1．采用右手坐標(biāo)系(OpenGL)

2．旋轉(zhuǎn)次序：x->y->z

3.  矩陣是列優(yōu)先存儲(chǔ)

1.什么是四元數(shù)？

直接用數(shù)學(xué)上的定義來解釋，因?yàn)槲液茈y在現(xiàn)實(shí)生活中找到可以描述明白的例子。

i, j, k 為虛數(shù)

Q = w + xi + yj + zk

其中w是實(shí)數(shù)，而x,y,z為復(fù)數(shù)。

另外一種常見的表達(dá)方式是：

Q = [w, v]

其中v=(x,y,z)稱為矢量部（雖然稱為矢量，但是這個(gè)不是三維空間中的矢量，而是四維空間的，想象吧L），w稱為標(biāo)量部。

2.四元數(shù)可以做什么？

有了四元數(shù)的概念還不行，四元數(shù)可以干什么？四元數(shù)可以用來描述方向。

先來看下如何求取四元數(shù)的長度：

||q|| = Norm(q) = sqrt(w² + x² + y² + z²)

單位長度的四元數(shù)有以下屬性：

w² + x² + y² + z² = 1

所以我們使用如下方法來標(biāo)準(zhǔn)化(Normalize)一個(gè)四元數(shù)：

q = q / ||q|| = q / sqrt(w² + x² + y² + z²)

使用一個(gè)單位四元數(shù)來描述方向，請(qǐng)記住必須是單位四元數(shù)才可以描述方向。

3.四元數(shù)的乘法

因?yàn)橐粋€(gè)單位四元數(shù)可以代表一個(gè)三維空間中的方向，那么兩個(gè)四元數(shù)相乘得到的結(jié)果仍然是一個(gè)四元數(shù)，這個(gè)四元素依舊可以標(biāo)識(shí)一個(gè)方向。

給定兩個(gè)四元數(shù)：

Q1 = (w1, x1, y1, z1)

Q2 = (w2, x2, y2, z2)

Q1 * Q2 = (w1.w2 – v1.v2, w1.v2 + w2.v1 + v1 x v2)

注意：.代表向量間的點(diǎn)積，x代表叉積。v1=(x1, y1, z1)  v2=(x2, y2, z2)

優(yōu)化一下：

w=w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2
x = w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2
y = w1y2 + y1w2 + z1x2 - x1z2
z = w1z2 + z1w2 + x1y2 - y1x2

4.四元數(shù)的轉(zhuǎn)換

       為什么要轉(zhuǎn)換，因?yàn)槲覀冞€不能直接使用四元數(shù)來進(jìn)行3D物體的旋轉(zhuǎn)。在OpenGL中和Direct3D中都是通過矩陣來描述3D旋轉(zhuǎn)的。

4.1 四元數(shù)到矩陣的轉(zhuǎn)換

使用單位四元數(shù)轉(zhuǎn)換到矩陣：

Matrix = [ 1 - 2y2 - 2z2   2xy - 2wz      2xz + 2wy

             2xy + 2wz      1 - 2x2 - 2z2   2yz - 2wx

             2xz - 2wy      2yz + 2wx      1 - 2x2 - 2y2 ]

4.2 四元數(shù)到軸角的轉(zhuǎn)換

軸角也是一種表達(dá)空間旋轉(zhuǎn)的方式。

如果旋轉(zhuǎn)軸是：(ax, ay, az)

旋轉(zhuǎn)角度是：angle (單位：弧度)

那么四元數(shù)與軸角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

angle = 2 * acos(w)

ax = x / scale

ay = y / scale

az = y / scale

其中scale = sqrt(x² + y² + z²)

  4.3 軸角到四元數(shù)的轉(zhuǎn)換

假設(shè)旋轉(zhuǎn)軸是(ax, ay, az)，記得必須是一個(gè)單位向量。

旋轉(zhuǎn)角度是theta. （單位：弧度）

那么轉(zhuǎn)換如下：

w = cos(theta / 2 )

x = ax * sin(theta / 2)

y = ay * sin(theta / 2)

z = az * sin(theta / 2 )

  4.4 歐拉角到四元數(shù)的轉(zhuǎn)換

如果你的歐拉角為(a, b, c)那么就可以形成三個(gè)獨(dú)立的四元數(shù)，如下：

Qx = [ cos(a/2), (sin(a/2), 0, 0)]
Qy = [ cos(b/2), (0, sin(b/2), 0)]
Qz = [ cos(c/2), (0, 0, sin(c/2))]

最終的四元數(shù)是Qx * Qy * Qz的乘積的結(jié)果。

 
5.使用四元數(shù)來避免Gimbal Lock

基本思路如下：

1）  使用一個(gè)四元數(shù)來標(biāo)識(shí)一個(gè)方向

2）  創(chuàng)建一個(gè)臨時(shí)的四元數(shù)來標(biāo)識(shí)當(dāng)前方向到新方向的變化

3）  右乘臨時(shí)的四元數(shù)和初始四元數(shù)，結(jié)果是一個(gè)合并了兩個(gè)四元數(shù)的新的四元數(shù)

4）  將四元數(shù)轉(zhuǎn)換成矩陣

6.更深入的學(xué)習(xí)四元數(shù)

SLERP：球狀線性插值對(duì)于三位模型進(jìn)行動(dòng)畫處理非常有用，因?yàn)檫@種方式在模型的各種方向之間提供了平滑的轉(zhuǎn)換。