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EOJ 1096 棋盤分割（動態規劃）

/*
2

EOJ 1096 棋盤分割
3

----題目描述：
6

將一個 8*8 的棋盤進行如下分割：
8

將原棋盤割下一塊矩形棋盤并使剩下部分也是矩形，再將剩下部分繼續如此分割，
9

這樣割了 n-1 次后，連同最后剩下的矩形棋盤共有 n 塊矩形棋盤。
10

每次切割都只能沿著棋盤格子的邊進行。
11

原棋盤上每一格有一個分值，一塊矩形棋盤的總分為其所含各格分值之和。
13

現需要把棋盤按上述規則分割成 n 塊矩形棋盤，并使各矩形棋盤總分的均方差最小。
14

均方差 O' = sqrt( sigma((x[i]-avgX) * (x[i]-avgX)) / n )；
16

平均值 avgX = sigma(x[i]) / n；
17

其中 x[i] 為第 i 塊矩形棋盤的分。
18

請編程對給出的棋盤及 n，求出 O' 的最小值。
21

----輸入：
23

第 1 行為一個整數n(1 <= n <= 15 )；
25

第 2 行至第 9 行每行為 8 個小于 100 的非負整數，表示棋盤上相應格子的分值。每行相鄰兩數之間用一個空格分隔。
26

----輸出：
29

僅一個數，為O'（四舍五入精確到小數點后三位）。
31

----樣例輸入：
33

3
35

1 1 1 1 1 1 1 3
36

1 1 1 1 1 1 1 1
37

1 1 1 1 1 1 1 1
38

1 1 1 1 1 1 1 1
39

1 1 1 1 1 1 1 1
40

1 1 1 1 1 1 1 1
41

1 1 1 1 1 1 1 0
42

1 1 1 1 1 1 0 3
43

----樣例輸出：
45

1.633
47

----分析：
50

對給定棋盤和 n，
52

可以確定 avgX，
53

而為了確定 O'，可以窮舉所有可能的切割方案，從而找到最小值，
54

具體實現為記憶化搜索，或者動態規劃，以減少冗余計算。
55

具體見代碼注釋。
57

*/
58

/*************************************************************
62

版本四
63

實現同版本三，
64

修改之處為，
65

部分數組由 double 改為 int 且去掉了一個數組 a[][] 。
66

具體見代碼。
68

*/
69

/*
70

#include <stdio.h>
71

#include <math.h>
72

#define L 9
74

#define N 16
75

#define INF 1e150
76

int n, s[ L ][ L ];
78

double avgX, f[ L ][ L ][ L ][ L ][ N ];
79

void init() {
81

int i, j, u, v, k;
82

for ( i = 0; i < L; ++i ) {
83

s[ 0 ][ i ] = s[ i ][ 0 ] = 0;
84

}
85

for ( i = 1; i < L; ++i ) {
86

for ( j = 1; j < L; ++j ) {
87

s[ i ][ j ] = s[ i-1 ][ j ] + s[ i ][ j-1 ] - s[ i-1 ][ j-1 ] + s[ i ][ j ];
88

}
89

}
90

for ( i = 0; i < L; ++i ) {
91

for ( j = 0; j < L; ++j ) {
92

for ( u = 0; u < L; ++u ) {
93

for ( v = 0; v < L; ++v ) {
94

for ( k = 0; k < N; ++k ) {
95

f[i][j][u][v][k] = INF * 3;
96

}
97

}
98

}
99

}
100

}
101

avgX = ((double)(s[ L-1 ][ L-1 ])) / n;
102

}
103

104

double solve( int i, int j, int u, int v, int m ) {
105

double tmp, tf;
106

int p;
107

108

if ( INF * 2 > f[i][j][u][v][m] ) {
109

return f[i][j][u][v][m];
110

}
111

112

if ( 0 == m ) {
113

tmp = s[u][v] - s[i-1][v] - s[u][j-1] + s[i-1][j-1] - avgX;
114

return ( f[i][j][u][v][m] = tmp * tmp );
115

}
116

tf = INF;
117

for ( p = j; p < v; ++p ) {
118

tmp = solve(i,j,u,p,0) + solve(i,p+1,u,v,m-1);
119

if ( tmp < tf ) {
120

tf = tmp;
121

}
122

tmp = solve(i,j,u,p,m-1) + solve(i,p+1,u,v,0);
123

if ( tmp < tf ) {
124

tf = tmp;
125

}
126

}
127

for ( p = i; p < u; ++p ) {
128

tmp = solve(i,j,p,v,0) + solve(p+1,j,u,v,m-1);
129

if ( tmp < tf ) {
