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姚明 — Wed, 09 Jan 2008 16:22:00 GMT

数学可以“�?#8221;出来

新课�E�实施以来，关于数学教学的一个重大改变就是把学习数学的过�E�变�?#8220;�?#8221;数学的过�E�。随着数学的发展，其科学尤其是技术的性质得到��来��广泛的体现�Q��h们对于数学的认识也在不断改变着�Q?#8220;��Z��Ҏ��学研�I�方法的描绘主要集中于利用纸、笔�q�行�q�算和证�?/span>,很难体会观察、实验、模拟、尝试、调控等�z�d��Ҏ��学的作用,其实�q�些也是数学研究的重要方式�?#8221;�Q�《新评��标准解读》）带着�q�样的想法，回顾我们的教学过�E�，是不是很好的体现�?#8220;�?#8221;的特性，是不是给予学生更多的旉��去观察，然后通过操作实验的活动获取知识，�q�是仍然通过教师讲解的方式把知识塞进学生的认知结构中�Q?/span>

首先要明��?#8220;�?#8221;数学的优点在哪里�Q�我惛_��教学的过�E�中�Q�学生应该是其中的一个积极的环节�Q�他们应该完全参与到学习的过�E�中来，�q�且能够体会到其中的所有快乐和艰辛�Q�只�?#8220;�?#8221;的过�E�才能让学生充分的融入学习中。通过“�?#8221;数学的过�E�，学生才能够在自己的知识体�p�M��更好的接�U�x��学知识，使知识和学生的成长互相生成。在我们的教学过�E�中�Q�要充分�q�用每一�ơ实跉|��动的��Z��Q�让学生有准备的参与到其中。有时候，我们或许会觉得这��h��那样的活动看似可有可无，考试也不一定会考这些内容，我们自然隑օ�有轻视的思想�Q�就更不要说在诸如计��教学过�E�中重视“�?#8221;数学的方面了。这��是关于如何“�?#8221;数学的思考了�?/span>

其次如何把数�?#8220;�?#8221;出来�Q?/span>��国2061计划�W�一阶段数学专家��组报告中说“我们看到了一个基本的数学�q�程的��@环，它反复出玎ͼ�形成了最基本的�Ş�?/span>──抽象、符号变换和应用�?#8221;�q�就是被学者称�?#8220;数学�?#8221;的过�E�。在�q�个“做数�?/span>”的过�E�中�Q�不仅有计算或演�l�，它涉及了观察、猜��、尝试、调控、估计、检验等多种方式。如果在教学�q�程中，只注重计��或者演�l�，忽视了其他，那么知识只会��教��死�Q�从长远来说�Q�媄响是巨大的，一个没有习惯于数学实践和数学实验的学生�Q�一个没有在数学学习�q�程中尝试着观察、猜��的学生�Q�或者简而言之，一个没有和数学真正接近的学生，又怎么能够真正得到知识的真谛呢�Q�对于整个社会发展来��_��又怎么能够妄言创新�H�破呢？

�q�半个世�U�以来的�U�学技术的飞速发展，令�h��D��~��ؕ�Q�目不暇接。这让我们意识到学习内容的变革以及学习方式的变革的重要性，所以教材不断的攚w��换新�Q�与此同�Ӟ��教学思想和教学方式也要革斎ͼ�而这无�Ş的东西恰恰又是最重要的！但愿我们都能在现实和理想交织的生�z�M��扑ֈ�属于自己的那一�Ҏ��变�?/span>

姚明 2008-01-10 00:22 发表评论

姚明 — Tue, 01 Jan 2008 00:03:00 GMT

三角�?/strong>分�ؓ�q�面三角�?/font>�?strong>球面三角�?/font>。它们都是研�I�三角�Ş中边与角之间的关�p�R��^面三角学分�ؓ角的度量�?a title=三角函数 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0'))">三角函数�?a title=反三角函�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0'))">反三角函�?/font>、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化�U�与�U�化和差公式、解三角形等内容�Q�球面三角学研究球面上由大圆弧构成的球面三角形的边与角之间的关系�Q�在天文�?/font>�?a title=��量�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%8B%E9%87%8F%E5%AD%A6'))">��量�?/font>�?a class=new title=制图�? target=_blank>制图�?/font>�?a title=�l�晶�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%93%E6%99%B6%E5%AD%A6'))">�l�晶�?/font>�?a class=new title=仪器�? target=_blank>仪器�?/font>�{�方面有�q�泛的应用�?/p>

明代末年�Q�由�?a title=历法 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%86%E6%B3%95'))">历法攚w��的需要﹐西学东渐中陆�l�引�q�了几何�?/font>、三角学�{�西�?a title=数学 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6'))">数学。这��工作仍�?a title=清朝 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%85%E6%9C%9D'))">清朝�l�箋�q�行�Q�其中最重要的是�?a title=波兰 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A2%E5%85%B0'))">波兰传教�?/font>�I�尼�?/font>�?a class=new title=薛凤��? target=_blank>薛凤��?/font>所介绍�?a title=�Ҏ�� href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0'))">�Ҏ��Ҏ��。薛凤祚所著�?a class=new title=历学会�? target=_blank>历学会�?/font>》的数学部分主要是传自穆��阁的《比例对数表》（1653�q�_��Q�《比例四�U�新表》和《三角算法》等各一南��《比例对数表》和《比例四�U�新表》分别给��Z��1�?0000的六位对数表和六位三角函敎ͼ�正��u�?a title=余��u href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6'))">余��u�?a title=正切 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%88%87'))">正切�?a title=余切 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%88%87'))">余切�Q�对数表。书中把今天所说的“�Ҏ��”�U�Cؓ“比例�?#8221;�?#8220;假数”�Q��ƈ��单解释了�?a title=�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98'))">�?/font>�?/font>�q�算化�ؓ�?/font>�?/font>�q�算的道理。这是对数方法在中国的首�ơ介�l�。对数是17世纪最重要的发��C��一�Q�它有效地简化了�J�重的计��工作。在�Ҏ��?a title=解析�q�何 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95'))">解析�q�何�?a title=微積�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86'))">微積�?/font>�q�三�U�当时西�Ҏ��重要的数学方法中�Q�也只有�Ҏ��比较及时��C��入了中国。《三角算法》所介绍的��^面三角和球面三角知识�Q�比�?a class=new title=崇祯历书 target=_blank>崇祯历书》中有关三角学的内容更丰富一些。如�q�面三角中包含有正��u定理�?a title=余��u定理 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86'))">余��u定理�?a title=正切定理 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%88%87%E5%AE%9A%E7%90%86'))">正切定理�?a class=new title=半角定理 target=_blank>半角定理�{�，且多是运用三角函数的�Ҏ��q�行计算�?a class=new title=球面三角�? target=_blank>球面三角�?/font>中，增加�?a title=半角公式 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E5%85%AC%E5%BC%8F'))">半角公式�?a class=new title=半弧公式 target=_blank>半弧公式�?a class=new title=达朗贝尔公式 target=_blank>达朗贝尔公式�?a class=new title=�U�皮��公�? target=_blank>�U�皮��公�?/font>�{��?/p>

