Posted on 2013-05-13 17:43
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JULY_程序員編程藝術
作者：上善若水、July、yansha。
出處：http://blog.csdn.net/v_JULY_v 。
前奏
本章陸續開始，除了繼續保持原有的字符串、數組等面試題之外，會有意識的間斷性節選一些有關數字趣味小而巧的面試題目，重在突出思路的“巧”，和“妙”。本章親和數問題之關鍵字，“500萬”，“線性復雜度”。
第一節、親和數問題
題目描述：
求500萬以內的所有親和數
如果兩個數a和b，a的所有真因數之和等于b,b的所有真因數之和等于a,則稱a,b是一對親和數。
例如220和284，1184和1210，2620和2924。
分析：
首先得明確到底是什么是親和數?
親和數問題最早是由畢達哥拉斯學派發現和研究的。他們在研究數字的規律的時候發現有以下性質特點的兩個數：
220的真因子是：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110；
284的真因子是：1、2、4、71、142。
而這兩個數恰恰等于對方的真因子各自加起來的和（sum[i]表示數i 的各個真因子的和），即
220=1+2+4+71+142=sum[284],
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=sum[220]。
得284的真因子之和sum[284]=220，且220的真因子之和sum[220]=284，即有sum[220]=sum[sum[284]]=284。
如此，是否已看出絲毫端倪?
如上所示，考慮到1是每個整數的因子，把出去整數本身之外的所有因子叫做這個數的“真因子”。如果兩個整數，其中每一個真因子的和都恰好等于另一個數，那么這兩個數，就構成一對“親和數”（有關親和數的更多討論，可參考這：http://t.cn/hesH09）。
求解：
了解了什么是親和數，接下來咱們一步一步來解決上面提出的問題（以下內容大部引自水的原話，同時水哥有一句原話，“在你真正弄弄懂這個范例之前，你不配說你懂數據結構和算法”）。
- 看到這個問題后，第一想法是什么？模擬搜索+剪枝？回溯？時間復雜度有多大？其中bn為an的偽親和數，即bn是an的真因數之和大約是多少？至少是10^13（@iicup：N^1.5 對于5*10^6 , 次數大致 10^10 而不是 10^13.）的數量級的。那么對于每秒千萬次運算的計算機來說，大概在1000多天也就是3年內就可以搞定了（iicup的計算: 10^13 / 10^7 =1000000(秒) 大約 278 小時. ）。如果是基于這個基數在優化，你無法在一天內得到結果的。
- 一個不錯的算法應該在半小時之內搞定這個問題，當然這樣的算法有很多。節約時間的做法是可以生成伴隨數組，也就是空間換時間，但是那樣，空間代價太大，因為數據規模龐大。
- 在稍后的算法中，依然使用的伴隨數組，只不過，因為題目的特殊性，只是它方便和巧妙地利用了下標作為伴隨數組，來節約時間。同時，將回溯的思想換成遞推的思想（預處理數組的時間復雜度為logN（調和級數）*N，掃描數組的時間復雜度為線性O（N）。所以，總的時間復雜度為O（N*logN+N）（其中logN為調和級數） ）。
第二節、伴隨數組線性遍歷
依據上文中的第3點思路，編寫如下代碼：
int sum[5000010]; //為防越界
int main()
{
int i, j;
for (i = 0; i <= 5000000; i++)
sum[i] = 1; //1是所有數的真因數所以全部置1
for (i = 2; i + i <= 5000000; i++)
{
//5000000以下最大的真因數是不超過它的一半的
j = i + i; //因為真因數，所以不能算本身，所以從它的2倍開始
while (j <= 5000000)
{
//將所有i的倍數的位置上加i
sum[j] += i;
j += i;
}
}
for (i = 220; i <= 5000000; i++) //掃描，O（N）。
{
// 一次遍歷，因為知道最小是220和284因此從220開始
if (sum[i] > i && sum[i] <= 5000000 && sum[sum[i]] == i)
{
//去重，不越界，滿足親和
printf("%d %d/n",i,sum[i]);
}
}
return 0;
}
第三節、程序的構造與解釋
我再來具體解釋下上述程序的原理，ok，舉個例子，假設是求10以內的親和數，求解步驟如下：
因為所有數的真因數都包含1，所以，先在各個數的下方全部置1
- 然后取i=2,3,4,5（i<=10/2），j依次對應的位置為j=（4、6、8、10），（6、9）,（8）,（10）各數所對應的位置。
- 依據j所找到的位置，在j所指的各個數的下面加上各個真因子i（i=2、3、4、5）。
整個過程，即如下圖所示（如sum[6]=1+2+3=6，sum[10]=1+2+5=8.）：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
3 3
4
5 - 然后一次遍歷i從220開始到5000000，i每遍歷一個數后，
將i對應的數下面的各個真因子加起來得到一個和sum[i]，如果這個和sum[i]==某個i’，且sum[i‘]=i，
那么這兩個數i和i’，即為一對親和數。 - i=2；sum[4]+=2，sum[6]+=2，sum[8]+=2，sum[10]+=2，sum[12]+=2...
i=3，sum[6]+=3，sum[9]+=3...
...... - i=220時，sum[220]=284，i=284時，sum[284]=220；即sum[220]=sum[sum[284]]=284，
得出220與284是一對親和數。所以，最終輸出220、284，...