3D中的方位和角位移（8） 摘要:
為了將角位移從歐拉角轉(zhuǎn)換到四元數(shù)，可以使用從歐拉角構(gòu)造矩陣類似的方法。先將這三個旋轉(zhuǎn)分別轉(zhuǎn)換為四元數(shù)，這是一個簡單的運(yùn)算。再將這三個四元數(shù)連接成一個四元數(shù)。和矩陣一樣，有兩種情況需要考慮，第一種是慣性
-- 物體四元數(shù)，第二種是物體-- 慣性四元數(shù)。因為它們互為共軛關(guān)系，所以我們只推導(dǎo)慣性--物體四元數(shù)。
3D中的方位和角位移（7） 摘要: 為了將角位移從四元數(shù)轉(zhuǎn)換到矩陣形式，可以利用旋轉(zhuǎn)矩陣，它能計算繞任意軸的旋轉(zhuǎn)：
這個矩陣是用n和θ表示的，但四元數(shù)的分量是：
w = cos(θ/2)
x = nx sin(θ/2)
y = ny sin(θ/2)
z = nz sin(θ/2)
3D中的方位和角位移（6） 摘要: Slerp提供了兩個方位間的插值，當(dāng)有多于兩個的方位序列（它描述了我們想要經(jīng)過的插值“路徑”）時怎么辦？我們可以在”控制點(diǎn)“之間使用slerp。類似于基本幾何學(xué)中的線性插值，控制點(diǎn)之間是以直線連接的。顯然，控制點(diǎn)上會有不連續(xù)性
---- 這是我們想要避免的，我們給出squad(Spherical and Quadrangle)的公式，用來描繪控制點(diǎn)間的路徑。
設(shè)控制點(diǎn)由四元數(shù)序列所定義：
q1，q2，q3，…qn-2，qn-1，qn
3D中的方位和角位移（5） 摘要: 首先，讓我們重寫四元數(shù)的定義，引入一個新的變量α，等于半角θ/2：
α = θ/2
|| n || = 1
q = [cosα nsinα] = [cosα xsinα ysinα zsinα]
3D中的方位和角位移（4） 摘要: 四元數(shù)能根據(jù)復(fù)數(shù)乘法解釋來相乘，如下：
這導(dǎo)出了四元數(shù)乘法的標(biāo)準(zhǔn)定義，下面以兩種四元數(shù)記法給出，見公式10.9：
3D中的方位和角位移（3） 摘要: 一個四元數(shù)包含一個標(biāo)量和一個3D向量分量，經(jīng)常記標(biāo)量分量為w，記向量分量為單一的v或分開的x、y、z。兩種記法分別如下:
[w v]
[w, (x, y, z)]
在某些情況下，用v這樣的短記法更方便，但在另一些情況下，"擴(kuò)展"的記法會更清楚。
也可以將四元數(shù)豎著寫，有時這會使等式的格式一目了然，"行"或"列"四元數(shù)沒有明顯的區(qū)別。
3D中的方位和角位移（2） 摘要: 另一種描述方位的常用方法是歐拉角，這項技術(shù)以著名的數(shù)學(xué)家Leonhard Euler(1707 -
1783)的名字命名，他證明了角位移序列等價于單個角位移。
歐拉角的基本思想是將角位移分解為繞三個互相垂直軸的三個旋轉(zhuǎn)組成的序列。這聽起來很復(fù)雜，其實(shí)它是非常直觀的（事實(shí)上，易于使用正是它的主要優(yōu)點(diǎn)之一）。之所以有"角位移"的說法正是因為歐拉角能用來描述任意旋轉(zhuǎn)。
3D中的方位和角位移（1） 摘要:
直觀地說，我們知道物體的“方位”主要描述的是物體的朝向。然而“方向”和“方位”并不完全一樣。向量有“方向”但沒有“方位”，區(qū)別在于，當(dāng)一個向量指向特定方向時，可以讓向量自轉(zhuǎn)（如圖10.1所示），但向量（或者說它的方向）卻不會有任何變化，因為向量的屬性只有“大小”，而沒有“厚度”和“寬度”。