姚明 2008-01-01 08:03 发表评论

姚明 — Fri, 21 Dec 2007 09:11:00 GMT

数学在计��机囑�Ş学中的应�?/span> Greg Turk, August 1997 “学习计算机图形学需要多��的数学�Q?/span>”�q?是初学者最�l�常问的问题�?br>�{�案取决于你惛_��计算机图形学领域�ȝ��多深。如果仅仅��用周围唾手可得的囑�Ş软�g�Q�你不需要知道多��数学知识�?br>如果惛_��习计��机囑�Ş学的入门知识�Q�我��你读一��M��面所写的前两章（代数�Q�三角学和线性代敎ͼ��?br>如果��x��Z��名图形学的研�I�者，那么�Ҏ��学的学习��是�z�d��老，学到老�?br>如果你�ƈ不特别喜�Ƣ数学，是否仍有在计��机囑�Ş学领域工作的��Z��Q?br>    是的�Q�计��机囑�Ş学的��有一些方面不需要考虑太多的数学问题。你不应该因为数学成�l�不好�?攑ּ�它。不�q�，如果学习了更多的数学知识�Q�似乎你��在研究��N��上有更多的选择余地�?br>对于在计��机囑�Ş学中哪些数学才是重要的还没有明确的答案。这领域里不同的斚w��要求掌握不同的数学知识，也许兴趣��会军_��了你的方向�?br>以下介绍我认为对于计��机囑�Ş学有用的数学�?br>别以为想成�ؓ一名图形学的研�I�者就必须�_�N��各门数学！��Z��对用于图形学的数学有一个全面的看法�Q�我特地列出了很多方面。但是许多研�I�者从不需要考虑下面提到的数学。最后，虽然��M��q�篇文章后，你应该会�Ҏ��学在计算机图形学中的应用有所了解�Q�不�q�这些观点完全是我自��q��。也�怽�应该阅读更多的此�c�L��章，或者至��从其他从事计算机图形学工作的�h那里了解不同的学习重炏V�?br>    现在开始切入正题。代数和三角学对于计��机囑�Ş学的初学者来��_��高中的代数和三角学可能是最重要的数学。日复一日，我从��单的方程解出一个或更多的根。我时常�q�要解决�c�M��求一些几何图形边长的��单三角学问题。代数和三角学是计算机图形学的最基础的知识。那么高中的几何学怎么样呢�Q�可能让�?惊讶�Q�不�q�在多数计算机图形学里，高中的几何学�q�不�l�常被用到。原因是许多学校教的几何学实际上是如何徏立数学证明的评��。虽然证明题�Ҏ��高智力显然是�?效的�Q�但对于计算机图形学来说�Q�那些与几何课有关的定理和证明�ƈ不常被用到。如果你毕业于数学相关领域（包括计算机图形学�Q�，��׃��发现虽然你在证明定理�Q?不过�q�对开始学习图形学不是必要的。如果精通代数和三角学，��可以开始读一本计��机囑�Ş学的入门书了�?br>    下一个重要的用于计算机图形学的数�?/span>—�?/span>�U�性代敎ͼ�多数此类书籍臛_��包含了一个对�U�性代数的��要介�l�。推荐的参考书: Computer Graphics: Principles and Practice James Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes Addison-Wesley [虽然厚重�Q�可是我很喜��?/span>] �U�性代数线性代数的思想贯穿于计��机囑�Ş学。事实上�Q�只要牵涉到几何数��D��C�法,��常常抽象出例如x,y,z�?标之�cȝ��数��|��我们�U�C��为矢量。图形学自始至终��M��开矢量和矩��c��用矢量和矩阉|��描述旋�{�Q��^�U�，或者羃放是再好不过了。高中和大学都有�U�性代数的评��?只要惛_��计算机图形学领域工作�Q�就应该打下坚实的线性代数基��。我刚才提到�Q�许多图形学的书都有关于�U�性代数的��要介�l?/span>—�?/span>��_��教给你图形学的第一门课。推荐的参考书: Linear Algebra and Its Applications Gilbert Strang Academic Press
    微积分学 �?�U�分学是高��计算机图形学的重要成分。如果打��研�I�图形学�Q�我强烈��你应该对微积分学有初步认识。理�׃��仅仅是微�U�分学是一�U�很有用的工��P��q�有许多�?�I�者用微积分学的术语来描述他们的问题和解决办法。另外，在许多重要的数学领域�Q�微�U�分学被作�ؓ�q�一步学习的前提。学习了基本代数之后�Q�微�U�分学又是一�U?能�ؓ你打开多数计算机图形学与后�l�的数学学习之门的课�E�。微�U�分学是我介�l�的最后一个中学课�E�，以下提及的科目几乎全部是大学的课�E��?/span>
    微分几何学微分几何学研究支配光滑曲线�Q�曲面的方程�l�。如果你要计��出�l�过某个�q�离曲面的点�q�垂直于曲面的矢量（法向矢量�Q�就会用到微分几何学。让一辆汽车以特定速度在曲�U�上行驶也牵涉到微分几何学。有一�U�通用的绘制光滑曲面的囑�Ş学技术，叫做“凹凸帖图”�Q�这个技术用��C��微分几何学。如果要着手于用曲�U�和曲面来创造�Ş体（在图形学里称之�ؓ建模�Q�你臛_��应该学习微分几何学的基础。推荐的参考书: Elementary Differential Geometry Barrett O'Neill Academic Press
    数值方法几乎�Q何时候，我们在计��机里用�q�似��g��替精��值来表示和操作数��|��所以计��过�E��L��会有误差。而且对于�l�定的数值问题，常常有多�U�解决的�Ҏ��Q�一些方法会更块�Q�更�_��或者对内存的需求更��。数值方法研�I�的对象包括“计算�Ҏ��”�?/span>“�U�学计算”�{�等。这是一个很�q�K��的领域，而且我将提及的其他几门数学其实是数值方法的一些分支。这些分支包括抽��h��理论�Q�矩阉|��E�组�Q�数值微分方�E�组和最优化。推荐的参考书: Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling and Brian Flannery Cambridge University Press [�q�本参考书很有价值可是很��作为教材��?/span>]
      抽样法理论和信号处理在计��机囑�Ş学里我们反复使用储存在正规二�l�数�l�里的数字集合来表示一些对象，例如囄��和曲面。这�Ӟ��我们��p��用抽��h��来表�C��些对象。如果要控制�q�些对象的品质，抽样法理论就变得��ؓ重要。抽��h��应用于图形学的常见例子是当物体被�l�制在屏�q�上�Ӟ��它的轮廓呈现锯��状的边缘。这锯��?的边�~�（被认为是“��h��”现象�Q�是非常让�h分散注意力的�Q�用抽样法中著名的技术例如回旋，傅立叶变换，�I�间和频率的函数表示��p��把这个现象减��到最��。这些思想在图像和音频处理领域是同样重要的。推荐的参考书: The Fourier Transform and Its Applications Ronald N. Bracewell McGraw Hill
    矩阵方程�l�计��机囑�Ş学的许多问题要用到矩阉|��E�组的数��D��法。一些涉及矩�늚�问题包括�Q�找出最好的位置与方向以使对象们互相匚w��Q�最��二乘法�Q�，创徏一�?覆盖所�l�点集的曲面�Q��ƈ使皱折程度最��（薄板��h��法�Q�，�q�有材质模拟�Q�例如水和衣服等。在囑�Ş学里矩阵表述相当��行�Q�因此在用于囑�Ş学的数学中我对矩�?方程�l�的评�h是很高的。推荐的参考书: Matrix Computations Gene Golub and Charles Van Loan Johns Hopkins University Press
   物理学物理学昄��不是数学的分支，它是自成一家的学科。但是在计算机图形学的某些领域，物理学和数学是紧密联�pȝ��。在囑�Ş学里�Q�牵涉物理学的问题包括光与物体的表面是怎样互相影响的，��Z��动物的移动方式，水与�I�气的流动。�ؓ了模拟这些自然现象，物理学的知识是必不可��的�?br>    �q�和解微分方�E�紧密联�p�，我将会在�?一节提到微分方�E��?/span>
    微分方程的数��D��法我�怿�对于计算机图形学来说�Q�解微分方程的技巧是非常重要的。像我们刚才讨论的，计算机图形学致力于模拟源于真实世界的物理�pȝ��。�L��是怎样在水里�Ş成的�Q�动物是怎样在地面上行走的，�q�就是两个模拟物理系�l�的例子。模拟物理系�l�的问题�l�常��是怎样解微分方�E�的数��D��。请注意�Q�微分方�E�的�?��D��法与微分方程的符可��法是有很大差异的。符可��法求出没有误差的解，而且时常只用于一些非常简单的方程。有时大学课�E�里�?/span>“微分方程”�?教符可��法，不过�q��ƈ不会对多数计��机囑�Ş学的问题有帮助。在对物理系�l�的模拟中，我们把世界细分�ؓ许多表示成矢量的��元素。然后这些元素之间的关系��可以用矩阵来描�q�。虽然要处理的矩阉|��E�组往往没有很精��的解，但是取而代之的是执行了一�p�d��的计��，�q�些计算产生一个表�C�成数列的近��D��。这��是微分方程的数��D��法。请注意�Q�矩阉|��E�的解法与微分方�E�数��D��法的关系是很密切的�?/span>
    最优化在计��机囑�Ş学里�Q�我们常��ؓ了期望的目标��L��一�U�合适的描述对象或者对象集的方法。例如安排灯的位�|��得房间的照明看�v来有�U�特�D�的“感觉”�Q�动画里的�h物要怎样�z�d��四肢才能实现一个特�D�的动作�Q�怎样排版才不会�ə�面混�ؕ。以上这些例子可以归�l��ؓ最优化问题。十�q�前的计��机囑�Ş学几乎没有最优化技术的文献�Q�不�q�最�q�这个领域越来越重视最优化理论。我认�ؓ在计��机囑�Ş学里�Q�最优化的重要性将会日益增加�?/span>
    概率��Z��l�计学计��机囑�Ş学的许多领域都要用到概率��Z��l�计学。当研究者涉��h�c�d��U�时�Q�他们当焉��要统计学来分析数据。图形学相关领域涉及人类学科�Q�例如虚拟现实和人机交互(HCI)。另外，许多用计��机描绘真实世界的问题牵涉到各种未知事�g的概率。两个例子：一��|��长期的树,它的树枝分杈的概率；虚拟的动物如何决定它的行走�\�Uѝ��最后，一些解高难度方�E�组的技巧用了随机数来估计方�E�组的解。重要的例子�Q�蒙特卡�|�方法经常用于光如何传播的问题。以上仅是一部分在计��机囑�Ş学里使用概率论和�l�计学的�Ҏ��?/span> 计算几何学计��几何学研究如何用计��机高效地表�C�Z��操作几何体。典型问题如�Q�碰撞检��，把多边�Ş分解��Z��角�Ş�Q�找出最靠近某个位置的点�Q�这个学�U�包括了�q�算法则�Q�数据结构和数学。图形学的研�I�者，只要涉��创徏形体�Q�徏模）�Q�就要大量用到计��几何学。推荐的参考书: Computational Geometry in C Joseph O'Rourke Cambridge University Press [大学教材] Computational Geometry: An Introduction Franco Preparata and Michael Shamos Springer-Verlag [很经典，不过有点旧了]
    �?�l�：数学应用和数学理论对于图形学来说�Q�以上提到的许多数学学科都有个共同点�Q�比赯��些数学的理论价��|��我们更們֐�于发掘它们的应用价倹{��不要惊讶。图�?学的许多问题和物理学者与工程师们研究的问题是紧密联系的，�q�且物理学者与工程师们使用的数学工��h��是图形学研究者们使用的。多数研�I�纯数学理论的学�U�从不被用于计算机图形学。不�q�这不是�l�对的。请注意�q�些特例�Q�分子生物学正利用节理论来研�I?/span>DNA�?子动力学�Q�亚原子物理学用��C��抽象��论。也许有一天，�U�数学理��Z��能推动计��机囑�Ş学的发展�Q�谁知道呢？有些看来重要的数学实际上在计��机囑�Ş学里不常�?用到。可能拓扑学是此�c�L��学中最有意思的。用一句话来�Ş�Ҏ��扑学�Q�它研究油炸圈饼与咖啡杯��Z��么在本质上是相同的。答案是他们都是只有一个洞的曲面。我�?来讨��Z��下拓扑学的思想。虽然曲面是计算机图形学的重要成分，不过微分几何学的评��已经�늛�了多数对囑�Ş学有用的拓扑学知识。微分几何学研究曲面的造型�Q?可是拓扑学研�I�曲面的盔R��关系。我觉得拓扑学对于图形学来说几乎没用�Q�这是由于拓扑学兛_��抽象的事物，而且拓扑学远��M��多数囑�Ş学的核心—�?/span>三维�Ƨ氏�I�间的概��c��对于图形学来说�Q�拓扑学的�Ş式（�W�号表示法）是表达思想的简便方法，不过囑�Ş学很��用到抽象拓扑学的实际工兗��对囑�Ş学来��_��拓扑学像一个好看的��q��Q�不�q�别指望它能立即带给你回报。有人曾�l�这么问我，计算机图形学是否用到了抽象代敎ͼ��论�Q�环�Q�等�{?/span>….�Q�或者数论。我没怎么遇到�q�。和拓扑学一��P��q�些学科有很多美好的思想。可是很不幸�Q�这些思想很少用于计算机图形学�?/span>

