一般來說，方陣能描述任意線性變換。線性變換保留了直線和平行線，但原點沒有移動。線性變換保留直線的同時，其他的幾何性質如長度、角度、面積和體積可能被變換改變了。從非技術意義上說，線性變換可能“拉伸”坐標系，但不會“彎曲”或“卷折”坐標系。

矩陣是怎樣變換向量的

向量在幾何上能被解釋成一系列與軸平行的位移，一般來說，任意向量v都能寫成“擴展”形式：

另一種略有差別的形式為：

注意右邊的單位向量就是x，y，z軸，這里只是將概念數(shù)學化，向量的每個坐標都表明了平行于相應坐標軸的有向位移。

讓我們將上面的向量和重寫一遍，這次分別將p、q、r定義為指向+x，+y和+z方向的單位向量，如下所示：

v = xp + yq + zr

現(xiàn)在，向量v就被表示成向量p，q，r的線性變換了，向量p，q，r稱作基向量。這里基向量是笛卡爾坐標軸，但事實上，一個坐標系能用任意3個基向量定義，當然這三個基向量要線性無關（也就是不在同一平面上）。以p、q、r為行構建一個3 x 3矩陣M，可得到如下矩陣：

用一個向量乘以該矩陣，得到：

如果把矩陣的行解釋為坐標系的基向量，那么乘以該矩陣就相當于執(zhí)行了一次坐標轉換，如果aM=b，我們就可以說，M將a轉換到b。

從這點看，術語“轉換”和“乘法”是等價的。

坦率地說，矩陣并不神秘，它只是用一種緊湊的方式來表達坐標轉換所需的數(shù)學運算。進一步，用線性代數(shù)操作矩陣，是一種進行簡單轉換或導出更復雜轉換的簡便方法。

矩陣的形式：

基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩陣M：

用基向量[1, 0, 0]乘以M時，結果是M的第1行。其他兩行也有同樣的結果，這是一個關鍵的發(fā)現(xiàn)：矩陣的每一行都能解釋為轉換后的基向量。

這個強有力的概念有兩條重要性質：

1、有了一種簡單的方法來形象化解釋矩陣所代表的變換。

2、有了反向建立矩陣的可能 ---- 給出一個期望的變換（如旋轉、縮放等），能夠構造一個矩陣代表此變換。我們所要做的一切就是計算基向量的變換，然后將變換后的基向量填入矩陣。

首先來看看2D例子，一個2 x 2矩陣：

這個矩陣代表的變換是什么？首先，從矩陣中抽出基向量p和q：

p = [2   1]

q = [-1  2]

圖7.1以“原”基向量（x軸，y軸）為參考，在笛卡爾平面中展示了這些向量。

、

如圖7.1所示，x基向量變換至上面的p向量，y基向量變換至q向量。所以2D中想象矩陣的方法就是想象由行向量構成的“L”形狀。這個例子中，能夠很清楚的看到，M代表的部分變換是逆時針旋轉26度。

當然，所有向量都被線性變換所影響，不只是基向量，從“L”形狀能夠得到變換最直觀的印象，把基向量構成的整個2D平行四邊形畫完整有助于進一步看到變換對其他向量的影響，如圖7.2所示：

平行四邊形稱作“偏轉盒”，在盒子中畫一個物體有助于理解，如圖 7.3 所示：

很明顯，矩陣M不僅旋轉坐標系，還會拉伸它。

這種技術也能應用到3D轉換中。2D中有兩個基向量，構成"L"型；3D中有三個基向量，它們形成一個”三腳架“。首先，讓我們展示出一個轉換前的物品。圖7.4展示了一個茶壺，一個立方體。基向量在”單位“向量處。

（為了不使圖形混亂，沒有標出z軸基向量[0, 0, 1]，它被茶壺和立方體擋住了。）

現(xiàn)在，考慮以下3D變換矩陣：

從矩陣的行中抽出基向量，能想象出該矩陣所代表的變換。變換后的基向量、立方體、茶壺如圖7.5所示：

這個變換包含z軸順時針旋轉45度和不規(guī)則縮放，使得茶壺比以前”高“。注意，變換并沒有影響到z軸，因為矩陣的第三行是[0, 0 , 1]。