130

tf = tmp;
131

}
132

tmp = solve(i,j,p,v,m-1) + solve(p+1,j,u,v,0);
133

if ( tmp < tf ) {
134

tf = tmp;
135

}
136

}
137

return ( f[i][j][u][v][m] = tf );
138

}
139

140

int main() {
141

int i, j;
142

double ans;
143

scanf( "%d", &n );
144

for ( i = 1; i < L; ++i ) {
145

for ( j = 1; j < L; ++j ) {
146

scanf( "%d", &s[i][j] );
147

}
148

}
149

init();
150

ans = sqrt( solve(1, 1, L-1, L-1, n-1) / n );
151

printf( "%0.3lf\n", ans );
152

return 0;
153

}
154

*/
155

156

157

/*************************************************************
158

版本三
159

思路同版本二，記憶化搜索，
160

修改之處為，
161

對于無解的情況也要記憶，而版本二中忽略了這一點。
162

163

具體見代碼。
164

*/
165

/*
166

#include <stdio.h>
167

#include <math.h>
168

169

#define L 9
170

#define N 16
171

#define INF 1e150
172

173

int n;
174

double avgX, a[ L ][ L ], s[ L ][ L ], f[ L ][ L ][ L ][ L ][ N ];
175

176

void init() {
177

int i, j, u, v, k;
178

for ( i = 0; i < L; ++i ) {
179

s[ 0 ][ i ] = s[ i ][ 0 ] = 0;
180

}
181

for ( i = 1; i < L; ++i ) {
182

for ( j = 1; j < L; ++j ) {
183

s[ i ][ j ] = s[ i-1 ][ j ] + s[ i ][ j-1 ] - s[ i-1 ][ j-1 ] + a[ i ][ j ];
184

}
185

}
186

for ( i = 0; i < L; ++i ) {
187

for ( j = 0; j < L; ++j ) {
188

for ( u = 0; u < L; ++u ) {
189

for ( v = 0; v < L; ++v ) {
190

for ( k = 0; k < N; ++k ) {
191

f[i][j][u][v][k] = INF * 3;
192

}
193

}
194

}
195

}
196

}
197

avgX = s[ L-1 ][ L-1 ] / n;
198

}
199

200

double solve( int i, int j, int u, int v, int m ) {
201

double tmp, tf;
202

int p;
203

204

if ( INF * 2 > f[i][j][u][v][m] ) {
205

return f[i][j][u][v][m];
206

}
207

208

if ( 0 == m ) {
209

tmp = s[u][v] - s[i-1][v] - s[u][j-1] + s[i-1][j-1] - avgX;
210

return ( f[i][j][u][v][m] = tmp * tmp );
211

}
212

tf = INF;
213

for ( p = j; p < v; ++p ) {
214

tmp = solve(i,j,u,p,0) + solve(i,p+1,u,v,m-1);
215

if ( tmp < tf ) {
216

tf = tmp;
217

}
218

tmp = solve(i,j,u,p,m-1) + solve(i,p+1,u,v,0);
219

if ( tmp < tf ) {
220

tf = tmp;
221

}
222

}
223

for ( p = i; p < u; ++p ) {
224

tmp = solve(i,j,p,v,0) + solve(p+1,j,u,v,m-1);
225

if ( tmp < tf ) {
226

tf = tmp;
227

}
228

tmp = solve(i,j,p,v,m-1) + solve(p+1,j,u,v,0);
229

if ( tmp < tf ) {
230

tf = tmp;
231

}
232

}
233

return ( f[i][j][u][v][m] = tf );
234

}
235

236

int main() {
237

int i, j;
238

double ans;
239

scanf( "%d", &n );
240

for ( i = 1; i < L; ++i ) {
241

for ( j = 1; j < L; ++j ) {
242

scanf( "%lf", &a[i][j] );
243

}
244

}
245

init();
246