姚明 2007-12-21 17:11 发表评论

姚明 — Wed, 07 Nov 2007 16:56:00 GMT

�U�性代�?/h1>

�U�性代�?/strong>�?a title=数学 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6'))" ??>数学的一个分支，它的研究对象�?a title=向量 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F'))" ??>向量�Q?a title=向量�I�间 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4'))" ??>向量�I�间�Q�或�U?a title=�U�性空�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%A9%BA%E9%97%B4'))" ??>�U�性空�?/a>�Q�，�U�性变�?/a>和有限维�?a title=�U�性方�E�组 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84'))" ??>�U�性方�E�组。向量空间是��C��数学的一个重要课题；因而，�U�性代数被�q�泛地应用于抽象代数�?a title=泛函分析 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%9B%E5%87%BD%E5%88%86%E6%9E%90'))" ??>泛函分析中；通过解析几何�Q�线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化�?a class=new title=��子理论 target=_blank ?>��子理论。由于科学研�I�中的非�U�性模型通常可以被近��gؓ�U�性模型，使得�U�性代数被�q�泛地应用于自然�U�学�?a title=�C�会�U�学 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A4%BE%E4%BC%9A%E7%A7%91%E5%AD%A6'))" ??>�C�会�U�学中�?/p>

目录

1历史

2基本介绍

3一些有用的定理

4一般化和相关主�?/span>

5注解

6参见

7引用

8外部链接

[�~�辑]历史

��C��U�性代数的历史可以上溯�?a title=1843�q?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/1843%E5%B9%B4'))" ??>1843�q?/a>�?a title=1844�q?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/1844%E5%B9%B4'))" ??>1844�q?/a>�?843�q�_��哈密��?/a>发现�?a title=四元�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0'))" ??>四元�?/a>�?844�q�_��格拉斯曼发表了他的著作《Die lineare Ausdehnungslehre》�?857�q�_��阿瑟·凯莱介入�?a title=矩阵 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5'))" ??>矩阵�Q�这是最基础的线性代数思想之一。这些早期的文献掩饰了线性代��C��要在二十世纪发展的事�? �?a title=抽象代数 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0'))" ??>抽象代数�?a title=环论 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%AF%E8%AE%BA'))" ??>环论开发之前叫做矩�늚��c�M��数的对象是难于名�ơ列前的。随着狭义相对�?/a>的到来，很多开拓者增��g��U�性代数的微妙。进一步的�Q�解 偏微分方�E?/a>�?a title=克萊姆法�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%8B%E8%90%8A%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%89%87'))" ??>克莱姆法�?/a>的例行应用导致了大学的标准教育中包括了线性代数。例如，E.T. Copson 写到:

“ 当我�?1922 �q�到�׃��堡做�q�轻的讲师的时候，我惊奇的发现了不同于牛��|的课�E�。这里包括了我根本就不知道的主题�?a class=new title=勒貝格积�? target=_blank ?>勒貝格积�?/a>�?a title=矩阵�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%AE%BA'))" ??>矩阵�?/a>�?a title=数值分�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E6%9E%90'))" ??>数值分�?/a>�?a title=黎曼几何 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E5%87%A0%E4%BD%95'))" ??>黎曼几何... ”

──E.T. Copson�Q�Preface to Partial Differential Equations, 1973

1888 �q�_��弗兰西斯·高尔��?/a>发�v�?a title=相关 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%85%B3'))" ??>相关�p�L��的应用。经常有多于一�?a title=随机变量 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E5%8F%98%E9%87%8F'))" ??>随机变量出现�q�且它们可以互相�?/a>。在 多变元随机变�?/a>�?a class=new title=�l�计分析 target=_blank ?>�l�计分析中，相关矩阵是自然的工具。所以这�U�随机向量的�l�计研究帮助了矩�는�途的开发�?/p>

[�~�辑]基本介绍

�U�性代数�v源于对二�l�和三维直角坐标�p?/a>的研�I��?在这里，一个向量是一个有方向�?a title=�U�段 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%AE%B5'))" ??>�U�段�Q�由长度和方向同时表�C�。这样向量可以用来表�C�物理量�Q�比�?a title=�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%9B'))" ??>�?/a>�Q�也可以�?a title=标量 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%87%E9%87%8F'))" ??>标量做加法和乘法。这��是实数 向量�I�间的第一个例子�?/p>
��C��U�性代数已�l�扩展到研究��L��或无限维�I�间。一个维��Cؓ n 的向量空间叫�?n �l�空间。在二维和三�l�空间中大多数有用的�l�论可以扩展到这些高�l�空间。尽��许多�h不容易想�?n �l�空间中的向量，�q�样的向量（�?n 元组�Q�用来表�C�数据非常有效。由于作�?n 元组�Q�向量是 n 个元素的“有序”列表�Q�大多数人可以在�q�种框架中有效地概括和操�U�|��据。比如，�?a title=�l�济�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%8F%E6%B5%8E%E5%AD%A6'))" ??>�l�济�?/a>中可以��?8 �l�向量来表示 8 个国家的国民生��d�?/a>�Q�GNP�Q�。当所有国家的��序排定之后�Q�比�?(中国, ��国, 英国, 法国, 德国, 西班�?/a>, 印度, 澛_��利亚)�Q�可以��用向�?(v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈) 昄��q�些国家某一�q�各自的 GNP。这里，每个国家�?GNP 都在各自的位�|�上�?/p>
作�ؓ证明定理而��用的�U�抽象概念，向量�I�间�Q�线性空��_��属于抽象代数的一部分�Q�而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映��或矩阵�?a title=��?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4'))" ??>��?/a>�Q�向量空间的�U�性映��的�?/a>�?�U�性代��C��在数学分析中扮演重要角色�Q�特别在向量分析中描�q�高阶导敎ͼ�研究张量�U�和可交换映��等领域�?/p>
向量�I�间是在 �?/a>上定义的�Q�比�?a title=实数 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0'))" ??>实数域或复数域�?a title=�U�性算�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%AE%97%E5%AD%90'))" ??>�U�性算�?/a>��线性空间的元素映射到另一个线性空��_��也可以是同一个线性空��_��Q�保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这�U�变换组成的集合本��n也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是��定的，所有线性变换都可以表示��Z��个数表，�U�Cؓ矩阵。对矩阵性质和矩�?a title=��法 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%B3%95'))" ??>��法的深入研�IӞ��包括行列�?/a>�?a title=特征向量 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F'))" ??>特征向量�Q�也被认为是�U�性代数的一部分�?/p>
我们可以��单地�?a title=数学 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6'))" ??>数学中的�U��?/a>问题—�?那些表现�?a title=�R�性關�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E6%80%A7%E9%97%9C%E4%BF%82'))" ??>�U��?/a>的问题——是最�Ҏ��被解决的。比�?a title=微分�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%AD%A6'))" ??>微分�?/a>研究很多函数�U�性近似的问题�?在实践中�?a title=非線�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E7%B7%9A%E6%80%A7'))" ??>非线�?/a>问题的差异是很重要的�?/p>
�R�性代數方法是指��用线性观点看待问题，�q�用�U�性代数的语言描述它、解军_��Q�必要时可��用矩阵运��）的方法。這是数学與工�E�學中最主要的应用之一�?/p>

[�~�辑]一些有用的定理

每一个线性空间都有一�?a title="�?(�R�性代�?" href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA_%28%E7%B7%9A%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B8%29'))" ??>�?/a>�?sup class=reference id=_ref-0>[1]

对一�?n �?n 列的非零矩阵A�Q�如果存在一个矩�?B �?AB = BA = I�Q?em>I �?a title=单位矩阵 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E7%9F%A9%E9%98%B5'))" ??>单位矩阵�Q�，�?A �?a class=new title=非奇异矩�? target=_blank ?>非奇异矩�?/a>�?/li>
一个矩�?a class=new title=非奇异矩�? target=_blank ?>非奇�?/a>当且仅当它的行列�?/a>不�ؓ零�?/li>
一个矩阵非奇异当且仅当它代表的 �U�性变�?/a>是个 自同�?/a>�?/li>
一个矩�?a class=new title=半正�? target=_blank ?>半正�?/a>当且仅当它的每个 特征�?/a>大于或等于零�?/li>
一个矩�?a title=正定 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%AE%9A'))" ??>正定当且仅当它的每个特征值都大于零�?/li>

[�~�辑]一般化和相关主�?/span>

�U�性代数是一个成功的理论�Q�其�Ҏ��已经被应用于数学的其他分支�?/p>

�?/a>论就是将�U�性代��C��的标量的 �?/a>用环替代�q�行研究�?/li>
多线性代�?/a>��映��的“多变�?#8221;问题�U�性化为每个不同变量的问题�Q�从而��生了 张量的概��c�?/li>
在算子的光谱理论中，通过使用数学分析�Q�可以控制无限维矩阵�?/li>

所有这些领域都有非常大的技术难炏V�?/p>

[�~�辑]注解

↑ 对于有限生成的向量空间存在一个基是直接了当的�Q�但是在完全一般�?/a>的情况下�Q�它逻辑上等价于 选择公理�?/li>

[�~�辑]参见

�U�性代数相��x��?/a>

重要�U�性代数著�?/a>

数值线性代�?/a>

[�~�辑]引用

Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra, licensed under GFDL.

Fearnley-Sander, Desmond, Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.

Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.

Jim Hefferon: Linear Algebra (Online textbook)

Edwin H. Connell: Elements of Abstract and Linear Algebra (Online textbook)

[�~�辑]外部链接

MIT Linear Algebra Lectures: free videos from MIT OpenCourseWare

Streaming MIT Linear Algebra Lectures at Google Video

Linear Algebra Toolkit.

Linear Algebra Workbench: multiply and invert matrices, solve systems, eigenvalues etc.

Linear Algebra on MathWorld.

Linear Algebra overview and notation summary on PlanetMath.

Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics

Linear Algebra by Elmer G. Wiens. Interactive web pages for vectors, matrices, linear equations, etc.

Linear Algebra Solved Problems: Interactive forums for discussion of linear algebra problems, from the lowest up to the hardest level (Putnam).

Linear Algebra for Informatics. José Figueroa-O'Farrill, University of Edinburgh

Linear Algebra by Jim Hefferon: A free textbook with exercises and a solutions guide written by a professor at Saint Michael\'s College.

