線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為
算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)中。
現(xiàn)代線性代數(shù)的歷史可以上溯到1843年和1844年。1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。1844年，格拉斯曼發(fā)表了他的著作《Die lineare Ausdehnungslehre》。1857年，阿瑟·凱萊介入了矩陣，這是最基礎(chǔ)的線性代數(shù)思想之一。這些早期的文獻(xiàn)掩飾了線性代數(shù)主要在二十世紀(jì)發(fā)展的事實(shí): 在抽象代數(shù)的環(huán)論開發(fā)之前叫做矩陣的類似數(shù)的對象是難于名次列前的。隨著狹義相對論的到來，很多開拓者增值了線性代數(shù)的微妙。進(jìn)一步的，解偏微分方程的克萊姆法則的例行應(yīng)用導(dǎo)致了大學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)教育中包括了線性代數(shù)。例如，E.T. Copson 寫到:
| “ |
當(dāng)我在 1922 年到愛丁堡做年輕的講師的時(shí)候，我驚奇的發(fā)現(xiàn)了不同于牛津的課程。這里包括了我根本就不知道的主題如勒貝格積分、矩陣論、數(shù)值分析、黎曼幾何... |
” |
|
──E.T. Copson，Preface to Partial Differential Equations, 1973
|
1888 年，弗蘭西斯·高爾頓發(fā)起了相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用。經(jīng)常有多于一個(gè)隨機(jī)變量出現(xiàn)并且它們可以互相關(guān)。在多變元隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分析中，相關(guān)矩陣是自然的工具。所以這種隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)研究幫助了矩陣用途的開發(fā)。
[編輯]基本介紹
線性代數(shù)起源于對二維和三維直角坐標(biāo)系的研究。 在這里，一個(gè)向量是一個(gè)有方向的線段，由長度和方向同時(shí)表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標(biāo)量做加法和乘法。這就是實(shí)數(shù)向量空間的第一個(gè)例子。
現(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴(kuò)展到研究任意或無限維空間。一個(gè)維數(shù)為 n 的向量空間叫做 n 維空間。在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴(kuò)展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象 n 維空間中的向量，這樣的向量（即 n 元組）用來表示數(shù)據(jù)非常有效。由于作為 n 元組，向量是 n 個(gè)元素的“有序”列表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)。比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以使用 8 維向量來表示 8 個(gè)國家的國民生產(chǎn)總值（GNP）。當(dāng)所有國家的順序排定之后，比如 (中國, 美國, 英國, 法國, 德國, 西班牙, 印度, 澳大利亞)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 顯示這些國家某一年各自的 GNP。這里，每個(gè)國家的 GNP 都在各自的位置上。
作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個(gè)領(lǐng)域。一些顯著的例子有： 不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán)。 線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要角色，特別在 向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域。
向量空間是在域上定義的，比如實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域。線性算子將線性空間的元素映射到另一個(gè)線性空間（也可以是同一個(gè)線性空間），保持向量空間上加法和標(biāo)量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個(gè)向量空間。如果一個(gè)線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個(gè)數(shù)表，稱為矩陣。對矩陣性質(zhì)和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認(rèn)為是線性代數(shù)的一部分。
我們可以簡單地說數(shù)學(xué)中的線性問題——-那些表現(xiàn)出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似的問題。 在實(shí)踐中與非線性問題的差異是很重要的。
線性代數(shù)方法是指使用線性觀點(diǎn)看待問題，并用線性代數(shù)的語言描述它、解決它（必要時(shí)可使用矩陣運(yùn)算）的方法。這是數(shù)學(xué)與工程學(xué)中最主要的應(yīng)用之一。
[編輯]一些有用的定理
[編輯]一般化和相關(guān)主題
線性代數(shù)是一個(gè)成功的理論，其方法已經(jīng)被應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他分支。
- 模論就是將線性代數(shù)中的標(biāo)量的域用環(huán)替代進(jìn)行研究。
- 多線性代數(shù)將映射的“多變量”問題線性化為每個(gè)不同變量的問題，從而產(chǎn)生了張量的概念。
- 在算子的光譜理論中，通過使用數(shù)學(xué)分析，可以控制無限維矩陣。
所有這些領(lǐng)域都有非常大的技術(shù)難點(diǎn)。
- ↑ 對于有限生成的向量空間存在一個(gè)基是直接了當(dāng)?shù)?，但是?a class=new title=向量空間的維數(shù)定理 target=_blank ?>完全一般性的情況下，它邏輯上等價(jià)于選擇公理。
- Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra, licensed under GFDL.
- Fearnley-Sander, Desmond, Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
- Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.
- Jim Hefferon: Linear Algebra (Online textbook)
- Edwin H. Connell: Elements of Abstract and Linear Algebra (Online textbook)
[編輯]外部鏈接
posted on 2007-11-08 00:56
姚明 閱讀(773)
評論(0) 編輯 收藏 引用 所屬分類:
高等數(shù)學(xué)