最近在做單調(diào)隊(duì)列，發(fā)現(xiàn)了最長(zhǎng)上升子序列O(nlogn)的求法也有利用單調(diào)隊(duì)列的思想。
最長(zhǎng)遞增子序列問(wèn)題：在一列數(shù)中尋找一些數(shù)，這些數(shù)滿(mǎn)足：任意兩個(gè)數(shù)a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，這樣最長(zhǎng)的子序列稱(chēng)為最長(zhǎng)遞增子序列。
設(shè)dp[i]表示以i為結(jié)尾的最長(zhǎng)遞增子序列的長(zhǎng)度，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：
dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].
這樣簡(jiǎn)單的復(fù)雜度為O(n^2)，其實(shí)還有更好的方法。
考慮兩個(gè)數(shù)a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，當(dāng)a[t]要選擇時(shí)，到底取哪一個(gè)構(gòu)成最優(yōu)的呢？顯然選取a[x]更有潛力，因?yàn)榭赡艽嬖赼[x]<a[z]<a[y]，這樣a[t]可以獲得更優(yōu)的值。在這里給我們一個(gè)啟示，當(dāng)dp[t]一樣時(shí)，盡量選擇更小的a[x].
按dp[t]=k來(lái)分類(lèi)，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，設(shè)d[k]記錄這個(gè)值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。
這時(shí)注意到d的兩個(gè)特點(diǎn)（重要）：
1. d[k]在計(jì)算過(guò)程中單調(diào)不升；
2. d數(shù)組是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。
利用這兩個(gè)性質(zhì)，可以很方便的求解：
1. 設(shè)當(dāng)前已求出的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度為len（初始時(shí)為1），每次讀入一個(gè)新元素x：
2. 若x>d[len]，則直接加入到d的末尾，且len++；（利用性質(zhì)2）
否則，在d中二分查找，找到第一個(gè)比x小的數(shù)d[k]，并d[k+1]=x，在這里x<=d[k+1]一定成立（性質(zhì)1,2）。
- /**
- 最長(zhǎng)遞增子序列O(nlogn)算法：
- 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：f[i] = max{f[i],f[j]+1},1<=j<i,a[j]<a[i].
- 分析：加入x<y,f[x]>=f[y],則x相對(duì)于y更有潛力。
- 首先根據(jù)f[]值分類(lèi)，記錄滿(mǎn)足f[t]=k的最小的值a[t],記d[k]=min{a[t]},f[t]=k.
- 1.發(fā)現(xiàn)d[k]在計(jì)算過(guò)程中單調(diào)不上升
- 2.d[1]<d[2]<...<d[k] (反證) 1 2 3 8 4 7
- 解法：
- 1. 設(shè)當(dāng)前最長(zhǎng)遞增子序列為len,考慮元素a[i];
- 2. 若d[len]<a[i],則len++，并將d[len]=a[i];
- 否則,在d[0-len]中二分查找,找到第一個(gè)比它小的元素d[k],并d[k+1]=a[i].()
- */
- #include <iostream>
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- using namespace std;
- const int N = 41000;
- int a[N]; //a[i] 原始數(shù)據(jù)
- int d[N]; //d[i] 長(zhǎng)度為i的遞增子序列的最小值
-
- int BinSearch(int key, int* d, int low, int high)
- {
- while(low<=high)
- {
- int mid = (low+high)>>1;
- if(key>d[mid] && key<=d[mid+1])
- return mid;
- else if(key>d[mid])
- low = mid+1;
- else
- high = mid-1;
- }
- return 0;
- }
-
- int LIS(int* a, int n, int* d)
- {
- int i,j;
- d[1] = a[1];
- int len = 1; //遞增子序列長(zhǎng)度
- for(i = 2; i <= n; i++)
- {
- if(d[len]<a[i])
- j = ++len;
- else
- j = BinSearch(a[i],d,1,len) + 1;
- d[j] = a[i];
- }
- return len;
- }
-
- int main()
- {
- int t;
- int p;
- scanf("%d",&t);
- while(t--)
- {
- scanf("%d",&p);
- for(int i = 1; i <= p; i++)
- scanf("%d",&a[i]);
- printf("%d\n",LIS(a,p,d));
- }
- return 0;
- }