Mandelbrot集合是在復平面組成分形的點的集合，用復二次多項式 來定義

其中c是一個復參數(shù)。對于每一個c，從開始對f_c(z)進行迭代。 
序列  的元素的模（復數(shù)具有模的概念）或者延伸到無窮大，或者只停留在有限半徑的圓盤內(nèi)。Mandelbrot集合就是使以上序列不延伸至無限大的所有c點的集合。

簡單來說，對于迭代式：f_c(z) = z² + c ，Mandelbrot Set 迭代過程中的z值是固定的，是使上述迭代式始終在某一范圍內(nèi)而不發(fā)散于無窮大的c值的集

合；而Julia Set的迭代過程中c是固定的，上述是使上述迭代式始終在某一范圍內(nèi)而不發(fā)散于無窮大的z值的集合。

從數(shù)學上來講，Mandelbrot集合是一個復數(shù)的集合。一個給定的復數(shù)c或者屬于Mandelbrot集合M，或者不屬于。比如，取c = 1，那么這個序列就是(0, 1, 2, 5, 26, ...)，顯然它的值會趨于無窮大；而如果取c = i，那么序列就是(0, i, -1+i, -i, -1+i, -i,...)，它的值會一直停留在有限半徑的圓盤內(nèi)。

事實上，一個點屬于Mandelbrot集合當且僅當它對應的序列（由上面的二項式定義）中的任何元素的模都不大于2。這里的2就是上面提到的“有限半徑”。

在計算機上繪制Mandelbrot集合

計算機的屏幕上的像素只有有限個，而Mandelbrot集合中的點則有無限個。

觀察上面復平面的局部，Mandelbrot集合即黑色區(qū)域，實部從-2到1，虛部從-1到1，那么將兩個點(-2, 1)和(1, -1)作為一個矩形的左上角頂點和右下角頂點，那么這個矩形就包含了整個Mandelbrot集合，該矩形的長為3，寬為2。我們可以將這個矩形與屏幕上的區(qū)域進行映射，也就是將屏幕上的一個像素映射為該矩形內(nèi)的一點，如果該點屬于Mandelbrot集合，就將該像素著為黑色，這樣逐一對每個像素進行判斷和著色，就可以模擬繪制Mandelbrot集合了。該矩形的長寬比為3：2，我們在屏幕上可以取600 * 400的矩形區(qū)域。

完成映射后來考慮如何判斷一個點是否屬于該集合。其根據(jù)就是上面的結(jié)論“一個點屬于Mandelbrot集合當且僅當它對應的序列（由上面的二項式定義）中的任何元素的模都不大于2”，由于序列的的元素有無窮多個，我們只能取有限的迭代次數(shù)來模擬了，比如取100或1000次。

 一個基本的Mandelbrot set的繪制<基于OpenGL>,沒有設置復雜的顏色



一個給點著色的Mandelbrot set的繪制<基于OpenGL>



一個給點著色的Mandelbrot set的繪制 三次 <基于OpenGL>