。但一般來說，這種測試的目的只是返回一個(gè)布爾值。
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摘要: 考慮2D中的直線L，L由所有滿足p . n = d的點(diǎn)p組成。
其中n是單位向量，我們的目標(biāo)是對(duì)任意點(diǎn)q，找出直線L上距q距離最短的點(diǎn)q'，它是q投影到L上的結(jié)果。讓我們畫一條經(jīng)過q平行于L的輔助線M，如圖13.1所示。設(shè)nM和dM分別為直線方程的法向量和d值。因?yàn)長和M平行，所以它們的法向量相等：nM=n。又因?yàn)閝在M上，所以dM為q.n。
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摘要: 通過定義一個(gè)布爾函數(shù)f(x, y , z)，我們能夠隱式表示一個(gè)圖元。如果所指定的點(diǎn)在這個(gè)圖元上，這個(gè)布爾函數(shù)就為真；對(duì)于其他的點(diǎn)，這個(gè)布爾函數(shù)為假。例如等式：
x2+y2+z2 = 1
對(duì)中心在原點(diǎn)的單位球表面上的所有點(diǎn)為真，隱式表示法用于測試圖元是否包含某點(diǎn)時(shí)非常有用。
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摘要: 一般來說，多邊形是由頂點(diǎn)和邊構(gòu)成的平面物體。
簡單多邊形不包含"洞"，復(fù)雜多邊形可能包含"洞"（圖12.26）。簡單多邊形可以通過沿多邊形列出的所有頂點(diǎn)來描述（左手坐標(biāo)系中，通常以從多邊形正面看時(shí)的順時(shí)針方向列出所有點(diǎn)）。簡單多邊形的使用頻率比復(fù)雜多邊形高得多。
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摘要: 雖然我們經(jīng)常在3D中使用三角形，但三角形的表面是一個(gè)平面，它天生是一個(gè)2D物體。在3D中任意朝向的三角形表面上移動(dòng)是一件令人煩惱的事，最好是有一個(gè)坐標(biāo)空間與三角形表面相關(guān)聯(lián)且獨(dú)立于三角形所在的3D坐標(biāo)空間，重心坐標(biāo)空間正是這樣的坐標(biāo)空間。
三角形所在平面的任意點(diǎn)都能表示為頂點(diǎn)的加權(quán)平均值，這個(gè)權(quán)就稱作重心坐標(biāo)，從重心坐標(biāo)（b1，b2，b3）到標(biāo)準(zhǔn)3D坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換為：
（b1，b2，b3） <==> b1v1 + b2v2 + b3v3
公式12.21 從重心坐標(biāo)中計(jì)算3D點(diǎn)坐標(biāo)
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摘要: 三角形在建模和圖形學(xué)中有著極其重要的位置。復(fù)雜3D物體的表面，如車或人體，都是用三角形模擬的，像這樣一組相連的三角形稱作三角網(wǎng)格。
三角形是通過列出它的三個(gè)頂點(diǎn)來定義的。這些點(diǎn)的順序是非常重要的，在左手坐標(biāo)系中，當(dāng)從三角形"正面"看時(shí)，經(jīng)常以順時(shí)針方向列出這些點(diǎn)，設(shè)這三個(gè)頂點(diǎn)為v1、v2、v3。三角形位于一個(gè)平面中，這個(gè)平面的方程（法向量n和到原點(diǎn)的距離d）在很多應(yīng)用中非常重要。
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摘要: 在3D中，平面是到兩個(gè)點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合。平面完全是平的，沒有厚度，且無限延伸。
可以用類似于定義直線的方法來定義平面，平面的隱式定義由所有滿足平面方程的點(diǎn)p=(x, y, z)給出，平面方程的兩種記法如公式12.11所示:
ax + by + cz = d
p . n = d
公式12.11 平面方程
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摘要: 另一種常見的用來界定物體的幾何圖元是矩形邊界框，矩形邊界框可以是與軸對(duì)齊的或是任意方向的。軸對(duì)齊矩形邊界框有一個(gè)限制，就是它的邊必須垂直于坐標(biāo)軸。縮寫AABB常用來表示axially aligned bounding box(軸對(duì)齊矩形邊界框)，OBB用來表示oriented bounding box(方向矩形邊界框)。軸對(duì)齊矩形邊界框不僅容易創(chuàng)建，而且易于使用。
一個(gè)3D的AABB就是一個(gè)簡單的六面體，每一邊都平行于一個(gè)坐標(biāo)平面。矩形邊界框不一定是立方體，它的長、寬、高可以彼此不同。在圖12.10中，畫出了一些簡單的3D物體和它們的AABB。
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摘要: 2D中，可以使用公式12.3隱式表示直線：
ax + by = d
公式12.3 2D直線的隱式定義
另一種表示方法為，設(shè)向量n = [a, b]，用向量記法將公式12.3寫為公式12.4的形式：
p . n = d
公式12.4 用向量記法的2D直線的隱式定義
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摘要: 通過定義一個(gè)布爾函數(shù)f(x, y , z)，我們能夠隱式表示一個(gè)圖元。如果所指定的點(diǎn)在這個(gè)圖元上，這個(gè)布爾函數(shù)就為真；對(duì)于其他的點(diǎn)，這個(gè)布爾函數(shù)為假。例如等式：
x2+y2+z2 = 1
對(duì)中心在原點(diǎn)的單位球表面上的所有點(diǎn)為真，隱式表示法用于測試圖元是否包含某點(diǎn)時(shí)非常有用。
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