另一種描述方位的常用方法是歐拉角，這項技術(shù)以著名的數(shù)學家Leonhard Euler(1707 - 1783)的名字命名，他證明了角位移序列等價于單個角位移。

什么是歐拉角

歐拉角的基本思想是將角位移分解為繞三個互相垂直軸的三個旋轉(zhuǎn)組成的序列。這聽起來很復雜，其實它是非常直觀的（事實上，易于使用正是它的主要優(yōu)點之一）。之所以有"角位移"的說法正是因為歐拉角能用來描述任意旋轉(zhuǎn)。

歐拉角將方位分解為繞三個互相垂直軸的旋轉(zhuǎn)，那么是哪三個軸？按什么順序？其實，任意三個軸和任意順序都可以，但最有意義的是使用笛卡爾坐標系并按一定順序所組成的旋轉(zhuǎn)序列。最常用的約定是所謂的"heading - pitch - bank"約定。在這個系統(tǒng)中，一個方位被定義為一個heading角，一個pitch角，一個bank角。它的基本思想是讓物體開始于"標準"方位 --- 就是物體坐標軸和慣性坐標軸對齊。在標準方位上，讓物體作heading、pitch、bank旋轉(zhuǎn)，最后物體到達我們想要描述的方位。

如圖10.4所示，此時物體坐標系和慣性坐標系重合，heading為繞y軸的旋轉(zhuǎn)量，向右旋轉(zhuǎn)為正（如果從上面看，旋轉(zhuǎn)正方向就是順時針方向）。

經(jīng)過heading旋轉(zhuǎn)后，pitch為繞x軸的旋轉(zhuǎn)量，注意是物體坐標系的x軸，不是原慣性坐標系的x軸。依然遵守左手法則，向下旋轉(zhuǎn)為正，如圖10.5所示：

最后，經(jīng)過了heading和pitch，bank為繞z軸的旋轉(zhuǎn)量。再次提醒，是物體坐標系的z軸，不是原慣性坐標系的z軸。依據(jù)左手法則，從原點向+z看，逆時針方向為正。如圖10.6所示：

記住，當我們說旋轉(zhuǎn)的順序是heading-pitch-bank時，是指從慣性坐標系到物體坐標系。如果從物體坐標系變換到慣性坐標系，旋轉(zhuǎn)的順序就是相反的。"heading-pitch-bank"也叫作"roll-pitch-yaw"，roll類似于bank，yaw類似于heading（事實上，yaw并不嚴格等于heading）。注意，在roll-pitch-yaw系統(tǒng)中，角度的命名順序與從物體坐標系到慣性坐標系的旋轉(zhuǎn)順序一致的。

關(guān)于歐拉角的其他約定

heading-pitch-bank系統(tǒng)不是唯一的歐拉角系統(tǒng)。繞任意三個互相垂直軸的任意旋轉(zhuǎn)都能定義一個方位，所以多種選擇導致了歐拉角約定的多樣性：

（1）heading-pitch-bank系統(tǒng)有多個名稱。當然，不同的名字并不代表不同的約定，這其實并不重要。一組常用的術(shù)語是roll-pitch-yaw，其中的roll等價于bank，yaw基本上等價于heading。注意，它的順序和heading-pitch-bank的順序相反，這只是語義上的。它定義了向量從物體坐標系變換到慣性坐標系的旋轉(zhuǎn)順序。（事實上，yaw和heading還是有技術(shù)上的差別，yaw是繞物體坐標系y軸的旋轉(zhuǎn)，heading是繞慣性坐標系y軸的旋轉(zhuǎn)。因為這里的旋轉(zhuǎn)是在物體坐標系y軸和慣性坐標系y軸重合時進行的，所以這個區(qū)別并不重要。）

（2）任意三個軸都能作為旋轉(zhuǎn)軸，不一定必須是笛卡爾軸，但使用笛卡爾軸最有意義。

（3）決定每個旋轉(zhuǎn)的正方向時不一定必須遵守左手或右手法則。例如，完全可以定義pitch的正方向是向上的，并且這種定義方法非常常見。

（4）也是最重要的，旋轉(zhuǎn)可以以不同的順序進行。順序并不重要，任何系統(tǒng)都能用來定義一個方位，但heading-pitch-bank順序最為實用。heading度量繞豎直軸的旋轉(zhuǎn)，它之所以有意義主要是因為我們所在的環(huán)境經(jīng)常有某種形式的"地面"。一般來講繞慣性坐標系的x或z軸的旋轉(zhuǎn)沒有什么意義。heading-pitch-bank順序下的另外兩個角的意義是：pitch度量水平方向的傾角，bank度量的是繞z軸的旋轉(zhuǎn)量。

歐拉角的優(yōu)點

歐拉角僅使用三個數(shù)來表達方位，并且這三個數(shù)都是角度。這兩個特點使歐拉角具有其他形式所沒有的優(yōu)點：

（1）歐拉角對我們來說很容易使用。它比矩陣和四元數(shù)簡單得多，這可能是因為歐拉角中的數(shù)都是角度，符合人們思考方位的方式。如果我們選擇了與所要處理的情況最符合的約定，那么就能直接描述出最重要的角度，例如，用heading-pitch-bank系統(tǒng)就能直接地描述出偏差角度。便于使用是其最大的優(yōu)點，當需要顯示方位或用鍵盤輸入方位時，歐拉角是唯一的選擇。