Online Notes / Linear Algebra Paul Dawkins, Lamar University

Elementary Linear Algebra textbook with solutions

姚明 2007-11-08 00:56 发表评论

常用数学公式

姚明 — Tue, 30 Oct 2007 19:41:00 GMT

公式分类

公式表达�?/div>

乘法与因式分�?/td> a²-b²=(a+b)(a-b) a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

三角不等�?/td> |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二�ơ方�E�的�?/td> -b+√(b²-4ac)/2a -b-b+√(b²-4ac)/2a

根与�p�L��的关�p?/td> X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别�?/td> b²-4a=0 注：方程有相�{�的两实�?/td>

b²-4ac>0 注：方程有一个实�?/td>

b²-4ac<0 注：方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公�?/td> sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan²A) ctg2A=(ctg²A-1)/2ctga

cos2a=cos²a-sin²a=2cos²a-1=1-2sin²a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n��和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n²

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6

1³+2³+3³+4³+5³+6³+…n³=n²(n+1)²/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正��u定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半�?/td>

余��u定理 b²=a²+c²-2accosB 注：角B是边a和边c的夹�?/td>

圆的标准方程 (x-a)²+(y-b)²=r² 注：�Q�a,b�Q�是圆心坐标

圆的一般方�E? x²+y²+Dx+Ey+F=0 注：D²+E²-4F>0

抛物�U�标准方�E?/td> y²=2px y²=-2px x²=2py x²=-2py

直棱�׃��面积 S=c*h 斜棱�׃��面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱��C��面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面�U? S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面�U? S=4pi*r²

圆柱侧面�U? S=c*h=2pi*h 圆锥侧面�U? S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇�Ş面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体�U�公�?/td> V=1/3*pi*r²h

斜棱�׃��U? V=S'L 注：其中,S'是直截面面积�Q?L是侧��长

�׃��体积公式 V=s*h 圆柱�? V=pi*r²h

姚明 2007-10-31 03:41 发表评论

数学�W�号�?3)

姚明 — Sat, 27 Oct 2007 20:12:00 GMT
     摘要: Symbol Name Explanation Examples Read as Category ...  阅读全文

姚明 2007-10-28 04:12 发表评论

数学�W�号�?2)

姚明 — Sat, 27 Oct 2007 19:51:00 GMT

Symbol
Name Explanation Examples Unicode Value

Should be read as

Category

⇒

→

⊃
material implication A ⇒ B means if A is true then B is also true; if A is false then nothing is said about B.

→ may mean the same as ⇒ (the symbol may also indicate the domain and codomain of a function; see table of mathematical symbols).

⊃ may mean the same as ⇒ (the symbol may also mean superset). x = 2  ⇒ x² = 4 is true, but x² = 4   ⇒ x = 2 is in general false (since x could be −2). 8658

8594

8835

implies; if .. then

propositional logic, Heyting algebra

⇔

≡

↔
material equivalence A ⇔ B means A is true if B is true and A is false if B is false. x + 5 = y +2  ⇔ x + 3 = y 8660

8596

if and only if; iff

propositional logic

¬

˜
logical negation The statement ¬A is true if and only if A is false.

A slash placed through another operator is the same as "¬" placed in front. ¬(¬A) ⇔ A
x ≠ y  ⇔ ¬(x = y) 172

732

not

propositional logic

�?

&
logical conjunction The statement A �?B is true if A and B are both true; else it is false. n < 4  �?nbsp; n >2  ⇔ n = 3 when n is a natural number. 8743

38

and

propositional logic

�?/div>
logical disjunction The statement A �?B is true if A or B (or both) are true; if both are false, the statement is false. n ≥ 4  �?nbsp; n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 when n is a natural number. 8744

or

propositional logic

⊕

�?/span>
exclusive or The statement A ⊕ B is true when either A or B, but not both, are true. A �?/span> B means the same. (¬A) ⊕ A is always true, A ⊕ A is always false. 8853

8891

xor

propositional logic, Boolean algebra

�?br>
T

1
logical truth The statement �?is unconditionally true. A ⇒ �?is always true. 8868

top

propositional logic, Boolean algebra

⊥

F

0
logical falsity The statement ⊥ is unconditionally false. ⊥ ⇒ A is always true. 8869

bottom

propositional logic, Boolean algebra

∀
universal quantification ∀ x: P(x) means P(x) is true for all x. ∀ n ∈ N: n² ≥ n. 8704

for all; for any; for each

predicate logic

∃
existential quantification ∃ x: P(x) means there is at least one x such that P(x) is true. ∃ n ∈ N: n is even. 8707

there exists

first-order logic

∃!
uniqueness quantification ∃! x: P(x) means there is exactly one x such that P(x) is true. ∃! n ∈ N: n + 5 = 2n. 8707 33

there exists exactly one

first-order logic

:=

≡

:⇔
definition x := y or x ≡ y means x is defined to be another name for y (but note that ≡ can also mean other things, such as congruence).

P :⇔ Q means P is defined to be logically equivalent to Q. cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))

A XOR B :⇔ (A �?nbsp;B) �?nbsp;¬(A �?nbsp;B) 58 61

8801

58 8660

is defined as

everywhere

( )
precedence grouping Perform the operations inside the parentheses first. (8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4. 40 41

everywhere

�?/span>
inference x �?/span> y means y is derived from x. A → B �?/span> ¬B → ¬A 8866

infers or is derived from

propositional logic, first-order logic

[�~�辑]

See also

姚明 2007-10-28 03:51 发表评论

希腊数学�W�号与读韛_��照表

姚明 — Sat, 27 Oct 2007 19:41:00 GMT

希腊数学�W�号与读韛_��照表

希腊数学�W�号与读韛_��照表

大写 ��写读音

Α α alpha['ælfa]

Β β beta['bi:ta / 'beita]

Γ γ gamma['gæma]

Δ δ delta['delta]

Ε ε epsilon['epsilan / ep'sailan]

Ζ ζ zeta['zi:ta]

Η η eta['i:ta / 'eita]

Θ θ theta['θita]

Ι ι iota[ai'outa]

Κ κ kappa['kæpa]

Λ λ lambda['læmda]

Ψ ψ psi

Μ μ mu[mju:]

Ν ν nu[nju:]

Ξ ξ xi

Ο ο omicron

Π π pi

Ρ ρ rho

Σ σ sigma

Τ τ tau

Υ υ upsilon

Φ φ phi

Χ χ chi

Ω ω omega

�Ҏ��W�号的英文读�?br>�Q?is less than
�Q?is more than
�?is not less than
�?is not more than
≤ is less than or equal to ��于或等于号
- hyphen �q�字�W?nbsp;
≥ is more than or equal to 大于或等于号
' apostrophe 省略�?英文中省略字�W�用的撇�?所有格�W�号
�Q?percent
�Q?dash 破折�?
‰ per mille
∞ infinity 无限大号
∝ varies as �?#8230;成比�?
( ) parentheses 圆括�?nbsp;
√ (square) root �q�x��?
[ ] square brackets �Ҏ��?nbsp;
�?since; because 因�ؓ
�?�?French quotes 法文引号;书名�?nbsp;
∴ hence 所�?
… ellipsis 省略�?
�?equals, as (proportion) �{�于�Q�成比例
¨ tandem colon 双点�?br>∠ angle �?
�?ditto 双点�?br>�?semicircle 半圆
�?parallel 双线�?
�?circle �?
�Q?virgule 斜线�?nbsp;
�?circumference 圆周
�?swung dash 代字�?
�?triangle 三角�?
§ section; division 分节�?
⊥ perpendicular to 垂直�?
→ arrow ��号�Q�参见号
∪ union of �qӞ��合集
∩ intersection of 交，通集
∫ the integral of …的积�?
± plus or minus 正负�?
�?summation of ��d��
× is multiplied by 乘号
° degree �?
÷ is divided by 除号
′ minute �?br>″ second �U?
≠ is not equal to 不等于号
≡ is equivalent to 全等于号
�?Celsius degree 摄氏�?
�?is equal to or approximately equal to �{�于或约�{�于�?br>

计算机编成常用符可��语读�?/strong>
` backquote 反引�?br>~ tilde
! exclam
@ at
# numbersign,��p��国家是hash�Q�美语是pound,音乐里作sharp,如C#
$ dollar
% percent
^ caret
& ampersand
* asterisk,star(��语),数学公式中作multiply
( parenleft,opening parentheses
) parenright,closing paretheses
- minus;hyphen�q�字�W?不读
_ underscore
+ plus
= equal
[ bracketleft,opening bracket
] bracketright,closing bracket
{ braceleft
} braceright
; semicolon
: colon
' quote
" doublequote
/ slash
\ backslash 反斜�?br>| bar
, comma
< less
> greater
. period
? question
   space �I�格

姚明 2007-10-28 03:41 发表评论

数学�W�号�?1)

姚明 — Sat, 27 Oct 2007 19:38:00 GMT

数学上，有一�l�常在数学表辑ּ�中出现的�W�号。数学工作者熟悉这些符��P��不是每次使用都加以说明。所以，对于数学初学者，下面的列表给��Z��很多常见的符号包括名�U�、读法和应用领域。另外，�W�三栏有一个非正式的定义，�W�四栏有个简单的例子�?br>注意�Q�有时候不同符��h��相同含义�Q�而有些符号在不同的上下文中有不同的含义�?br>注意�Q�本条目含有�Ҏ��字符�?/em>

�W�号
名称定义举例

��L��

数学领域

=
�{�号 x = y 表示 x �?y 是相同的东西或其值相�{��?/td> 1 + 1 = 2

�{�于

所有领�?/td>

≠
不等�?/td> x ≠ y 表示 x �?y 不是相同的的东西或数倹{�?/td> 1 ≠ 2

不等�?/td>

所有领�?/td>

<

>
严格不等�?/td> x < y 表示 x ��于y�?br>
x > y 表示 x 大于y�?/td> 3 < 4
5 > 4

��于�Q�大�?/td>

序理�?/td>

≤

≥
不等�?/td> x ≤ y 表示 x ��于�{�于y�?br>
x  ≥ y 表示 x 大于�{�于y�?/td> 3 ≤ 4�Q? ≤ 5
5 ≥ 4�Q? ≥ 5

��于�{�于�Q�大于等�?/td>

序理�?/td>

+
加号 4 + 6 表示 4 �?6�?/td> 2 + 7 = 9

�?/td>

��术

−
减号 9 − 4 表示 9 �?4�?/td> 8 − 3 = 5

�?/td>

��术

负号 −3 表示 3 的负数�?/td> −(−5) = 5

�?/td>

��术

补集 A − B 表示包含所有属�?A 但不属于 B 的元素的集合�?/td> {1,2,4} − {1,3,4}  =  {2}

�?/td>

集合�?/td>

×
乘号 3 × 4 表示 3 乘以 4�?/td> 7 × 8 = 56

乘以

��术

直积 X × Y 表示所有第一个元素属�?X�Q�第二个元素属于 Y 的有序对的集合�?/td> {1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

… �?#8230;的直�U?/td>

集合�?/td>

叉乘 u × v 表示向量 u �?v 的叉乘�?/td> (1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2)

