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            整數拆分問題

                給定一個整數n,要找出n能拆分成多少種不同的若干個數的和與乘積的形式。比如:
                4=4                   12=1*12
                4=1+3               12=2*6
                4=2+2               12=3*4
                4=1+1+2           12=2*2*3
                4=1+1+1+1
                先看加法形式,可以構造一個母函數F(x)=(1+x+x^2+...+x^n)(1+x^2+x^4+...+x^n)...(1+x^n),將這個母函數展開后,求出每一個x^k前面的系數Ck,就是對應的整數K有多少種拆分的形式。
             1 #include <iostream>
             2 using namespace std;
             3 
             4 const int MAXN = 120;
             5 int c1[MAXN+1],c2[MAXN+1];
             6 
             7 int main(){
             8     int i,j,k,n;
             9     for(i=0;i<=MAXN;i++)
            10         c1[i]=1,c2[i]=0;
            11     for(i=2;i<=MAXN;i++){
            12         for(j=0;j<=MAXN;j++)
            13             for(k=0;k+j<=MAXN;k+=i)
            14                 c2[j+k]+=c1[j];
            15         for(j=0;j<=MAXN;j++)
            16             c1[j]=c2[j],c2[j]=0;
            17     }
            18     while(cin>>n) cout<<c1[n]<<endl;
            19     return 0;
            20 }

                對于乘積的形式,設n=i*j,dp[n]為整數n拆分成乘積形式的個數,dp[n]=∑dp[i]=∑dp[j] (i∈{i : i*j=n},j∈{j : i*j=n}),這就是這個問題的狀態轉移方程,具有動態規劃問題的最有子結構性質。
             1 #include <iostream>
             2 using namespace std;
             3 
             4 const int MAXN = 200000;
             5 int dp[MAXN+1];
             6 
             7 int main(){
             8     int i,j,n;
             9     for(dp[1]=1,i=2;i<=MAXN;i++)
            10         for(j=1;i*j<=MAXN;j++)
            11             dp[i*j]+=dp[j];
            12     while(cin>>n) cout<<dp[n]<<endl;
            13     return 0;
            14 }

            posted on 2009-05-06 20:45 極限定律 閱讀(2738) 評論(0)  編輯 收藏 引用 所屬分類: ACM/ICPC

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