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重心坐標空間
雖然我們經常在3D中使用三角形，但三角形的表面是一個平面，它天生是一個2D物體。在3D中任意朝向的三角形表面上移動是一件令人煩惱的事，最好是有一個坐標空間與三角形表面相關聯且獨立于三角形所在的3D坐標空間，重心坐標空間正是這樣的坐標空間。
三角形所在平面的任意點都能表示為頂點的加權平均值，這個權就稱作重心坐標，從重心坐標（b1，b2，b3）到標準3D坐標的轉換為：
（b1，b2，b3） <==> b1v1 + b2v2 + b3v3
公式12.21 從重心坐標中計算3D點坐標
重心坐標的和總是1：
b1 + b2 + b3 = 1
b1、b2和b3的值是每個頂點對該點的"貢獻"或"權"。圖12.19展示了一些點和它們的重心坐標。
這里應注意以下幾點：
（1）三角形三個頂點的重心坐標都是單位向量：
(1, 0, 0) <==> v1
(0, 1, 0) <==> v2
(0, 0, 1) <==> v3
（2）在某頂點的相對邊上的所有點的對應重心坐標分量為0。例如，對于所有與v1相對邊上的點，b1=0。
（3）不只是三角形內的點，該平面上的所有點都能用重心坐標描述。三角形內點的重心坐標在范圍0到1之間變化，三角形外的點至少有一個坐標為負。重心坐標用和原三角形大小相同的塊嵌滿整個平面，如圖12.20所示：
重心坐標空間的本質不同于笛卡爾坐標空間。這是因為重心坐標空間是2D的，但卻使用了三個坐標。又因為坐標的和等于1，所以重心坐標空間僅有兩個自由度，有一個分量是冗余的。從另一方面說，重心坐標空間中僅用兩個數就能完全的描述一個點，用這兩個數就可以計算出第三個。
要將一個點從重心坐標空間轉換到普通的3D坐標空間，只需要應用公式12.21來計算頂點加權平均值就可以了。而計算2D或3D中任意一點的重心坐標就稍微困難一些。讓我們看看怎樣在2D中做到這一點。見圖12.21，它標出了三個頂點v1、v2、v3和p。我們還標出了三個"子三角形"T1、T2、T3，它們和同樣下標的頂點相對。
現在，我們知道的是三個頂點和點p的笛卡爾坐標，而任務就是要計算重心坐標b1，b2和b3。根據這些已知條件可以列出三個等式和三個未知數（x，y為頂點）
仔細觀察公式12.22，發現每個表達式中的分母相同，并且都等于三角形面積的兩倍（根據公式12.20）。還有，對每個重心坐標bi，其分子等于"子三角形"Ti面積的兩倍。換據說說：
b1 = A(T1) / A(T)
b2 = A(T2) / A(T)
b3 = A(T3) / A(T)
公式12.23 把重心坐標解釋為面積比
注意，即使p在三角形外，這個解釋也是成立的，這是因為如果頂點以逆時針方向列出，計算面積的公式將得到一個負值。如果三角形的三個頂點共線，分母上的"子三角形"的面積為0，重心坐標也就沒有定義。
計算3D中任意點的重心坐標比在2D中復雜，不能再像以前那樣解一個方程組了，因為有三個未知數和四個方程。另一個導致復雜性的地方是p可能不在三角形所在的平面中，這時重心坐標沒有意義，但現在我們假設p在三角形所在的平面上。
一種技巧是通過拋棄x、y、z中的一個分量，將3D問題轉化到2D中，這和將三角形投影到三個基本平面中某一個上的原理相同。理論上，這是能解決問題的，因為投影面積和原面積成比例。
那么應該拋棄哪個坐標呢？不能總是拋棄某一個，因為如果三角形垂直于某個平面，投影點將共線。如果三角形接近垂直于投影平面，會遇到浮點數精度問題。一種解決方法是挑選投影平面，使得投影面積最大。這可以通過檢查平面的法向量做到，我們要拋棄的就是絕對值最大的坐標。例如，法向量為[-1, 0, 0]，我們將拋棄頂點p的x分量，把三角形投影到yz平面。下面的代碼展示了怎樣計算3D中任意點的重心坐標：
Listing 12.3: Computing barycentric coordinates in 3D
bool computeBarycentricCoords3d(
const Vector3 v[3], // vertices of the triangle
const Vector3 &p, // point that we wish to compute coords for
float b[3] // barycentric coords returned here
)
{
// First, compute two clockwise edge vectors
Vector3 d1 = v[1] – v[0];
Vector3 d2 = v[2] – v[1];
// Compute surface normal using cross product. In many cases
// this step could be skipped, since we would have the surface
// normal precomputed. We do not need to normalize it, although
// if a precomputed normal was normalized, it would be OK.
