線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)中。

[編輯]歷史

現(xiàn)代線性代數(shù)的歷史可以上溯到1843年和1844年。1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。1844年，格拉斯曼發(fā)表了他的著作《Die lineare Ausdehnungslehre》。1857年，阿瑟·凱萊介入了矩陣，這是最基礎(chǔ)的線性代數(shù)思想之一。這些早期的文獻(xiàn)掩飾了線性代數(shù)主要在二十世紀(jì)發(fā)展的事實: 在抽象代數(shù)的環(huán)論開發(fā)之前叫做矩陣的類似數(shù)的對象是難于名次列前的。隨著狹義相對論的到來，很多開拓者增值了線性代數(shù)的微妙。進(jìn)一步的，解偏微分方程的克萊姆法則的例行應(yīng)用導(dǎo)致了大學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)教育中包括了線性代數(shù)。例如，E.T. Copson 寫到:

“	當(dāng)我在 1922 年到愛丁堡做年輕的講師的時候，我驚奇的發(fā)現(xiàn)了不同于牛津的課程。這里包括了我根本就不知道的主題如勒貝格積分、矩陣論、數(shù)值分析、黎曼幾何...	”
──E.T. Copson，Preface to Partial Differential Equations, 1973

1888 年，弗蘭西斯·高爾頓發(fā)起了相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用。經(jīng)常有多于一個隨機(jī)變量出現(xiàn)并且它們可以互相關(guān)。在多變元隨機(jī)變量的統(tǒng)計分析中，相關(guān)矩陣是自然的工具。所以這種隨機(jī)向量的統(tǒng)計研究幫助了矩陣用途的開發(fā)。

[編輯]基本介紹

線性代數(shù)起源于對二維和三維直角坐標(biāo)系的研究。 在這里，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標(biāo)量做加法和乘法。這就是實數(shù)向量空間的第一個例子。

現(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴(kuò)展到研究任意或無限維空間。一個維數(shù)為 n 的向量空間叫做 n 維空間。在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴(kuò)展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象 n 維空間中的向量，這樣的向量（即 n 元組）用來表示數(shù)據(jù)非常有效。由于作為 n 元組，向量是 n 個元素的“有序”列表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)。比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生產(chǎn)總值（GNP）。當(dāng)所有國家的順序排定之后，比如 (中國, 美國, 英國, 法國, 德國, 西班牙, 印度, 澳大利亞)，可以使用向量 (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈) 顯示這些國家某一年各自的 GNP。這里，每個國家的 GNP 都在各自的位置上。

作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個領(lǐng)域。一些顯著的例子有： 不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán)。 線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要角色，特別在 向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域。

向量空間是在域上定義的，比如實數(shù)域或復(fù)數(shù)域。線性算子將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標(biāo)量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數(shù)表，稱為矩陣。對矩陣性質(zhì)和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認(rèn)為是線性代數(shù)的一部分。

我們可以簡單地說數(shù)學(xué)中的線性問題——-那些表現(xiàn)出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似的問題。 在實踐中與非線性問題的差異是很重要的。

線性代數(shù)方法是指使用線性觀點看待問題，并用線性代數(shù)的語言描述它、解決它（必要時可使用矩陣運算）的方法。這是數(shù)學(xué)與工程學(xué)中最主要的應(yīng)用之一。

[編輯]一些有用的定理

• 每一個線性空間都有一個基。^[1]
• 對一個 n 行 n 列的非零矩陣A，如果存在一個矩陣 B 使 AB = BA = I（I 是單位矩陣），則 A 為非奇異矩陣。
• 一個矩陣非奇異當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為零。
• 一個矩陣非奇異當(dāng)且僅當(dāng)它代表的線性變換是個自同構(gòu)。
• 一個矩陣半正定當(dāng)且僅當(dāng)它的每個特征值大于或等于零。
• 一個矩陣正定當(dāng)且僅當(dāng)它的每個特征值都大于零。

[編輯]一般化和相關(guān)主題

線性代數(shù)是一個成功的理論，其方法已經(jīng)被應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他分支。

• 模論就是將線性代數(shù)中的標(biāo)量的域用環(huán)替代進(jìn)行研究。
• 多線性代數(shù)將映射的“多變量”問題線性化為每個不同變量的問題，從而產(chǎn)生了張量的概念。
• 在算子的光譜理論中，通過使用數(shù)學(xué)分析，可以控制無限維矩陣。

所有這些領(lǐng)域都有非常大的技術(shù)難點。

[編輯]注解

1. ↑ 對于有限生成的向量空間存在一個基是直接了當(dāng)?shù)模窃?a class=new title=向量空間的維數(shù)定理 target=_blank ?>完全一般性的情況下，它邏輯上等價于選擇公理。

[編輯]參見

• 線性代數(shù)相關(guān)條目
• 重要線性代數(shù)著作
• 數(shù)值線性代數(shù)

[編輯]引用

[編輯]外部鏈接

• MIT Linear Algebra Lectures: free videos from MIT OpenCourseWare
• Streaming MIT Linear Algebra Lectures at Google Video
• Linear Algebra Toolkit.
• Linear Algebra Workbench: multiply and invert matrices, solve systems, eigenvalues etc.
• Linear Algebra on MathWorld.
• Linear Algebra overview and notation summary on PlanetMath.
• Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Linear Algebra by Elmer G. Wiens. Interactive web pages for vectors, matrices, linear equations, etc.
• Linear Algebra Solved Problems: Interactive forums for discussion of linear algebra problems, from the lowest up to the hardest level (Putnam).
• Linear Algebra for Informatics. José Figueroa-O'Farrill, University of Edinburgh
• Linear Algebra by Jim Hefferon: A free textbook with exercises and a solutions guide written by a professor at Saint Michael\'s College.
• Online Notes / Linear Algebra Paul Dawkins, Lamar University
• Elementary Linear Algebra textbook with solutions