叉乘

向量代数

÷

/
除号 6 ÷ 3 �?6 / 3 表示 6 除以 3�?/td> 2 ÷ 4 = 0.5

12/4 = 3

除以

��术

√
根号 √x 表示其��^方�ؓ x 的正数�?/td> √4 = 2

…的��^�Ҏ��

实数

复根�?/td> 若用极坐标表�C�复�?z = r exp(iφ)�Q�满��?-π < φ ≤ π�Q�，�?√z = √r exp(iφ/2)�?/td> √(-1) = i

…的��^�Ҏ��

复数

| |
�l�对�?/td> |x| 表示实数��_��或复�q�面�Q�上 x �?0 的距��R�?/td> |3| = 3, |-5| = |5|
|i| = 1, |3+4i| = 5

…的绝对�?/td>

�?/td>

!
阶乘 n! 表示�q�乘�U?1×2×…×n�?/td> 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

…的阶�?/td>

�l�合�?/td>

~
概率分布 X ~ D 表示随机变量 X 概率分布�?D�?/td> X ~ N(0,1)�Q�标准正态分�?/td>

满��分布

�l�计�?/td>

⇒

→

⊃
实质蕴涵 A ⇒ B 表示 A 真则 B 也真�Q?em>A 假则 B 不定�?br>
→ 可能�?⇒ 一�? 或者有下面��提到的函数的意思�?br>
⊃ 可能�?⇒ 一��P��或者有下面��提到的爉��的意思�?/td> x = 2  ⇒  x2 = 4 为真�Q�但 x2 = 4 ⇒  x = 2 一般情况下为假�Q�因�?x 可以�?−2�Q��?/td>

推出�Q�若…�?…

命题逻辑

⇔

↔
实质�{��h A ⇔ B 表示 A 真则 B 真，A 假则 B 假�?/td> x + 5 = y +2  ⇔  x + 3 = y

当且仅当

命题逻辑

¬

˜
逻辑�?/td> 命题 ¬A 为真当且仅当 A 为假�?br>
��一条斜�U�穿�q�一个符��L��当于��?"¬" 攑֜�该符号前面�?/td> ¬(¬A) ⇔ A
x ≠ y  ⇔  ¬(x =  y)

非，�?/td>

命题逻辑

�?/font>
逻辑与或交运��?/td> �?A 为真�?B 为真�Q�则命题 A �?B 为真�Q�否则�ؓ假�?/td> n < 4  �?nbsp; n >2  ⇔  n = 3�Q�当 n 是自然数

�?/td>

命题逻辑�Q�格理论

�?/font>
逻辑或或�q�运��?/td> �?A �?B�Q�或都）为真�Q�则命题 A �?B 为真�Q�若两者都假则命题为假�?/td> n ≥ 4  �?nbsp; n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3�Q�当 n 是自然数

�?/td>

命题逻辑�Q�格理论

⊕

�?/font>
异或 �?A �?B 刚好有一个�ؓ真，则命�?A ⊕ B 为真�?br>
A �?B 的意义相同�?/td> (¬A) ⊕ A 恒�ؓ真，A ⊕ A 恒�ؓ假�?/td>

异或

命题逻辑�Q�布��代�?/td>

∀
全称�?span class=t_tag onclick=tagshow(event) href="tag.php?name=%E8%AF%8D">�?/span> ∀ x: P(x) 表示 P(x) 对于所�?x 为真�?/td> ∀ n ∈ N: n2 ≥ n

�Ҏ��有；对�Q意；对�Q一

谓词逻辑

∃
存在量词 ∃ x: P(x) 表示存在臛_��一�?x 使得 P(x) 为真�?/td> ∃ n ∈ N: n 为偶�?/td>

存在

谓词逻辑

∃!
唯一量词 ∃! x: P(x) 表示有且仅有一�?x 使得 P(x) 为真�?/td> ∃! n ∈ N: n + 5 = 2n

存在唯一

谓词逻辑

:=

≡

:⇔
定义 x := y �?x ≡ y 表示 x 定义�?y的一个名字（注意�Q?#8801; 也可表示其它意�? 例如全等�Q��?br>
P :⇔ Q 表示 P 定义�?Q 的逻辑�{��h�?/td> cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))

A XOR B :⇔ (A �?B) �?¬(A �?B)

定义�?/td>

所有领�?/td>

{ , }
集合括号 {a,b,c} 表示 a, b,c �l�成的集合�?/td> N = {0,1,2,…}

…的集�?/td>

集合�?/td>

{ : }

{ | }
集合构造记�?/td> {x : P(x)} 表示所有满��?P(x) �?x 的集合�?br>
{x | P(x)} �?{x : P(x)} 的意义相同�?/td> {n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4}

满��…的集�?/td>

集合�?/td>

∅

{}
�I�集 ∅ 表示没有元素的集合�?br>
{} 的意义相同�?/td> {n ∈ N : 1 < n2 < 4} = ∅

�I�集

集合�?/td>

∈

∉
集合属于 a ∈ S 表示 a 属于集合 S�Q?em>a ∉ S 表示 a 不属�?S�?/td> (1/2)−1 ∈ N

2−1 ∉ N

属于�Q�不属于

所有领�?/td>

⊆

⊂
子集 A ⊆ B 表示 A 的所有元素属�?B�?br>
A ⊂ B 表示 A ⊆ B �?A ≠ B�?/td> A ∩ B ⊆ A�Q?strong>Q ⊂ R

…的子�?/td>

集合�?/td>

⊇

⊃
爉�� A ⊇ B 表示 B 的所有元素属�?A�?br>
A ⊃ B 表示 A ⊇ B �?A ≠ B�?/td> A ∪ B ⊇ B�Q?strong>R ⊃ Q

…的父�?/td>

集合�?/td>

∪
�q�� A ∪ B 表示包含所�?A �?B 的元素但不包含�Q何其他元素的集合�?/td> A ⊆ B  ⇔ �Q?em>A ∪ B = B

…�?#8230;的�ƈ�?/td>

集合�?/td>

∩
交集 A ∩ B 表示包含所有同时属�?A �?B 的元素的集合�?/td> {x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1}

…�?#8230;的交�?/td>

集合�?/td>

\
补集 A \ B 表示所有属�?A 但不属于 B 的元素的集合�?/td> {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

减；除去

集合�?/td>

( )
函数应用 f(x) 表示 f �?x 的倹{�?/td> f(x) := x2�Q�则 f(3) = 32 = 9�?/td>

f(x)

集合�?/td>

优先�l�合先执行括号内的运��?/td> (8/4)/2 = 2/2 = 1�Q?/(4/2) = 8/2 = 4

所有领�?/td>

ƒ :X
→Y
函数��头 ƒ: X → Y 表示 ƒ 从集�?X 映射到集�?Y�?/td> �?em>ƒ: Z → N 定义�?ƒ(x) = x2�?/td>

�?#8230;�?#8230;

集合�?/td>

�?/font>
复合函数 f�?em>g 是一个函敎ͼ�使得 (f�?em>g)(x) = f(g(x))�?/td> �?f(x) = 2x�Q�且 g(x) = x + 3�Q�则 (fog)(x) = 2(x + 3)�?/td>

复合

集合�?/td>

N

�?/font>
自然�?/td> N 表示 {0,1,2,3,…}�Q�另一定义参见自然数条目�?/td> {|a| : a ∈ Z} = N

N

�?/td>

Z

�?/font>
整数 Z 表示 {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}�?/td> {a : |a| ∈ N} = Z

Z

�?/td>

Q

�?/font>
有理�?/td> Q 表示 {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}�?/td> 3.14 ∈ Q

π ∉ Q

Q

�?/td>

R

�?/font>
实数 R 表示 {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, 极限存在}�?/td> π ∈ R

√(−1) ∉ R

R

�?/td>

C

�?/font>
复数 C 表示 {a + bi : a,b ∈ R}�?/td> i = √(−1) ∈ C

C

�?/td>

∞
无穷 ∞ 是扩展的实数轴上大于��M��实数的数�Q�通常出现在极限中�?/td> limx→0 1/|x| = ∞

无穷

�?/td>

π
圆周�?/td> π 表示圆周长和直径之比�?/td> A = πr² 是半径�ؓ r 的圆的面�U?/td>

pi

几何

|| ||
范数 ||x|| 是赋范线性空间元�?x 的范数�?/td> ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

…的范敎ͼ�…的长�?/td>

�U�性代�?/td>

�?/font>
求和 �?em>k=1n ak 表示 a1 + a2 + … + an. �?em>k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

�?#8230;�?#8230;的和

��术

∏
求积 ∏k=1n ak 表示 a1a2···an. ∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

�?#8230;�?#8230;的积

��术

直积 ∏i=0nYi 表示所�?(n+1)-元组 (y0,…,yn)�?/td> ∏n=13R = Rn

…的直�U?/td>

集合�?/td>

'
导数 f '(x)函数f�?em>x点的倒数, 也就�? 那里的切�U�斜率�?/td> �?f(x) = x2, �?f '(x) = 2x

… �? …的导�?/td>

微积�?/td>

∫
不定�U�分 �?反导�?/td> ∫ f(x) dx 表示导数�?em>f的函�? ∫x2 dx = x3/3

…的不定积�? …的反导数

微积�?/td>

定积�?/td> ∫ab f(x) dx 表示 x-轴和 f �?x = a�?em>x = b之间的函数图像所�Ҏ��的带�W�号面积�?/td> ∫0b x2  dx = b3/3;

�?#8230;�?#8230;�?#8230;为变量的�U�分

微积�?/td>

∇
梯度 ∇f (x1, …, xn) 偏导数组成的向量 (df / dx1, …, df / dxn). �?f (x,y,z) = 3xy + z² �?∇f = (3y, 3x, 2z)

…�?del或nabla或梯�?

微积�?/td>

∂
偏导�?/td> 设有f (x1, …, xn), ∂f/∂xi�?em>f的对于xi的当其他变量保持不变时的导数. �?f(x,y) = x2y, �?∂f/∂x = 2xy

…的偏导数

微积�?/td>

边界 ∂M 表示M的边�?/td> ∂{x : ||x|| ≤ 2} =
{x : || x || = 2}

…的边�?/td>

拓扑

⊥
垂直 x ⊥ y 表示 x 垂直�?em>y; 更一般的 x正交�?em>y. �?l⊥m�?em>m⊥n �?l || n.

