今天保研的小朋友來所里筆試+面試。。。。全國各大名牌高校都往這里擠啊。。。
有序立方體
問題描述：
給定一個由N個互不相同的整數構成的序列{x0, x1, ..., xN-1 }，如果其元素是按照升序排列的：x0 < x1 < ... < xN-1，那么我們稱之為有序數列
類似地，如果一個N x N的二維數組滿足它的所有行和所有列都是有序數列的話，那么它就是一個有序平面。
于是我們可以定義一個N x N x N的三維數組為有序立方體，如果它垂直于三個軸向的所有截面都是有序平面。如下圖所示，z = 0定義了立方體垂直于z軸的頂截面，而z = N – 1則定義了立方體垂直于z軸的底截面。在本題中，1到N3的所有整數均出現且僅出現一次。
要求編寫函數sortCube，使其以盡量少的交換次數將初始立方體變換為有序立方體。
輸入參數：
? int N表示立方體每個維度的尺寸大小；
? int initCube[N*N*N]為初始立方體配置，按照平面優先和行優先的順序將三維數組表示為一維向量，即立方體中坐標(X, Y, Z)的數據在initCube中的索引值為N*N*Z + N*Y + X；。
輸出參數：
? 按照"X1,Y1,Z1-X2,Y2,Z2"的格式輸出所需交換操作步驟。這里'X1', 'Y1', 'Z1', 'X2', 'Y2', 'Z2'表示0到N-1之間的數據下標，而每一個元素則表示互換(X1, Y1, Z1)與(X2, Y2, Z2)位置的數據。
這里給出我的想法吧：
首先給出一個定義，在原點處我們假設其坐標為（0,0,0）。對于3*3*3立方體，從一個很顯然的角度來說，把立方體沿著對角線立起來。。我們可以注意到這個立方體可以被分為很多層，第一層是（0,0,0）第二層是（0,0,1）（1,0,0）（0,1,0）,第三層是（0,0,2）（2,0,0）（0,2,0）（1,0,1）（1,1,0）（0,1,1），這樣子可以擴展地想一下，總共可以分為7層，這七層中可以用曼哈頓距離分類：
距離： 0 1 2 3 4 5 6
點數： 1 3 6 7 6 3 1
總共有27個點了。。。
如果擴展到n*n*n的話，我們依然使用 曼哈頓距離來分類。假設n無限大的話，
在第n層中會有幾個點呢？這個可以等價到這樣一個問題，x+y+z=n
x>=0 y>=0 z>=0 的正整數解的個數。這個問題高中生都會。。。。
等價于從n+2個物品中選擇2個。。。C（2，n+2）
然后對于一個給定的n，我們究竟有多少層呢？。。。簡單的觀察就知道，前后對稱。。
以此正方體體對角線開始減1 3 。。。直至構造到（0,0，N-1）,此時停止構造。。這個時候，上面推導的那個公式C(2,n+2)就不對了。。此時剩余了多少層呢？。。。同樣的哈密頓距離告訴我們N層。。。那么這n層怎么搞呢？
x+y+z=M
N>x>=0 N>y>=0 N>z>=0 就是這樣一個方程。。。M的范圍在[0,3*N-1]。。。有想法了吧？！
下面將是這個問題的核心部分，也是最精彩的部分。。。給出了3*N層，把它抽象成一個3*N個點的圖。。遍歷給定的一個特殊的立方體，判斷相應位置中的數是屬于那一層的。如果屬于該層，當然不用什么交換了之類的操作，如果不屬于，把當前層的點與它隸屬層的點連接一條有向邊，指向它的目標層。遍歷操作結束，就構造成了一張圖！
有點眉目了么？沒錯，就是置換群的變種！此時，我們只要在圖中尋找回路，然后求得回路的邊數，一個回路組成一個置換群。答案就是所有回路邊數-回路數。。。。
的確是很bug的一道題目。。去年的這個時候看過這個題目。。沒有想出解答方案。。當然面試的時候比較簡單。。直接是求出一個方案，沒必要要求最小。。。今天終于想到了一個解決方案。。。問題的思考是慢慢的一步一步的。。。