（2）最簡潔的表達方式。歐拉角用三個數(shù)來表達方位。在3D中，表達方位不能少于三個數(shù)，如果要考慮內(nèi)存的因素，歐拉角是最合適的描述方位的方法。

（3）任意三個數(shù)都是合法的。取任意三個數(shù)，它們都能構(gòu)成合法的歐拉角，而且可以把它看成一個對方位的描述。從另一方面說，沒有"不合法"的歐拉角。當然數(shù)值可能不對，但至少它們是合法的。可矩陣和四元數(shù)就不一定是這樣了。

歐拉角的缺點

用歐拉角表達方位時的缺點主要有：

（1）給定方位的表達方式不唯一。

（2）兩個角度間求插值非常困難。

讓我們仔細討論這些問題。第一個問題是對于一個給定方位，存在多個歐拉角可以描述它。這稱作別名問題，有時候會引起麻煩。因為這個原因，連一些基本的問題（如"兩組歐拉角代表的角位移相同嗎？"）都很難回答。

第一種，在將一個角度加上360度的倍數(shù)時，我們就會遇到形式最簡單的別名問題。顯然，加上360度并不會改變方位，盡管它的數(shù)值改變了。

第二種，更加麻煩的別名問題是由三個角度不互相獨立而導致的。例如，pitch135度等價于heading180度，pitch45度，然后bank180度。為了保證任意方位都只有獨一無二的表示，必須限制角度的范圍。一種常用的技術(shù)是將heading和bank限制在+180度到-180度之間，pitch限制在+90度到-90度之間。這就建立了歐拉角的一個"限制范圍"。對于任意方位，僅存在一個限制歐拉角能代表這個方位（事實上，還有一個違反唯一性的現(xiàn)象需要處理。）

歐拉角最著名的別名問題是這樣的：先heading45度再pitch90度，這與先pitch90度再bank45度是等價的。事實上，一旦選擇+(-)90度為pitch角，就被限制在只能繞豎直軸旋轉(zhuǎn)。這種現(xiàn)象，角度為+(-)90度的第二次旋轉(zhuǎn)使得第一次和第三次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸相同，稱作萬向鎖。為了消除限制歐拉角的這種別名現(xiàn)象，規(guī)定萬向鎖情況下由heading完成繞豎直軸的全部旋轉(zhuǎn)。換句話說，在限制歐拉角中，如果pitch為+(-)90度，則bank為0。

如果是為了描述方位，特別是在使用了限制歐拉角的情況下，別名是不會造成太大的問題的。現(xiàn)在來看兩個方位A和B間求插值的問題，也就是說，給定參數(shù)t，0 ≤ t ≤ 1，計算臨時方位C，當t從0變化到1時，C也平滑地從A變化到B。

這個問題的簡單解法是分別對三個角度作標準線性插值，公式如下：

但這里面有很多問題。

第一，如果沒有使用限制歐拉角，將得到很大的角度差。例如，方位A的heading為720度，方位B的heading為45度，720 = 360 x 2，也就是0度。所以heading值只相差45度，但簡單的插值會在錯誤的方向上繞將近兩周。如圖10.7所示：

解決問題的方法是使用限制歐拉角，然而，即使是限制歐拉角也不能完全解決問題。插值的第二個問題是由旋轉(zhuǎn)角度的周期性引起的。設(shè)A的heading為-170度，B的heading為170度。這些值在heading的限制范圍內(nèi)，都在-180度到180度之間。這兩個值只相差20度，但插值操作又一次發(fā)生了錯誤，旋轉(zhuǎn)是沿 "長弧"繞了340度而不是更短的20度，如圖10.8所示：

解決這類問題的方法是將插值的"差"角度折到-180度到180度之間，以找到最短弧。

即使使用了這兩個角度限制，歐拉角插值仍然可能碰到萬向鎖的問題，它在大多數(shù)情況下會產(chǎn)生抖動、路徑錯誤等現(xiàn)象，物體會突然飄起來像是"掛"在某個地方。根本問題是插值過程中角速度不是恒定的。

歐拉角插值的前兩個問題雖然煩人，但并不是不可克服的。限制歐拉角和將角度差限制在一定范圍內(nèi)提供了簡單的解決方法。而對于萬向鎖，非常不幸，它非常令人討厭，是一個底層的問題。你可能會考慮重新規(guī)劃旋轉(zhuǎn)，發(fā)明一種不會遭遇這些問題的系統(tǒng)。不幸的是，這不可能。這是一個用3個數(shù)表達3D方位的方法與生俱來的問題。我們可以改變問題，但不能消滅它們。任何使用三個數(shù)來表達3D方位的系統(tǒng)，若能保證空間的唯一性，就都會遇到這些問題，如萬向鎖。