學(xué)習(xí)3D編程，四元數(shù)是不得不學(xué)的。其概念的引入和定義都比較抽象，今學(xué)了，總結(jié)歸納如下：
介紹四元數(shù)之前，先做如下約定：
1．采用右手坐標(biāo)系(OpenGL)
2．旋轉(zhuǎn)次序：x->y->z
3. 矩陣是列優(yōu)先存儲(chǔ)
1.什么是四元數(shù)？
直接用數(shù)學(xué)上的定義來解釋，因?yàn)槲液茈y在現(xiàn)實(shí)生活中找到可以描述明白的例子。
i, j, k 為虛數(shù)
Q = w + xi + yj
+ zk
其中w是實(shí)數(shù)，而x,y,z為復(fù)數(shù)。
另外一種常見的表達(dá)方式是：
Q = [w, v]
其中v=(x,y,z)稱為矢量部（雖然稱為矢量，但是這個(gè)不是三維空間中的矢量，而是四維空間的，想象吧L），w稱為標(biāo)量部。
2.四元數(shù)可以做什么？
有了四元數(shù)的概念還不行，四元數(shù)可以干什么？四元數(shù)可以用來描述方向。
先來看下如何求取四元數(shù)的長(zhǎng)度：
||q|| = Norm(q)
= sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)
單位長(zhǎng)度的四元數(shù)有以下屬性：
w2 +
x2 + y2 + z2 = 1
所以我們使用如下方法來標(biāo)準(zhǔn)化(Normalize)一個(gè)四元數(shù)：
q = q / ||q|| =
q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)
使用一個(gè)單位四元數(shù)來描述方向，請(qǐng)記住必須是單位四元數(shù)才可以描述方向。
3.四元數(shù)的乘法
因?yàn)橐粋€(gè)單位四元數(shù)可以代表一個(gè)三維空間中的方向，那么兩個(gè)四元數(shù)相乘得到的結(jié)果仍然是一個(gè)四元數(shù)，這個(gè)四元素依舊可以標(biāo)識(shí)一個(gè)方向。
給定兩個(gè)四元數(shù)：
Q1 = (w1, x1,
y1, z1)
Q2 = (w2, x2,
y2, z2)
Q1 * Q2 = (w1.w2
– v1.v2, w1.v2 + w2.v1 + v1 x v2)
注意：.代表向量間的點(diǎn)積，x代表叉積。v1=(x1, y1, z1) v2=(x2, y2, z2)
優(yōu)化一下：
w=w1w2 - x1x2 -
y1y2 - z1z2
x = w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2
y = w1y2 + y1w2 + z1x2 - x1z2
z = w1z2 + z1w2 + x1y2 - y1x2
4.四元數(shù)的轉(zhuǎn)換
為什么要轉(zhuǎn)換，因?yàn)槲覀冞€不能直接使用四元數(shù)來進(jìn)行3D物體的旋轉(zhuǎn)。在OpenGL中和Direct3D中都是通過矩陣來描述3D旋轉(zhuǎn)的。
4.1 四元數(shù)到矩陣的轉(zhuǎn)換
使用單位四元數(shù)轉(zhuǎn)換到矩陣：
Matrix = [ 1 - 2y2 - 2z2 2xy - 2wz 2xz + 2wy
2xy + 2wz 1 - 2x2 - 2z2 2yz - 2wx
2xz - 2wy 2yz + 2wx 1 - 2x2 - 2y2 ]
4.2 四元數(shù)到軸角的轉(zhuǎn)換
軸角也是一種表達(dá)空間旋轉(zhuǎn)的方式。
如果旋轉(zhuǎn)軸是：(ax, ay, az)
旋轉(zhuǎn)角度是：angle (單位：弧度)
那么四元數(shù)與軸角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：
angle = 2 *
acos(w)
ax = x / scale
ay = y / scale
az = y / scale
其中scale = sqrt(x2 + y2 + z2)
4.3 軸角到四元數(shù)的轉(zhuǎn)換
假設(shè)旋轉(zhuǎn)軸是(ax, ay, az)，記得必須是一個(gè)單位向量。
旋轉(zhuǎn)角度是theta. （單位：弧度）
那么轉(zhuǎn)換如下：
w = cos(theta / 2
)
x = ax *
sin(theta / 2)
y = ay *
sin(theta / 2)
z = az *
sin(theta / 2 )
4.4 歐拉角到四元數(shù)的轉(zhuǎn)換
如果你的歐拉角為(a, b, c)那么就可以形成三個(gè)獨(dú)立的四元數(shù)，如下：
Qx = [ cos(a/2),
(sin(a/2), 0, 0)]
Qy = [ cos(b/2), (0, sin(b/2), 0)]
Qz = [ cos(c/2), (0, 0, sin(c/2))]
最終的四元數(shù)是Qx * Qy
* Qz的乘積的結(jié)果。
5.使用四元數(shù)來避免Gimbal
Lock
基本思路如下：
1）
使用一個(gè)四元數(shù)來標(biāo)識(shí)一個(gè)方向
2）
創(chuàng)建一個(gè)臨時(shí)的四元數(shù)來標(biāo)識(shí)當(dāng)前方向到新方向的變化
3）
右乘臨時(shí)的四元數(shù)和初始四元數(shù)，結(jié)果是一個(gè)合并了兩個(gè)四元數(shù)的新的四元數(shù)
4）
將四元數(shù)轉(zhuǎn)換成矩陣
6.更深入的學(xué)習(xí)四元數(shù)
SLERP：球狀線性插值對(duì)于三位模型進(jìn)行動(dòng)畫處理非常有用，因?yàn)檫@種方式在模型的各種方向之間提供了平滑的轉(zhuǎn)換。