垂直�?/td>

几何

底元�?/td> x = ⊥ 表示 x是最��的元素. ∀x : x �?⊥ = ⊥

底元�?/td>

格理�?/td>

�?/font>
蕴含 A �?B 表示A蕴含B, �?em>A成立的每�?模型中， B也成�? A �?A �?¬A

蕴含�Q?/td>

模型�?/td>

�?/font>
推导 x �?y 表示 y �?x导出. A → B �?¬B → ¬A

�?#8230;导出

命题逻辑, 谓词逻辑

�?/font>
正则子群 N �?G 表示 N�?em>G的正则子��? Z(G) �?G

�?#8230;的正则子��?/td>

��论

/
商群 G/H 表示G 模其子群H的商��? {0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}

�?/td>

��论

�?/font>
同构 G �?H 表示 G 同构�?H Q / {1, −1} �?V,
其中 Q 是四元数��?V �?克莱因四��?

姚明 2007-10-28 03:38 发表评论

姚明 — Sat, 27 Oct 2007 10:11:00 GMT

       书名      作�?/font>       出版�C?/font>            ��?/font> �q�䆾适合读�?/font> 推荐指数

数学分析 　

《微�U�分�?/font> 【美�?D.休斯.哈雷�?A.M.克莱�?�{�著高等教育出版�C?/font> ��国国家�U�学基金会资助，以哈弗大学�ؓ首的合作�l�编�?/font> 2000      初�� 强烈推荐

《重温微�U�分�?/font> 齐民�?/font> 高等教育出版�C?/font> �q�本书假设读者在学过微积分的基础上，对微�U�分知识加以拓展 2004      中�� 推荐

《�O谈数学分析中的曲�U�与曲面�?/font> 　范秋�?/font> 　高等教育出版�C?/font> 谈论曲线与曲面的多种模型�Q�以及特�D�情况，涉及微分�Q�集合论�Q�拓扑学�Q�分形理论等多方面数学知识　 2001　      初��　推荐　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

数学的语�a�喜欢把简单的事情说复杂，�q�是数学的严谨性所军_��的，所以一根直�U�，一条曲�U�，1+1=2 用数学来描述�Q�它会让你知道，原来它没你想像的那么��单，只可意会不可�a�传的事情�Q�在数学领域里面是不存在的，因�ؓ它试图解释�Q何现象！但是说穿了却不��g��文，所以学习数学太需要理解能力，否则会陷入它复杂的怪圈中无法自拔！通常了解它的发展史是提高理解能力的很有效的方法！�Q?span style="COLOR: #ff0000">版主寄语�Q?/p>

姚明 2007-10-27 18:11 发表评论

姚明 — Thu, 25 Oct 2007 14:00:00 GMT

目录·微积分学的徏�?/font>
·微积分的基本内容
·一元微�?/font>
·几何意义
·多元微分

微积分（Calculus�Q�是研究函数�?a target=_blank>微分�?a target=_blank>�U�分以及有关概念和应用的数学分支。微�U�分是徏立在实数、函数和极限的基��上的。微�U�分最重要的思想��是�?微元"�?无限��D��",好像一个事物始�l�在变化你不好研�I?但通过微元分割成一��块一��块,那就可以认�ؓ是常量处�?最�l�加��h��p��?

微积分学是微分学和积分学的�ȝ��?它是一�U�数学思想�Q?#8216;无限�l�分’��是微分�Q?#8216;无限求和’��是�U�分。无限就是极限，极限的思想是微�U�分的基��Q�它是用一�U�运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度��是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的�\�E�之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一��大树，那么初等数学是树的根�Q�名目繁多的数学分支是树枝，而树�q�的主要部分��是微积分。微�U�分堪称是�h�c�L��慧最伟大的成��׃��一�?br>
极限和微�U�分的概念可以追溯到古代。到了十七世�U�后半叶�Q�牛��和莱布��D��完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地徏立了微积分学。他们徏立微�U�分的出发点是直观的无穷��量�Q�理论基��是不牢固的。直到十九世�U�，柯西和维��斯�Ҏ��斯徏立了极限理论�Q�康托尔�{�徏立了严格的实数理论，�q�门学科才得以严密化�?

微积分是与实际应用联�pȝ��发展��h��的，它在天文�?/font>�?a target=_blank>力学�?a target=_blank>化学�?a target=_blank>生物�?/font>�?a target=_blank>工程�?/font>�?a target=_blank>�l�济�?/font>�{?a target=_blank>自然�U�学�?a target=_blank>�C�会�U�学及应用科学等多个分支中，有越来越�q�泛的应用。特别是计算机的发明更有助于�q�些应用的不断发展�?

客观世界的一切事物，��至�_�子�Q�大臛_��宙，始终都在�q�动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后�Q�就有可能把�q�动现象用数学来加以描述了�?

�׃��函数概念的��生和�q�用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就�l�解析几何之后��生了�Q�这��是微积分学。微�U�分学这门学�U�在数学发展中的��C��是十分重要的�Q�可以说它是�l�欧氏几何后�Q�全部数学中的最大的一个创造�?

微积分学的徏�?/strong>
从微�U�分成�ؓ一门学�U�来��_��是在十七世纪�Q�但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了�?

公元前三世纪�Q�古希腊�?a target=_blank>阿基�c�_�d在研�I�解��x��物弓形的面积、球和球冠面�U�、螺�U�下面积和旋转双曲体的体�U�的问题中，��隐含着�q�代�U�分学的思想。作为微分学基础的极限理论来��_��早在古代以有比较清楚的论�q�。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下��?#8221;中，记有“一��Z��ͼ�日取其半�Q�万世不�?#8221;。三国时期的刘徽在他的割圆术中提�?#8220;割之弥细�Q�所失��I��，割之又割�Q�以至于不可�Ԍ��则与圆周和体而无所��q��?#8221;�q�些都是朴素的、也是很典型的极限概��c�?

��C��十七世纪�Q�有许多�U�学问题需要解冻I��q�些问题也就成了促��微积分��生的因素。归�l��v来，大约有四�U�主要类型的问题�Q�第一�c�L��研究�q�动的时候直接出现的�Q�也��是求即旉��度的问题。第二类问题是求曲线的切�U�的问题。第三类问题是求函数的最大值和最��值问题。第四类问题是求曲线�ѝ��曲�U�围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体�U�相当大的物体作用于另一物体上的引力�?

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学安��决上�q�几�c�问题作了大量的研究工作�Q�如法国的费��玛�?a target=_blank>�W�卡��?/font>、罗伯瓦、笛沙格�Q�英国的巴罗、瓦里士�Q��d国的开普勒�Q�意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。�ؓ微积分的创立做出了�A献�?

十七世纪下半�Ӟ��在前人工作的基础上，英国大科学家�?a target=_blank>牛顿和�d国数学家莱布��D��分别在自��q��国度里独自研�I�和完成了微�U�分的创立工作，虽然�q�只是十分初步的工作。他们的最大功�l�是把两个貌似毫不相关的问题联系在一��P��一个是切线问题�Q�微分学的中心问题）�Q�一个是求积问题(�U�分学的中心问题)�?

牛顿和莱布尼茨徏立微�U�分的出发点是直观的无穷��量�Q�因此这门学�U�早期也�U�Cؓ无穷��分析，�q�正是现在数学中分析学这一大分支名�U�的来源。牛��研�I�微�U�分着重于从运动学来考虑�Q�莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的�?

牛顿�?671�q�写了《流数法和无�I�L�数》，�q�本书直�?736�q�才出版�Q�它在这本书里指出，变量是由炏V��线、面的连�l�运动��生的�Q�否定了以前自己认�ؓ的变量是无穷��元素的静止集合。他把连�l�变量叫做流动量�Q�把�q�些��动量的导数叫做��数。牛��在��数术中所提出的中心问题是�Q�已知连�l�运动的路径�Q�求�l�定时刻的速度�Q�微分法�Q�；已知�q�动的速度求给定时间内�l�过的�\�E?�U�分�?�?

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684�q�_��他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，�q�篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一�U�求极大极小和切�U�的新方法，它也适用于分式和无理量，以及�q�种新方法的奇妙�c�d��的计��》。就是这样一片说理也颇含�p�的文章�Q�却有划时代的意义。他以含有现代的微分�W�号和基本微分法则�?686�q�_��莱布��D��发表了第一��积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一�Q�他所创设的微�U�分�W�号�Q�远�q�优于牛��的�W�号�Q�这对微�U�分的发展有极大的媄响。现在我们��用的微积分通用�W�号��是当时莱布��D��_�ֿ�选用的�?

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，�q�去很多初等数学束手无策的问题，�q�用微积分，往往�q�刃而解�Q�显�C�出微积分学的非凡威力�?

前面已经提到�Q�一门科学的创立决不是某一个�h的业�l�，他必定是�l�过多少人的努力后，在积累了大量成果的基��上，最后由某个人或几个人�ȝ��完成的。微�U�分也是�q�样�?

不幸的事�Q�由于�h们在�ƣ赏微积分的宏伟功效之余�Q�在提出谁是�q�门学科的创立者的时候，竟然引�v了一场悍然大波，造成了欧�z�大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国�Q�囿于民族偏见，�q�于拘惔在牛��的“��数�?#8221;中停步不前，因而数学发展整整落后了一癑ֹ��?

其实�Q�牛��和莱布��D��分别是自��q��立研�IӞ��在大体上相近的时间里先后完成的。比较特�D�的是牛��创立微�U�分要比莱布��D��?0�q�左叻I��但是整是公开发表微积分这一理论�Q�莱布尼茨却要比牛顿发表早三�q�。他们的研究各有长处�Q�也都各有短处。那时候，�׃��民族偏见�Q�关于发明优先权的争论竟�?699�q�始延箋了一癑֤��q��?

应该指出�Q�这是和历史上�Q何一��w��大理论的完成都要�l�历一�D�|��间一��P��牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无�I�小量这个问题上�Q�其说不一�Q�十分含�p�。牛��的无穷��量�Q�有时候是�Ӟ��有时候不是零而是有限的小量；莱布��D��的也不能自圆其说。这些基��斚w��的缺��P��最�l�导致了�W�二�ơ数学危机的产生�?

直到19世纪初，法国�U�学学院的科学家以柯西�ؓ首，对微�U�分的理��行了认真研究�Q�徏立了极限理论�Q�后来又�l�过德国数学家维��斯�Ҏ��斯进一步的严格化，使极限理论成��Z��微积分的坚定基础。才使微�U�分�q�一步的发展开来�?