ans = sqrt( solve(1, 1, L-1, L-1, n-1) / n );
247

printf( "%0.3lf\n", ans );
248

return 0;
249

}
250

*/
251

252

253

/*************************************************************
254

版本二（TLE）
255

記憶化搜索。
256

257

函數 double solve( int i, int j, int u, int v, int m )
258

求解棋盤某局部切割 m 次所得到的最小 sigma((x[?]-avgX) * (x[?]-avgX))，
259

其中 x[?] 為從此局部中切割出的某塊矩形棋盤的分。
260

261

計算過程實現為窮舉本局部所有可行的切割方案，在窮舉中遞歸計算子問題。
262

263

計算后使用數組記錄本次計算的結果，
264

若再次計算相同的問題，則直接從數組中讀出，而不必重新計算。
265

266

具體見代碼。
267

*/
268

/*
269

#include <stdio.h>
270

#include <math.h>
271

272

#define L 9
273

#define N 16
274

#define INF 1e150
275

276

int n;
277

double avgX, a[ L ][ L ], s[ L ][ L ], f[ L ][ L ][ L ][ L ][ N ];
278

279

void init() {
280

int i, j, u, v, k;
281

for ( i = 0; i < L; ++i ) {
282

s[ 0 ][ i ] = s[ i ][ 0 ] = 0;
283

}
284

for ( i = 1; i < L; ++i ) {
285

for ( j = 1; j < L; ++j ) {
286

s[ i ][ j ] = s[ i-1 ][ j ] + s[ i ][ j-1 ] - s[ i-1 ][ j-1 ] + a[ i ][ j ];
287

}
288

}
289

for ( i = 0; i < L; ++i ) {
290

for ( j = 0; j < L; ++j ) {
291

for ( u = 0; u < L; ++u ) {
292

for ( v = 0; v < L; ++v ) {
293

for ( k = 0; k < N; ++k ) {
294

f[i][j][u][v][k] = INF + INF;
295

}
296

}
297

}
298

}
299

}
300

avgX = s[ L-1 ][ L-1 ] / n;
301

}
302

303

double solve( int i, int j, int u, int v, int m ) {
304

double tmp, tf;
305

int p;
306

307

if ( INF > f[i][j][u][v][m] ) {
308

return f[i][j][u][v][m];
309

}
310

311

if ( 0 == m ) {
312

tmp = s[u][v] - s[i-1][v] - s[u][j-1] + s[i-1][j-1] - avgX;
313

return ( f[i][j][u][v][m] = tmp * tmp );
314

}
315

tf = INF + INF;
316

for ( p = j; p < v; ++p ) {
317

tmp = solve(i,j,u,p,0) + solve(i,p+1,u,v,m-1);
318

if ( tmp < tf ) {
319

tf = tmp;
320

}
321

tmp = solve(i,j,u,p,m-1) + solve(i,p+1,u,v,0);
322

if ( tmp < tf ) {
323

tf = tmp;
324

}
325

}
326

for ( p = i; p < u; ++p ) {
327

tmp = solve(i,j,p,v,0) + solve(p+1,j,u,v,m-1);
328

if ( tmp < tf ) {
329

tf = tmp;
330

}
331

tmp = solve(i,j,p,v,m-1) + solve(p+1,j,u,v,0);
332

if ( tmp < tf ) {
333

tf = tmp;
334

}
335

}
336

return ( f[i][j][u][v][m] = tf );
337

}
338

339

int main() {
340

int i, j;
341

double ans;
342

scanf( "%d", &n );
343

for ( i = 1; i < L; ++i ) {
344

for ( j = 1; j < L; ++j ) {
345

scanf( "%lf", &a[i][j] );
346

}
347

}
348

init();
349

ans = sqrt( solve(1, 1, L-1, L-1, n-1) / n );
350

printf( "%0.3lf\n", ans );
351

return 0;
352

}
353

*/
354

355

356

/*************************************************************
