隱式表示

通過定義一個布爾函數(shù)f(x, y , z)，我們能夠隱式表示一個圖元。如果所指定的點在這個圖元上，這個布爾函數(shù)就為真；對于其他的點，這個布爾函數(shù)為假。例如等式：

x²+y²+z² = 1

對中心在原點的單位球表面上的所有點為真，隱式表示法用于測試圖元是否包含某點時非常有用。

參數(shù)形式表示

圖元也能以參數(shù)形式表示。我們從一個簡單的2D例子開始，定義如下兩個關于t的函數(shù)：

x(t) = cos2πt

y(t) = sin2πt

這里t被稱作參數(shù)，并和所用的坐標系無關。當t從0變化到1時，點(x(t)，y(t))的軌跡就是所要描述的形狀。這組等式表示的是一個中心在原點的單位元（如圖12.1所示）：

盡管可以讓t在我們想要的任意范圍內(nèi)變化，但是在大多數(shù)情況下，把參數(shù)的變換范圍限制在0到1之間會比較方便一些。另一種常見的變換范圍是從0到L，L是圖元的"長度"。

如果函數(shù)只使用一個參數(shù)，就稱這些函數(shù)為單變量的，單變量函數(shù)的軌跡是一條曲線。有時候函數(shù)可能有多于一個的參數(shù)，雙變量函數(shù)接受兩個參數(shù)，經(jīng)常設為s和t，雙變量函數(shù)的軌跡是一個曲面。

直接形式表示

我們將這組表示方法命名為直接法，是因為沒有更好的術語來描述它們。它們隨圖元的類型而變化，而且經(jīng)常能直接體現(xiàn)圖元最本質和明顯的信息。例如，用兩個端點來表示一個線段，用球心和半徑來表示一個球。直接形式是最便于人們直接使用的形式。

自由度

每個幾何圖元都有一個固有的屬性：自由度。自由度是無歧義地描述該實體所需信息量的最小數(shù)目。有趣的是，同一幾何圖元，不同表示方法所用到的自由度是不同的。然而，我們會發(fā)現(xiàn)"多余"的自由度數(shù)量經(jīng)常是由于圖元參數(shù)化中的冗余造成的，這些冗余可以通過一些適當?shù)募僭O條件來消除，如假設向量為單位長度。

直線和射線

在經(jīng)典幾何中，仍使用的是下列定義:

（1）直線向兩個方向無限延伸。

（2）線段是直線的有限部分，有兩個端點。

（3）射線是直線的"一半"，有一個起點并向一個方向無限延伸。

在計算機科學和計算幾何中，存在著這些定義的許多變種。這里仍使用直線和線段的經(jīng)典定義，但對射線的定義做出修改：

（4）射線就是有向線段。

對我們來說，射線有起點和終點。這樣，一條射線定義了一個位置，一個有限長度和一個方向（除非射線長度為0）。任何射線都定義了包含這個射線的一條直線和線段。射線在計算幾何和圖形學中占有非常重要的位置。如圖12.2：

兩點表示法

描述射線最直觀的方法是給出兩個端點：起點P_org和終點P_end，如圖12.3所示：

射線的參數(shù)形式

2D和3D射線都能用參數(shù)形式表示，2D射線的參數(shù)形式使用兩個函數(shù)，如公式12.1所示：

x(t) = x₀ + t△x

y(t) = y₀ + t△y

公式12.1   2D射線的參數(shù)形式

3D射線是對2D的一種直接擴展，只需加上第三個函數(shù)z(t)即可，參數(shù)t的范圍從0到 1。

向量記法能使射線的參數(shù)形式更加緊湊，在任意維度中表示射線都可以用這種形式。如公式12.2所示：

p(t) = p₀ + td

公式12.2   用向量記法表示的射線參數(shù)形式

射線的起點p(0) = p₀  這樣，p₀指定了射線的位置信息，同時增量向量d指定了它的長度和方向。射線的終點p(1) = p₀ + d，如圖12.4 所示：

在一些相交性測試中，我們可能使用公式12.2的一種變形：d為單位向量，參數(shù)t從0變化到L，L是射線的長度。