學習3D編程，四元數是不得不學的。其概念的引入和定義都比較抽象，今學了，總結歸納如下：
介紹四元數之前，先做如下約定：
1．采用右手坐標系(OpenGL)
2．旋轉次序：x->y->z
3. 矩陣是列優先存儲
1.什么是四元數？
直接用數學上的定義來解釋，因為我很難在現實生活中找到可以描述明白的例子。
i, j, k 為虛數
Q = w + xi + yj
+ zk
其中w是實數，而x,y,z為復數。
另外一種常見的表達方式是：
Q = [w, v]
其中v=(x,y,z)稱為矢量部（雖然稱為矢量，但是這個不是三維空間中的矢量，而是四維空間的，想象吧L），w稱為標量部。
2.四元數可以做什么？
有了四元數的概念還不行，四元數可以干什么？四元數可以用來描述方向。
先來看下如何求取四元數的長度：
||q|| = Norm(q)
= sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)
單位長度的四元數有以下屬性：
w2 +
x2 + y2 + z2 = 1
所以我們使用如下方法來標準化(Normalize)一個四元數：
q = q / ||q|| =
q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)
使用一個單位四元數來描述方向，請記住必須是單位四元數才可以描述方向。
3.四元數的乘法
因為一個單位四元數可以代表一個三維空間中的方向，那么兩個四元數相乘得到的結果仍然是一個四元數，這個四元素依舊可以標識一個方向。
給定兩個四元數：
Q1 = (w1, x1,
y1, z1)
Q2 = (w2, x2,
y2, z2)
Q1 * Q2 = (w1.w2
– v1.v2, w1.v2 + w2.v1 + v1 x v2)
注意：.代表向量間的點積，x代表叉積。v1=(x1, y1, z1) v2=(x2, y2, z2)
優化一下：
w=w1w2 - x1x2 -
y1y2 - z1z2
x = w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2
y = w1y2 + y1w2 + z1x2 - x1z2
z = w1z2 + z1w2 + x1y2 - y1x2
4.四元數的轉換
為什么要轉換，因為我們還不能直接使用四元數來進行3D物體的旋轉。在OpenGL中和Direct3D中都是通過矩陣來描述3D旋轉的。
4.1 四元數到矩陣的轉換
使用單位四元數轉換到矩陣：
Matrix = [ 1 - 2y2 - 2z2 2xy - 2wz 2xz + 2wy
2xy + 2wz 1 - 2x2 - 2z2 2yz - 2wx
2xz - 2wy 2yz + 2wx 1 - 2x2 - 2y2 ]
4.2 四元數到軸角的轉換
軸角也是一種表達空間旋轉的方式。
如果旋轉軸是：(ax, ay, az)
旋轉角度是：angle (單位：弧度)
那么四元數與軸角之間的轉換關系如下：
angle = 2 *
acos(w)
ax = x / scale
ay = y / scale
az = y / scale
其中scale = sqrt(x2 + y2 + z2)
4.3 軸角到四元數的轉換
假設旋轉軸是(ax, ay, az)，記得必須是一個單位向量。
旋轉角度是theta. （單位：弧度）
那么轉換如下：
w = cos(theta / 2
)
x = ax *
sin(theta / 2)
y = ay *
sin(theta / 2)
z = az *
sin(theta / 2 )
4.4 歐拉角到四元數的轉換
如果你的歐拉角為(a, b, c)那么就可以形成三個獨立的四元數，如下：
Qx = [ cos(a/2),
(sin(a/2), 0, 0)]
Qy = [ cos(b/2), (0, sin(b/2), 0)]
Qz = [ cos(c/2), (0, 0, sin(c/2))]
最終的四元數是Qx * Qy
* Qz的乘積的結果。
5.使用四元數來避免Gimbal
Lock
基本思路如下：
1）
使用一個四元數來標識一個方向
2）
創建一個臨時的四元數來標識當前方向到新方向的變化
3）
右乘臨時的四元數和初始四元數，結果是一個合并了兩個四元數的新的四元數
4）
將四元數轉換成矩陣
6.更深入的學習四元數
SLERP：球狀線性插值對于三位模型進行動畫處理非常有用，因為這種方式在模型的各種方向之間提供了平滑的轉換。