��M��新兴的、具有无量前途的�U�学成就都吸引着�q�大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着�q�样的一些明星：瑞士的雅�U�布·贝努利和他的兄弟�U�翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科�?#8230;…

�Ƨ氏几何也好�Q�上古和中世�U�的代数学也好，都是一�U�常量数学，微积分才是真正的变量数学�Q�是数学中的大革命。微�U�分是高�{�数学的主要分支�Q�不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在�q�代和现代科学技术园地里�Q�徏立了��C��清的丰功伟�W�?

微积分的基本内容
研究函数�Q�从量的斚w��研究事物�q�动变化是微�U�分的基本方法。这�U�方法叫做数学分析�?

本来从广义上��_��数学分析包括微积分、函数论�{�许多分支学�U�，但是现在一般已习惯于把数学分析和微�U�分�{�同��h��Q�数学分析成了微�U�分的同义词�Q�一提数学分析就知道是指微积分。微�U�分的基本概念和内容包括微分学和�U�分学�?

微分学的主要内容包括�Q�极限理论�?a target=_blank>导数、微分等�?

�U�分学的主要内容包括�Q�定�U�分、不定积分等�?

微积分是与应用联�pȝ��发展��h��的，最初牛��应用微�U�分学及微分方程��Z��从万有引力定律导��Z��开普勒行星�q�动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工�E�学、经��学�{�自然科学、社会科学及应用�U�学各个分支中的发展。�ƈ在这些学�U�中有越来越�q�泛的应用，特别是计��机的出现更有助于这些应用的不断发展�?br>

一元微�?/span>
定义讑և�数y = f(x)在某区间内有定义�Q�x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表�C�Zؓ Δy = AΔx0 + o(Δx0)�Q�其中A是不依赖�?#916;x的常敎ͼ��Q�而o(Δx0)是比Δx高阶的无�I�小�Q�那么称函数f(x)在点x0是可微的�Q�且AΔx�U�C��函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，��C��dy�Q�即dy = AΔx�?br>
通常把自变量x的增�?Δx�U�Cؓ自变量的微分�Q�记作dx�Q�即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商�?br>

几何意义
�?#916;x是曲�U�y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲�U�在点M对应Δx在纵坐标上的增量�Q�dy是曲�U�在点M的切�U�对�?#916;x在纵坐标上的增量。当|Δx|很小�Ӟ��|Δy�Q�dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷��?�Q�因此在点M附近�Q�我们可以用切线�D�|��q�似代替曲线�D�c�?br>

多元微分
同理�Q�当自变量�ؓ多个�Ӟ��可得出多元微分得定义�?br>
�U�分是微分的逆运��，即知道了函数的导函数�Q�反求原函数。在应用上，�U�分作用不仅如此�Q�它被大量应用于求和�Q�通俗的说是求曲边三角形的面积�Q�这巧妙的求解方法是�U�分�Ҏ��的性质军_��的�?br>
一个函数的不定�U�分�Q�亦�U�原函数�Q�指另一族函敎ͼ��q�一族函数的导函数恰为前一函数�?br>
其中�Q�[F(x) + C]' = f(x)

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它�{�于该函数的一个原函数在b的值减��d��a的倹{�?

姚明 2007-10-25 22:00 发表评论

“	当我�?1922 �q�到�׃��堡做�q�轻的讲师的时候，我惊奇的发现了不同于牛��\|的课�E�。这里包括了我根本就不知道的主题�?a class=new title=勒貝格积�? target=_blank ?>勒貝格积�?/a>�?a title=矩阵�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%AE%BA'))" ??>矩阵�?/a>�?a title=数值分�?href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E6%9E%90'))" ??>数值分�?/a>�?a title=黎曼几何 href="javascript:void(wb.w._link('http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E5%87%A0%E4%BD%95'))" ??>黎曼几何...	”
──E.T. Copson�Q�Preface to Partial Differential Equations, 1973

Symbol	Name	Explanation	Examples	Unicode Value
	Should be read as
	Category
⇒ → ⊃	material implication	A ⇒ B means if A is true then B is also true; if A is false then nothing is said about B. → may mean the same as ⇒ (the symbol may also indicate the domain and codomain of a function; see table of mathematical symbols). ⊃ may mean the same as ⇒ (the symbol may also mean superset).	x = 2 ⇒ x² = 4 is true, but x² = 4 ⇒ x = 2 is in general false (since x could be −2).	8658 8594 8835
	implies; if .. then
	propositional logic, Heyting algebra
⇔ ≡ ↔	material equivalence	A ⇔ B means A is true if B is true and A is false if B is false.	x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y	8660 8596
	if and only if; iff
	propositional logic
¬ ˜	logical negation	The statement ¬A is true if and only if A is false. A slash placed through another operator is the same as "¬" placed in front.	¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y)	172 732
	not
	propositional logic
�? &	logical conjunction	The statement A �?B is true if A and B are both true; else it is false.	n < 4 �?nbsp; n >2 ⇔ n = 3 when n is a natural number.	8743 38
	and
	propositional logic
�?/div>	logical disjunction	The statement A �?B is true if A or B (or both) are true; if both are false, the statement is false.	n ≥ 4 �?nbsp; n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 when n is a natural number.	8744
	or
	propositional logic
⊕ �?/span>	exclusive or	The statement A ⊕ B is true when either A or B, but not both, are true. A �?/span> B means the same.	(¬A) ⊕ A is always true, A ⊕ A is always false.	8853 8891
	xor
	propositional logic, Boolean algebra
�?br> T 1	logical truth	The statement �?is unconditionally true.	A ⇒ �?is always true.	8868
	top
	propositional logic, Boolean algebra
⊥ F 0	logical falsity	The statement ⊥ is unconditionally false.	⊥ ⇒ A is always true.	8869
	bottom
	propositional logic, Boolean algebra
∀	universal quantification	∀ x: P(x) means P(x) is true for all x.	∀ n ∈ N: n² ≥ n.	8704
	for all; for any; for each
	predicate logic
∃	existential quantification	∃ x: P(x) means there is at least one x such that P(x) is true.	∃ n ∈ N: n is even.	8707
	there exists
	first-order logic
∃!	uniqueness quantification	∃! x: P(x) means there is exactly one x such that P(x) is true.	∃! n ∈ N: n + 5 = 2n.	8707 33
	there exists exactly one
	first-order logic
:= ≡ :⇔	definition	x := y or x ≡ y means x is defined to be another name for y (but note that ≡ can also mean other things, such as congruence). P :⇔ Q means P is defined to be logically equivalent to Q.	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A �?nbsp;B) �?nbsp;¬(A �?nbsp;B)	58 61 8801 58 8660
	is defined as
	everywhere
( )	precedence grouping	Perform the operations inside the parentheses first.	(8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4.	40 41

	everywhere
�?/span>	inference	x �?/span> y means y is derived from x.	A → B �?/span> ¬B → ¬A	8866
	infers or is derived from
	propositional logic, first-order logic