Vector3 n = crossProduct(d1, d2);
// Locate dominant axis of normal, and select plane of projection
float u1, u2, u3, u4;
float v1, v2, v3, v4;
if ((fabs(n.x) >= fabs(n.y)) && (fabs(n.x) >= fabs(n.z)))
{
// Discard x, project onto yz plane
u1 = v[0].y – v[2].y;
u2 = v[1].y – v[2].y;
u3 = p.y – v[0].y;
u4 = p.y – v[2].y;
v1 = v[0].z – v[2].z;
v2 = v[1].z – v[2].z;
v3 = p.z – v[0].z;
v4 = p.z – v[2].z;
}
else if (fabs(n.y) >= fabs(n.z))
{
// Discard y, project onto xz plane
u1 = v[0].z – v[2].z;
u2 = v[1].z – v[2].z;
u3 = p.z – v[0].z;
u4 = p.z – v[2].z;
v1 = v[0].x – v[2].x;
v2 = v[1].x – v[2].x;
v3 = p.x – v[0].x;
v4 = p.x – v[2].x;
}
else
{
u1 = v[0].x – v[2].x;
u2 = v[1].x – v[2].x;
u3 = p.x – v[0].x;
u4 = p.x – v[2].x;
v1 = v[0].y – v[2].y;
v2 = v[1].y – v[2].y;
v3 = p.y – v[0].y;
v4 = p.y – v[2].y;
}
// Compute denominator, check for invalid
float denom = v1 * u2 – v2 * u1;
if (denom == 0.0f)
{
// Bogus triangle - probably triangle has zero area
return false;
}
// Compute barycentric coordinates
float oneOverDenom = 1.0f / denom;
b[0] = (v4*u2 – v2*u4) * oneOverDenom;
b[1] = (v1*u3 – v3*u1) * oneOverDenom;
b[2] = 1.0f – b[0] – b[1];
// OK
return true;
}
另一種計算3D重心坐標的方法基于用向量叉乘計算3D
三角形面積的方法。給出三角形的兩個邊向量e1和e2，三角形面積為||
e1x
e2|| / 2
。一旦有了整個三角形的面積和三個"
子三角形"的面積，就能計算重心坐標了。
還有一個小小的問題：叉乘的大小對頂點的順序不敏感。根據定義，叉乘大小總是正的。這種方法不適用于三角形外的點，因為它們至少有一個負的重心坐標。
看看能否找到解決問題的思路。當頂點以"不正確"的順序列出時，向量叉乘的大小可能會是負值，我們需要一種正確計算的方法。幸運的是，有一種非常簡單的方法能做到這一點：點乘。
設c為三角形兩個邊向量的叉乘，c的大小等于三角形面積的兩倍。設有一個單位法向量n，n和c是平行的，因為它們都垂直于三角形所在的平面。當然，它們的方向可能是相反的。兩向量的點乘等于它們大小的積再乘以它們夾角的cos值。因為n是單位向量，不管n和c方向相同還是相反，都有：
c . n = ||c|| ||n|| cosθ = ||c|| (1) (±1) = ±||c||
將這個面積除以2，就得到了3D中三角形的"有符號"面積。有了這個技巧，就能利用前一節的結論：bi就是"子三角形"Ti的面積占整個三角形面積的比。如圖12.22所示，標出了所有用到的向量。
正如你所看到的，每個頂點都有一個向量di，它從vi指向p，列出這些向量滿足的方程：
注意到所有的分子和分母中都有n，因此，實際上并不必單位化n。此時，分母為n . n。
這種計算重心坐標的方法比向2D投影的方法用到了更多的標量數學運算。但是它沒有分支，并為向量處理器提供了更多的優化機會。因此它在有向量處理器的超標量體系結構中會更快一些。
特殊點
重心是三角形的最佳平衡點，它是三角形三條中線的交點（中線指從頂點到對邊中點的連線）。圖12.23展示了一個三角形的重心。
重心是三個頂點的幾何均值：
cgrav = (v1+ v2 + v3) / 3
重心坐標為：
(1/3, 1/3, 1/3)
重心也被稱作質心。
內心是指到三角形各邊距離相等的點。之所以稱作內心是因為它是三角形內切圓的圓心，內心是角平分線的交點，如圖12.24所示：
內心的計算：
cin = (L1v1 + L2v2 + L3v3) / p
p = L1 + L2 + L3是三角形的周長，因此，內心的重心坐標為：
（L1/p, L2/p,L3/p）
內切圓的半徑可由三角形面積除以周長求得：
rin = A/p
內切圓解決了尋找與三條直線相切的圓的問題。
外心是三角形中到各頂點距離相等的點，它是三角形外接圓的圓心。外心是各邊垂直平分線的交點。圖12.25展示了一個三角形的外心。
為了計算外心，先定義以下臨時變量：
外心和外接圓半徑解決了尋找過三個點的圓的問題。