向量的點積：

假設向量u(u_x, u_y)和v(v_x, v_y)，u和v之間的夾角為α，從三角形的邊角關系等式出發，可作出如下簡單推導：

  |u - v||u - v| = |u||u| + |v||v| - 2|u||v|cosα  

===>
 
  （u_x - v_x）² + (u_y - v_y)²  = u_x² + u_y² +v_x²+v_y²- 2|u||v|cosα

===>
  
   -2u_xv_x - 2u_yv_y = -2|u||v|cosα

===>

   cosα = (u_xv_x + u_yv_y) / (|u||v|)

這樣，就可以根據向量u和v的坐標值計算出它們之間的夾角。

定義u和v的點積運算： u . v = (u_xv_x + u_yv_y)，

上面的cosα可簡寫成： cosα = u . v / (|u||v|)

當u . v = 0時（即u_xv_x + u_yv_y = 0），向量u和v垂直；當u . v > 0時，u和v之間的夾角為銳角；當u . v < 0時，u和v之間的夾角為鈍角。

可以將運算從2維推廣到3維。

向量的叉積：

假設存在向量u(u_x, u_y, u_z), v(v_x, v_y, v_z), 求同時垂直于向量u, v的向量w(w_x, w_y, w_z).

因為w與u垂直，同時w與v垂直，所以w . u = 0, w . v = 0; 即

u_xw_x + u_yw_y + u_zw_z = 0;
v_xw_x + v_yw_y + v_zw_z = 0;

分別削去方程組的w_y和w_x變量的系數，得到如下兩個等價方程式：

(u_xv_y - u_yv_x)w_x = (u_yv_z - u_zv_y)w_z
(u_xv_y - u_yv_x)w_y = (u_zv_x - u_xv_z)w_z

于是向量w的一般解形式為：

w = (w_x, w_y, w_z) = ((u_yv_z - u_zv_y)w_z / (u_xv_y - u_yv_x), (u_zv_x - u_xv_z)w_z / (u_xv_y - u_yv_x), w_z)
  = (w_z / (u_xv_y - u_yv_x) * (u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x))

因為：

   u_x(u_yv_z - u_zv_y) + u_y(u_zv_x - u_xv_z) + u_z(u_xv_y - u_yv_x)
 = u_xu_yv_z - u_xu_zv_y + u_yu_zv_x - u_yu_xv_z + u_zu_xv_y - u_zu_yv_x
 = (u_xu_yv_z - u_yu_xv_z) + (u_yu_zv_x - u_zu_yv_x) + (u_zu_xv_y - u_xu_zv_y)  
 = 0 + 0 + 0 = 0

   v_x(u_yv_z - u_zv_y) + v_y(u_zv_x - u_xv_z) + v_z(u_xv_y - u_yv_x)  
 = v_xu_yv_z - v_xu_zv_y + v_yu_zv_x - v_yu_xv_z + v_zu_xv_y - v_zu_yv_x
 = (v_xu_yv_z - v_zu_yv_x) + (v_yu_zv_x - v_xu_zv_y) + (v_zu_xv_y - v_yu_xv_z)
 = 0 + 0 + 0 = 0

由此可知，向量(u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x)是同時垂直于向量u和v的。

為此，定義向量u = (u_x, u_y, u_z)和向量 v = (v_x, v_y, v_z)的叉積運算為：u x v = (u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x)

上面計算的結果可簡單概括為：向量u x v垂直于向量u和v。

根據叉積的定義，沿x坐標軸的向量i = (1, 0, 0)和沿y坐標軸的向量j = (0, 1, 0)的叉積為：

 i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k

同理可計算j x k:
 
 j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) = (1, 0, 0) = i

以及k x i:

 k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) = (0, 1, 0) = j

由叉積的定義，可知：

 v x u = (v_yu_z - v_zu_y, v_zu_x - v_xu_z, v_xu_y - v_yu_x) = - (u x v)