四元數(shù)乘法（叉乘）
四元數(shù)能根據(jù)復(fù)數(shù)乘法解釋來相乘，如下：
這導(dǎo)出了四元數(shù)乘法的標(biāo)準(zhǔn)定義，下面以兩種四元數(shù)記法給出，見公式10.9：
不用為四元數(shù)叉乘使用乘號，"行"或 "列"四元數(shù)也沒有什么區(qū)別。
四元數(shù)叉乘滿足結(jié)合律，但不滿足交換律，如公式10.10所示：
現(xiàn)在看看兩個四元數(shù)叉乘的模:
展開合并同類項:
最后應(yīng)用四元數(shù)模的定義得到公式 10.11:
因此，四元數(shù)乘積的模等于模的乘積。這個結(jié)論非常重要，因為它保證了兩個單位四元數(shù)相乘的結(jié)果還是單位四元數(shù)。
四元數(shù)乘積的逆等于各個四元數(shù)的逆以相反的順序相乘，如公式10.12所示：
現(xiàn)在到了四元數(shù)非常有用的性質(zhì)。讓我們"擴(kuò)展"一個標(biāo)準(zhǔn)3D點(x,
y, z)到四元數(shù)空間，通過定義四元數(shù)p=[0, (x, y, z)]即可（當(dāng)然，在一般情況下，p不會是單位四元數(shù)）。設(shè)q為我們討論的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)形式[cos(θ/2),
nsin(θ/2)]，n為旋轉(zhuǎn)軸，單位向量；θ為旋轉(zhuǎn)角。你會驚奇地發(fā)現(xiàn)，執(zhí)行下面的乘法可以使3D點p繞n旋轉(zhuǎn)：
已經(jīng)證明，四元數(shù)乘法和3D向量旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)關(guān)系，更多的是理論上的意義，不是實踐上的。實際上，它幾乎和把四元數(shù)轉(zhuǎn)換到矩陣形式然后再用矩陣乘以向量所用的時間一樣。
讓我們看多次旋轉(zhuǎn)的情況，將點p用一個四元數(shù)a旋轉(zhuǎn)然后再用另一個四元數(shù)b旋轉(zhuǎn)：
注意，先進(jìn)行a旋轉(zhuǎn)再進(jìn)行b旋轉(zhuǎn)等價于執(zhí)行乘積ba代表的單一旋轉(zhuǎn)。因此，四元數(shù)乘法能用來連接多次旋轉(zhuǎn)，這和矩陣乘法的效果一樣。根據(jù)四元數(shù)乘法的標(biāo)準(zhǔn)定義，這個旋轉(zhuǎn)是以從右向左的順序發(fā)生的。這非常不幸，因為它迫使我們以 "由里向外"的順序連接多次旋轉(zhuǎn)，這和以矩陣形式作同樣的運(yùn)算是不同的（至少在使用行向量時是不同的）。
針對公式10.9所導(dǎo)致的"順序顛倒"問題，我們將違背標(biāo)準(zhǔn)定義，以相反的運(yùn)算順序來定義四元數(shù)乘法。注意，僅僅向量叉乘部分受到了影響，見公式10.13：
這并沒有改變四元數(shù)的基本性質(zhì)和用v、θ的幾何解釋，仍然能用四元數(shù)乘法來直接旋轉(zhuǎn)向量，唯一不同的是，根據(jù)我們的定義，將四元數(shù)放在向量右邊，而把它的逆放在向量的左邊：
能看到下面這個表達(dá)了多個旋轉(zhuǎn)連接的等式，它是自左向右的，與旋轉(zhuǎn)發(fā)生的順序一致：
對于我們來說，讓四元數(shù)代表角位移的"高級"能力，使其易于使用，這比堅持正式標(biāo)準(zhǔn)更加重要。我們的目的在于理解四元數(shù)的本質(zhì)和它提供給我們的操作，設(shè)計一個類將直接引出這些操作，在需要的地方使用這個類，永遠(yuǎn)不需要再去擺弄里面的數(shù)。
四元數(shù)的"差"
利用四元數(shù)的乘法和逆，就能夠計算兩個四元數(shù)的"差"。"差"被定義為一個方位到另一個方位的角位移。換句話說，給定方位a和b，能夠計算從a旋轉(zhuǎn)到b的角位移d。用四元數(shù)等式更加緊湊地表示為：ad=b。
兩邊同時左乘a-1:
現(xiàn)在，我們就有了求得代表一個方位到另一個方位角位移的四元數(shù)的方法。
數(shù)學(xué)上，兩個四元數(shù)之間的角度"差"更類似于"除"，而不是真正的"差"（減法）。
四元數(shù)點乘
四元數(shù)也有點乘運(yùn)算，它的記法、定義和向量點乘非常類似，如公式10.14所示：
注意，和向量點乘一樣，其結(jié)果是標(biāo)量。對于單位四元數(shù)a和b，有-1
≤ a . b ≤ 1。通常我們只關(guān)心
a . b 的絕對值，因為a . b = -(a
. -b)，所以b和-b代表相同的角位移。
四元數(shù)點乘的幾何解釋類似于向量點乘的幾何解釋，四元數(shù)點乘 a . b
的絕對值越大，a和b代表的角位移越"相似"。