�W�号	名称	定义	举例
	��L��
	数学领域
=	�{�号	x = y 表示 x �?y 是相同的东西或其值相�{��?/td>	1 + 1 = 2
	�{�于
	所有领�?/td>
≠	不等�?/td>	x ≠ y 表示 x �?y 不是相同的的东西或数倹{�?/td>	1 ≠ 2
	不等�?/td>
	所有领�?/td>
< >	严格不等�?/td>	x < y 表示 x ��于y�?br> x > y 表示 x 大于y�?/td>	3 < 4 5 > 4
	��于�Q�大�?/td>
	序理�?/td>
≤ ≥	不等�?/td>	x ≤ y 表示 x ��于�{�于y�?br> x ≥ y 表示 x 大于�{�于y�?/td>	3 ≤ 4�Q? ≤ 5 5 ≥ 4�Q? ≥ 5
	��于�{�于�Q�大于等�?/td>
	序理�?/td>
+	加号	4 + 6 表示 4 �?6�?/td>	2 + 7 = 9
	�?/td>
	��术
−	减号	9 − 4 表示 9 �?4�?/td>	8 − 3 = 5
	�?/td>
	��术
	负号	−3 表示 3 的负数�?/td>	−(−5) = 5
	�?/td>
	��术
	补集	A − B 表示包含所有属�?A 但不属于 B 的元素的集合�?/td>	{1,2,4} − {1,3,4} = {2}
	�?/td>
	集合�?/td>
×	乘号	3 × 4 表示 3 乘以 4�?/td>	7 × 8 = 56
	乘以
	��术
	直积	X × Y 表示所有第一个元素属�?X�Q�第二个元素属于 Y 的有序对的集合�?/td>	{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
	… �?#8230;的直�U?/td>
	集合�?/td>
	叉乘	u × v 表示向量 u �?v 的叉乘�?/td>	(1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2)
	叉乘
	向量代数
÷ /	除号	6 ÷ 3 �?6 / 3 表示 6 除以 3�?/td>	2 ÷ 4 = 0.5 12/4 = 3
	除以
	��术
√	根号	√x 表示其��^方�ؓ x 的正数�?/td>	√4 = 2
	…的��^�Ҏ��
	实数
	复根�?/td>	若用极坐标表�C�复�?z = r exp(iφ)�Q�满��?-π < φ ≤ π�Q�，�?√z = √r exp(iφ/2)�?/td>	√(-1) = i
	…的��^�Ҏ��
	复数
\| \|	�l�对�?/td>	\|x\| 表示实数��_��或复�q�面�Q�上 x �?0 的距��R�?/td>	\|3\| = 3, \|-5\| = \|5\| \|i\| = 1, \|3+4i\| = 5
	…的绝对�?/td>
	�?/td>
!	阶乘	n! 表示�q�乘�U?1×2×…×n�?/td>	4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
	…的阶�?/td>
	�l�合�?/td>
~	概率分布	X ~ D 表示随机变量 X 概率分布�?D�?/td>	X ~ N(0,1)�Q�标准正态分�?/td>
	满��分布
	�l�计�?/td>
⇒ → ⊃	实质蕴涵	A ⇒ B 表示 A 真则 B 也真�Q?em>A 假则 B 不定�?br> → 可能�?⇒ 一�? 或者有下面��提到的函数的意思�?br> ⊃ 可能�?⇒ 一��P��或者有下面��提到的爉��的意思�?/td>	x = 2 ⇒ x2 = 4 为真�Q�但 x2 = 4 ⇒ x = 2 一般情况下为假�Q�因�?x 可以�?−2�Q��?/td>
	推出�Q�若…�?…
	命题逻辑
⇔ ↔	实质�{��h	A ⇔ B 表示 A 真则 B 真，A 假则 B 假�?/td>	x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y
	当且仅当
	命题逻辑
¬ ˜	逻辑�?/td>	命题 ¬A 为真当且仅当 A 为假�?br> ��一条斜�U�穿�q�一个符��L��当于��?"¬" 攑֜�该符号前面�?/td>	¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y)
	非，�?/td>
	命题逻辑
�?/font>	逻辑与或交运��?/td>	�?A 为真�?B 为真�Q�则命题 A �?B 为真�Q�否则�ؓ假�?/td>	n < 4 �?nbsp; n >2 ⇔ n = 3�Q�当 n 是自然数
	�?/td>
	命题逻辑�Q�格理论
�?/font>	逻辑或或�q�运��?/td>	�?A �?B�Q�或都）为真�Q�则命题 A �?B 为真�Q�若两者都假则命题为假�?/td>	n ≥ 4 �?nbsp; n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3�Q�当 n 是自然数
	�?/td>
	命题逻辑�Q�格理论
⊕ �?/font>	异或	�?A �?B 刚好有一个�ؓ真，则命�?A ⊕ B 为真�?br> A �?B 的意义相同�?/td>	(¬A) ⊕ A 恒�ؓ真，A ⊕ A 恒�ؓ假�?/td>
	异或
	命题逻辑�Q�布��代�?/td>
∀	全称�?span class=t_tag onclick=tagshow(event) href="tag.php?name=%E8%AF%8D">�?/span>	∀ x: P(x) 表示 P(x) 对于所�?x 为真�?/td>	∀ n ∈ N: n2 ≥ n
	�Ҏ��有；对�Q意；对�Q一
	谓词逻辑
∃	存在量词	∃ x: P(x) 表示存在臛_��一�?x 使得 P(x) 为真�?/td>	∃ n ∈ N: n 为偶�?/td>
	存在
	谓词逻辑
∃!	唯一量词	∃! x: P(x) 表示有且仅有一�?x 使得 P(x) 为真�?/td>	∃! n ∈ N: n + 5 = 2n
	存在唯一
	谓词逻辑
:= ≡ :⇔	定义	x := y �?x ≡ y 表示 x 定义�?y的一个名字（注意�Q?#8801; 也可表示其它意�? 例如全等�Q��?br> P :⇔ Q 表示 P 定义�?Q 的逻辑�{��h�?/td>	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A �?B) �?¬(A �?B)
	定义�?/td>
	所有领�?/td>
{ , }	集合括号	{a,b,c} 表示 a, b,c �l�成的集合�?/td>	N = {0,1,2,…}
	…的集�?/td>
	集合�?/td>
{ : } { \| }	集合构造记�?/td>	{x : P(x)} 表示所有满��?P(x) �?x 的集合�?br> {x \| P(x)} �?{x : P(x)} 的意义相同�?/td>	{n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4}
	满��…的集�?/td>
	集合�?/td>
∅ {}	�I�集	∅ 表示没有元素的集合�?br> {} 的意义相同�?/td>	{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = ∅
	�I�集
	集合�?/td>
∈ ∉	集合属于	a ∈ S 表示 a 属于集合 S�Q?em>a ∉ S 表示 a 不属�?S�?/td>	(1/2)−1 ∈ N 2−1 ∉ N
	属于�Q�不属于
	所有领�?/td>
⊆ ⊂	子集	A ⊆ B 表示 A 的所有元素属�?B�?br> A ⊂ B 表示 A ⊆ B �?A ≠ B�?/td>	A ∩ B ⊆ A�Q?strong>Q ⊂ R
	…的子�?/td>
	集合�?/td>
⊇ ⊃	爉��	A ⊇ B 表示 B 的所有元素属�?A�?br> A ⊃ B 表示 A ⊇ B �?A ≠ B�?/td>	A ∪ B ⊇ B�Q?strong>R ⊃ Q
	…的父�?/td>
	集合�?/td>
∪	�q��	A ∪ B 表示包含所�?A �?B 的元素但不包含�Q何其他元素的集合�?/td>	A ⊆ B ⇔ �Q?em>A ∪ B = B
	…�?#8230;的�ƈ�?/td>
	集合�?/td>
∩	交集	A ∩ B 表示包含所有同时属�?A �?B 的元素的集合�?/td>	{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1}
	…�?#8230;的交�?/td>
	集合�?/td>
\	补集	A \ B 表示所有属�?A 但不属于 B 的元素的集合�?/td>	{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}
	减；除去
	集合�?/td>
( )	函数应用	f(x) 表示 f �?x 的倹{�?/td>	f(x) := x2�Q�则 f(3) = 32 = 9�?/td>
	f(x)
	集合�?/td>
	优先�l�合	先执行括号内的运��?/td>	(8/4)/2 = 2/2 = 1�Q?/(4/2) = 8/2 = 4

	所有领�?/td>
ƒ :X →Y	函数��头	ƒ: X → Y 表示 ƒ 从集�?X 映射到集�?Y�?/td>	�?em>ƒ: Z → N 定义�?ƒ(x) = x2�?/td>
	�?#8230;�?#8230;
	集合�?/td>
�?/font>	复合函数	f�?em>g 是一个函敎ͼ�使得 (f�?em>g)(x) = f(g(x))�?/td>	�?f(x) = 2x�Q�且 g(x) = x + 3�Q�则 (fog)(x) = 2(x + 3)�?/td>
	复合
	集合�?/td>
N �?/font>	自然�?/td>	N 表示 {0,1,2,3,…}�Q�另一定义参见自然数条目�?/td>	{\|a\| : a ∈ Z} = N
	N
	�?/td>
Z �?/font>	整数	Z 表示 {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}�?/td>	{a : \|a\| ∈ N} = Z
	Z
	�?/td>
Q �?/font>	有理�?/td>	Q 表示 {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}�?/td>	3.14 ∈ Q π ∉ Q
	Q
	�?/td>
R �?/font>	实数	R 表示 {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, 极限存在}�?/td>	π ∈ R √(−1) ∉ R
	R
	�?/td>
C �?/font>	复数	C 表示 {a + bi : a,b ∈ R}�?/td>	i = √(−1) ∈ C
	C
	�?/td>
∞	无穷	∞ 是扩展的实数轴上大于��M��实数的数�Q�通常出现在极限中�?/td>	limx→0 1/\|x\| = ∞
	无穷
	�?/td>
π	圆周�?/td>	π 表示圆周长和直径之比�?/td>	A = πr² 是半径�ؓ r 的圆的面�U?/td>
	pi
	几何
\|\| \|\|	范数	\|\|x\|\| 是赋范线性空间元�?x 的范数�?/td>	\|\|x+y\|\| ≤ \|\|x\|\| + \|\|y\|\|
	…的范敎ͼ�…的长�?/td>
	�U�性代�?/td>
�?/font>	求和	�?em>k=1n ak 表示 a1 + a2 + … + an.	�?em>k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
	�?#8230;�?#8230;的和
	��术
∏	求积	∏k=1n ak 表示 a1a2···an.	∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
	�?#8230;�?#8230;的积
	��术
	直积	∏i=0nYi 表示所�?(n+1)-元组 (y0,…,yn)�?/td>	∏n=13R = Rn
	…的直�U?/td>
	集合�?/td>
'	导数	f '(x)函数f�?em>x点的倒数, 也就�? 那里的切�U�斜率�?/td>	�?f(x) = x2, �?f '(x) = 2x
	… �? …的导�?/td>
	微积�?/td>
∫	不定�U�分 �?反导�?/td>	∫ f(x) dx 表示导数�?em>f的函�?	∫x2 dx = x3/3
	…的不定积�? …的反导数
	微积�?/td>
	定积�?/td>	∫ab f(x) dx 表示 x-轴和 f �?x = a�?em>x = b之间的函数图像所�Ҏ��的带�W�号面积�?/td>	∫0b x2 dx = b3/3;
	�?#8230;�?#8230;�?#8230;为变量的�U�分
	微积�?/td>
∇	梯度	∇f (x1, …, xn) 偏导数组成的向量 (df / dx1, …, df / dxn).	�?f (x,y,z) = 3xy + z² �?∇f = (3y, 3x, 2z)
	…�?del或nabla或梯�?
	微积�?/td>
∂	偏导�?/td>	设有f (x1, …, xn), ∂f/∂xi�?em>f的对于xi的当其他变量保持不变时的导数.	�?f(x,y) = x2y, �?∂f/∂x = 2xy
	…的偏导数
	微积�?/td>
	边界	∂M 表示M的边�?/td>	∂{x : \|\|x\|\| ≤ 2} = {x : \|\| x \|\| = 2}
	…的边�?/td>
	拓扑
⊥	垂直	x ⊥ y 表示 x 垂直�?em>y; 更一般的 x正交�?em>y.	�?l⊥m�?em>m⊥n �?l \|\| n.
	垂直�?/td>
	几何
	底元�?/td>	x = ⊥ 表示 x是最��的元素.	∀x : x �?⊥ = ⊥
	底元�?/td>
	格理�?/td>
�?/font>	蕴含	A �?B 表示A蕴含B, �?em>A成立的每�?模型中， B也成�?	A �?A �?¬A
	蕴含�Q?/td>
	模型�?/td>
�?/font>	推导	x �?y 表示 y �?x导出.	A → B �?¬B → ¬A
	�?#8230;导出
	命题逻辑, 谓词逻辑
�?/font>	正则子群	N �?G 表示 N�?em>G的正则子��?	Z(G) �?G
	�?#8230;的正则子��?/td>
	��论
/	商群	G/H 表示G 模其子群H的商��?	{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}
	�?/td>
	��论
�?/font>	同构	G �?H 表示 G 同构�?H	Q / {1, −1} �?V, 其中 Q 是四元数��?V �?克莱因四��?

书名	作�?/font>	出版�C?/font>	��?/font>	�q�䆾	适合读�?/font>	推荐指数
数学分析
《微�U�分�?/font>	【美�?D.休斯.哈雷�?A.M.克莱�?�{�著	高等教育出版�C?/font>	��国国家�U�学基金会资助，以哈弗大学�ؓ首的合作�l�编�?/font>	2000	初��	强烈推荐
《重温微�U�分�?/font>	齐民�?/font>	高等教育出版�C?/font>	�q�本书假设读者在学过微积分的基础上，对微�U�分知识加以拓展	2004	中��	推荐
《�O谈数学分析中的曲�U�与曲面�?/font>	范秋�?/font>	高等教育出版�C?/font>	谈论曲线与曲面的多种模型�Q�以及特�D�情况，涉及微分�Q�集合论�Q�拓扑学�Q�分形理论等多方面数学知识	2001	初��	推荐