PCurve - Curve on Surface
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Abstract. 本文通過給出曲面上曲線PCurve的定義來對OpenCascade中的Curve On Surface進行理解，并介紹了OpenCascade對應的類BRep_CurveOnSurface實現。通過Tcl腳本輸出的球的拓樸信息，分析PCurve的實際應用。
Key words. OpenCascade, ACIS, PCurve, Curve on Surface, Parametric Surface
1. Introduction
不管是ACIS還是OpenCascade中都有PCurve這個概念，字面上來理解就是參數曲線（Parametric Curve）。在《基于ACIS的幾何造型技術與系統開發》中也看到這個概念，如下圖所示：
Figure 1.1 PCurve Entity of ACIS
“參數空間曲線是在參數曲面的雙參數空間中的二維樣條曲線。類pcurve是附加在參數曲面之間公共邊上的數據結構。”看完之后，對pcurve的概念還是不太清楚。本文給出PCurve的定義，并介紹PCurve在OpenCascade中的實現。根據定義可以對PCurve有個基本認識。
2. Definition of PCurve
PCurve為曲面上的曲線（Curve on Surface），其定義為：設曲面方程為
令參數u,v又是另一參數t的函數，即
將其代入曲面方程，得到：
當t變化時，就得到曲面上的一條單參數曲線，稱為曲面上的曲線或簡稱曲面上曲線（Curve on Surface）。若以s表示曲面上曲線的弧長，則由復合函數的求導公式可得弧長微分公式：
令：
則有：
在古典微分幾何中，上式稱為曲面的第一基本公式，E，F，G稱為第一基本量。在曲面上，每一點的第一基本量與參數化無關，在整張曲面上，第一基本量是參數u和v的連續函數。讀者注意，弧元ds是曲線的幾何不變量，與曲面的參數化無關。關于曲線曲面更多的信息，請參考《微分幾何》、《計算幾何》之類的書籍。本文主要為了理解曲面上曲線PCurve的概念及其在OpenCascade中的實現。
目前對PCurve的應用還不太清楚，但是微分幾何中引入這個概念肯定是有他的意義，就像在程序設計中引入Pimpl（pointer to implementation）這個idiom。盡管引入Pimpl idiom會增加內存的額外開銷，甚至因為增加了間接層使程序代碼變得不易讀和不好調試，但是人們仍然樂于使用。站在API設計者的角度，它能隱藏信息、降低耦合、減少文件間的依賴，加快編譯速度、且可使生成的庫的兼容性更好等等，很多優點。所以在《Effective C++》和《API Design for C++》中，作者反復提到并使用Pimpl idiom。類比微分幾何引入的PCurve，先在此做上標記，如果有了新的理解再做分析。
3. PCurve in OpenCascade
在OpenCascade中對應于曲面上曲線PCurve的類是BRep_CurveOnSurface，其文檔中的說明為：Representation of a curve by a curve in the parametric space of a surface.
結合定義上面這句話就好理解了。現摘抄部分代碼來分析PCurve的定義和使用：
//=======================================================================
//function : BRep_CurveOnSurface
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BRep_CurveOnSurface::BRep_CurveOnSurface(const Handle(Geom2d_Curve)& PC,
const Handle(Geom_Surface)& S,
const TopLoc_Location& L) :
BRep_GCurve(L,PC->FirstParameter(),PC->LastParameter()),
myPCurve(PC),
mySurface(S)
{
}
//=======================================================================
//function : D0
//=======================================================================
void BRep_CurveOnSurface::D0(const Standard_Real U, gp_Pnt& P) const
{
// shoud be D0 NYI
gp_Pnt2d P2d = myPCurve->Value(U);
P = mySurface->Value(P2d.X(),P2d.Y());
P.Transform(myLocation.Transformation());
}
從其構造函數來看，要生成一個PCurve必須有曲線PC和曲面S及位置L。
從求PCurve的零次微分的函數D0可以看出，只需要一個參數U就可以計算出曲面上的點P。結合前面介紹的PCurve的定義，不難理解這段代碼的意義。下面通過分析球面的拓樸結構，看看PCurve的應用。
Figure 3.1 Sphere in Draw Test Harness
4. Code Demo
下面的程序生成一個球，再把其拓樸結構顯示出來，可以看到其中就有PCurve的信息。使用Tcl腳本程序示例如下：
pload ALL
psphere s 1.0
dump s
以上Tcl腳本在OpenCascade的Draw Test Harness中運行結果如下所示：
Figure 4.1 PCurve in Sphere
由上圖可知，球的Edge5由一個PCurve來表示。曲面上曲線PCurve在拓樸結構輸出的信息位于Curve2ds中，曲面的幾何數據位于surfaces中，分別如下圖所示：
Figure 4.2 PCurves of Sphere
PCurve編號為4的是條直線，起點（0，-1.570796），方向為（1，0）即X方向。
Figure 4.3 Surfaces of Sphere
曲面編號為1的是一個球面，圓心（0，0，0），半徑為1，坐標系與世界坐標系相同。
結合PCurve 4和曲面1及PCurve的參數范圍，可以計算出曲面上的一條曲線上的坐標值。不過上面球面的例子中的Edge是degenerated邊，退化成一個點了。
由上面球的拓樸信息可知，在理解了參數曲線曲面（有向性）、奇點（Singular Point），參數曲面的奇異性（Singularity）、曲面上曲線（PCurve）等概念后，OpenCascade的拓樸結構就可以基本理解了。
5. Conclusions
本文通過給出曲面上曲線PCurve的定義來對OpenCascade中的Curve On Surface進行理解，并介紹了OpenCascade對應的類BRep_CurveOnSurface實現。
通過Tcl腳本輸出的球的拓樸信息，看看PCurve的實際應用，從中可以看出使用Tcl的簡單與便捷。
6. References
1. 朱心雄，自由曲線曲面造型技術，科學出版社，2000
2. 王仁宏 李崇君 朱春鋼，計算幾何教程，科學出版社，2008
3. 陳維桓，微分幾何，北京大學出版社，2006
4. 詹海生 李廣鑫 馬志欣，基于ACIS的幾何造型技術與系統開發，清華大學出版社，2002