357

版本一
358

動態規劃。
359

360

公式變形為 O' * O' = sigma(x[i]*x[i]) / n - avgX * avgX；
361

362

對棋盤某局部，左上角為(x1,y1)，右下角為(x2,y2)，
363

令
364

s[x1][y1][x2][y2] 為此局部的總分的平方，
365

d[k][x1][y1][x2][y2] 為此局部切割 k 次所得的最小的 sigma(x[?]*x[?])，
366

其中 x[?] 為從此局部中切割出的某塊矩形棋盤的分。
367

368

則
369

d[k][x1][y1][x2][y2] = min(
370

min(
371

d[k-1][x1][y1][c][y2] + s[c+1][y1][x2][y2],
372

s[x1][y1][c][y2] + d[k-1][c+1][y1][x2][y2]
373

) 其中 x1 <= c < x2；
374

375

min(
376

d[k-1][x1][y1][x2][c] + s[x1][c+1][x2][y2],
377

s[x1][y1][x2][c] + d[k-1][x1][c+1][x2][y2]
378

) 其中 y1 <= c < y2；
379

)
380

381

具體見代碼。
382

*/
383

/*
384

#include <stdio.h>
385

#include <string.h>
386

#include <math.h>
387

388

#define L 9
389

#define N 16
390

#define OO 2123456789
391

392

int n, sum[L][L], s[L][L][L][L];
393

double d[N][L][L][L][L];
394

395

int main(){
396

int x1, y1, x2, y2, k, c, x;
397

double tem, tt;
398

memset( sum, 0, sizeof(sum) );
399

400

scanf( "%d", &n );
401

for( x1=1; x1<L; ++x1 ){
402

for( y1=1; y1<L; ++y1 ){
403

scanf( "%d", &x );
404

sum[x1][y1] = sum[x1-1][y1] + sum[x1][y1-1] - sum[x1-1][y1-1] + x;
405

}
406

}
407

408

for( x1=1; x1<L; ++x1 ){
409

for( y1=1; y1<L; ++y1 ){
410

for( x2=x1; x2<L; ++x2 ){
411

for( y2=y1; y2<L; ++y2 ){
412

for( k=0; k<n; ++k ){
413

d[k][x1][y1][x2][y2] = OO;
414

}
415

416

x = sum[x2][y2] - sum[x2][y1-1] - sum[x1-1][y2] + sum[x1-1][y1-1];
417

d[0][x1][y1][x2][y2] = s[x1][y1][x2][y2] = x * x;
418

}
419

}
420

}
421

}
422

423

for( k=1; k<n; ++k ){
424

for( x1=1; x1<L; ++x1 ){
425

for( y1=1; y1<L; ++y1 ){
426

for( x2=x1; x2<L; ++x2 ){
427

for( y2=y1; y2<L; ++y2 ){
428

tem = OO;
429

430

for( c=x1; c<x2; ++c ){
431

tt = d[k-1][x1][y1][c][y2] + s[c+1][y1][x2][y2];
432

if( tt < tem ){
433

tem = tt;
434

}
435

tt = s[x1][y1][c][y2] + d[k-1][c+1][y1][x2][y2];
436

if( tt < tem ){
437

tem = tt;
438

}
439

}
440

441

for( c=y1; c<y2; ++c ){
442

tt = d[k-1][x1][y1][x2][c] + s[x1][c+1][x2][y2];
443

if( tt < tem ){
444

tem = tt;
445

}
446

tt = s[x1][y1][x2][c] + d[k-1][x1][c+1][x2][y2];
447

if( tt < tem ){
448

tem = tt;
449

}
450

}
451

452

d[k][x1][y1][x2][y2] = tem;
453

}
454

}
455

}
456

}
457

}
458

459

printf( "%0.3lf\n", sqrt( d[n-1][1][1][8][8] / n - ( sum[8][8] * 1.0 / n ) * ( sum[8][8] * 1.0 / n ) ) );
460

return 0;
461

}
462

*/
463

posted on 2012-03-17 11:28 coreBugZJ 閱讀(755) 評論(0) 編輯收藏引用所屬分類: ACM 、Algorithm 、課內作業

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