PCurve - Curve on Surface
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Abstract. 本文通過給出曲面上曲線PCurve的定義來對(duì)OpenCascade中的Curve On Surface進(jìn)行理解，并介紹了OpenCascade對(duì)應(yīng)的類BRep_CurveOnSurface實(shí)現(xiàn)。通過Tcl腳本輸出的球的拓樸信息，分析PCurve的實(shí)際應(yīng)用。
Key words. OpenCascade, ACIS, PCurve, Curve on Surface, Parametric Surface
1. Introduction
不管是ACIS還是OpenCascade中都有PCurve這個(gè)概念，字面上來理解就是參數(shù)曲線（Parametric Curve）。在《基于ACIS的幾何造型技術(shù)與系統(tǒng)開發(fā)》中也看到這個(gè)概念，如下圖所示：
Figure 1.1 PCurve Entity of ACIS
“參數(shù)空間曲線是在參數(shù)曲面的雙參數(shù)空間中的二維樣條曲線。類pcurve是附加在參數(shù)曲面之間公共邊上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。”看完之后，對(duì)pcurve的概念還是不太清楚。本文給出PCurve的定義，并介紹PCurve在OpenCascade中的實(shí)現(xiàn)。根據(jù)定義可以對(duì)PCurve有個(gè)基本認(rèn)識(shí)。
2. Definition of PCurve
PCurve為曲面上的曲線（Curve on Surface），其定義為：設(shè)曲面方程為
令參數(shù)u,v又是另一參數(shù)t的函數(shù)，即
將其代入曲面方程，得到：
當(dāng)t變化時(shí)，就得到曲面上的一條單參數(shù)曲線，稱為曲面上的曲線或簡(jiǎn)稱曲面上曲線（Curve on Surface）。若以s表示曲面上曲線的弧長(zhǎng)，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可得弧長(zhǎng)微分公式：
令：
則有：
在古典微分幾何中，上式稱為曲面的第一基本公式，E，F(xiàn)，G稱為第一基本量。在曲面上，每一點(diǎn)的第一基本量與參數(shù)化無關(guān)，在整張曲面上，第一基本量是參數(shù)u和v的連續(xù)函數(shù)。讀者注意，弧元ds是曲線的幾何不變量，與曲面的參數(shù)化無關(guān)。關(guān)于曲線曲面更多的信息，請(qǐng)參考《微分幾何》、《計(jì)算幾何》之類的書籍。本文主要為了理解曲面上曲線PCurve的概念及其在OpenCascade中的實(shí)現(xiàn)。
目前對(duì)PCurve的應(yīng)用還不太清楚，但是微分幾何中引入這個(gè)概念肯定是有他的意義，就像在程序設(shè)計(jì)中引入Pimpl（pointer to implementation）這個(gè)idiom。盡管引入Pimpl idiom會(huì)增加內(nèi)存的額外開銷，甚至因?yàn)樵黾恿碎g接層使程序代碼變得不易讀和不好調(diào)試，但是人們?nèi)匀粯酚谑褂谩Ｕ驹贏PI設(shè)計(jì)者的角度，它能隱藏信息、降低耦合、減少文件間的依賴，加快編譯速度、且可使生成的庫的兼容性更好等等，很多優(yōu)點(diǎn)。所以在《Effective C++》和《API Design for C++》中，作者反復(fù)提到并使用Pimpl idiom。類比微分幾何引入的PCurve，先在此做上標(biāo)記，如果有了新的理解再做分析。
3. PCurve in OpenCascade
在OpenCascade中對(duì)應(yīng)于曲面上曲線PCurve的類是BRep_CurveOnSurface，其文檔中的說明為：Representation of a curve by a curve in the parametric space of a surface.
結(jié)合定義上面這句話就好理解了。現(xiàn)摘抄部分代碼來分析PCurve的定義和使用：
//=======================================================================
//function : BRep_CurveOnSurface
//=======================================================================
BRep_CurveOnSurface::BRep_CurveOnSurface(const Handle(Geom2d_Curve)& PC,
const Handle(Geom_Surface)& S,
const TopLoc_Location& L) :
BRep_GCurve(L,PC->FirstParameter(),PC->LastParameter()),
myPCurve(PC),
mySurface(S)
{
}
//=======================================================================
//function : D0
//=======================================================================
void BRep_CurveOnSurface::D0(const Standard_Real U, gp_Pnt& P) const
{
// shoud be D0 NYI
gp_Pnt2d P2d = myPCurve->Value(U);
P = mySurface->Value(P2d.X(),P2d.Y());
P.Transform(myLocation.Transformation());
}
從其構(gòu)造函數(shù)來看，要生成一個(gè)PCurve必須有曲線PC和曲面S及位置L。
從求PCurve的零次微分的函數(shù)D0可以看出，只需要一個(gè)參數(shù)U就可以計(jì)算出曲面上的點(diǎn)P。結(jié)合前面介紹的PCurve的定義，不難理解這段代碼的意義。下面通過分析球面的拓樸結(jié)構(gòu)，看看PCurve的應(yīng)用。
Figure 3.1 Sphere in Draw Test Harness
4. Code Demo
下面的程序生成一個(gè)球，再把其拓樸結(jié)構(gòu)顯示出來，可以看到其中就有PCurve的信息。使用Tcl腳本程序示例如下：
pload ALL
psphere s 1.0
dump s
以上Tcl腳本在OpenCascade的Draw Test Harness中運(yùn)行結(jié)果如下所示：
Figure 4.1 PCurve in Sphere
由上圖可知，球的Edge5由一個(gè)PCurve來表示。曲面上曲線PCurve在拓樸結(jié)構(gòu)輸出的信息位于Curve2ds中，曲面的幾何數(shù)據(jù)位于surfaces中，分別如下圖所示：
Figure 4.2 PCurves of Sphere
PCurve編號(hào)為4的是條直線，起點(diǎn)（0，-1.570796），方向?yàn)椋?，0）即X方向。
Figure 4.3 Surfaces of Sphere
曲面編號(hào)為1的是一個(gè)球面，圓心（0，0，0），半徑為1，坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系相同。
結(jié)合PCurve 4和曲面1及PCurve的參數(shù)范圍，可以計(jì)算出曲面上的一條曲線上的坐標(biāo)值。不過上面球面的例子中的Edge是degenerated邊，退化成一個(gè)點(diǎn)了。
由上面球的拓樸信息可知，在理解了參數(shù)曲線曲面（有向性）、奇點(diǎn)（Singular Point），參數(shù)曲面的奇異性（Singularity）、曲面上曲線（PCurve）等概念后，OpenCascade的拓樸結(jié)構(gòu)就可以基本理解了。
5. Conclusions
本文通過給出曲面上曲線PCurve的定義來對(duì)OpenCascade中的Curve On Surface進(jìn)行理解，并介紹了OpenCascade對(duì)應(yīng)的類BRep_CurveOnSurface實(shí)現(xiàn)。
通過Tcl腳本輸出的球的拓樸信息，看看PCurve的實(shí)際應(yīng)用，從中可以看出使用Tcl的簡(jiǎn)單與便捷。
6. References
1. 朱心雄，自由曲線曲面造型技術(shù)，科學(xué)出版社，2000
2. 王仁宏 李崇君 朱春鋼，計(jì)算幾何教程，科學(xué)出版社，2008
3. 陳維桓，微分幾何，北京大學(xué)出版社，2006
4. 詹海生 李廣鑫 馬志欣，基于ACIS的幾何造型技術(shù)與系統(tǒng)開發(fā)，清華大學(xué)出版社，2002