[有向圖強(qiáng)連通分量]
在有向圖G中，如果兩個(gè)頂點(diǎn)間至少存在一條路徑，稱兩個(gè)頂點(diǎn)強(qiáng)連通(strongly connected)。如果有向圖G的每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)都強(qiáng)連通，稱G是一個(gè)強(qiáng)連通圖。非強(qiáng)連通圖有向圖的極大強(qiáng)連通子圖，稱為強(qiáng)連通分量(strongly connected components)。
下圖中，子圖{1,2,3,4}為一個(gè)強(qiáng)連通分量，因?yàn)轫旤c(diǎn)1,2,3,4兩兩可達(dá)。{5},{6}也分別是兩個(gè)強(qiáng)連通分量。
大體來說有3中算法Kosaraju,Trajan,Gabow這三種！后續(xù)文章中將相繼介紹，首先介紹Tarjan算法
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于對(duì)圖深度優(yōu)先搜索的算法，每個(gè)強(qiáng)連通分量為搜索樹中的一棵子樹。搜索時(shí)，把當(dāng)前搜索樹中未處理的節(jié)點(diǎn)加入一個(gè)堆棧，回溯時(shí)可以判斷棧頂?shù)綏Ｖ械墓?jié)點(diǎn)是否為一個(gè)強(qiáng)連通分量。
定義DFN(u)為節(jié)點(diǎn)u搜索的次序編號(hào)(時(shí)間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節(jié)點(diǎn)的次序號(hào)。
算法偽代碼如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 為節(jié)點(diǎn)u設(shè)定次序編號(hào)和Low初值
Stack.push(u) // 將節(jié)點(diǎn)u壓入棧中
for each (u, v) in E // 枚舉每一條邊
if (v is not visted) // 如果節(jié)點(diǎn)v未被訪問過
tarjan(v) // 繼續(xù)向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果節(jié)點(diǎn)v還在棧內(nèi)
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果節(jié)點(diǎn)u是強(qiáng)連通分量的根
repeat
v = S.pop // 將v退棧，為該強(qiáng)連通分量中一個(gè)頂點(diǎn)
print v
until (u== v)
}
接下來是對(duì)算法流程的演示。
從節(jié)點(diǎn)1開始DFS，把遍歷到的節(jié)點(diǎn)加入棧中。搜索到節(jié)點(diǎn)u=6時(shí)，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個(gè)強(qiáng)連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個(gè)強(qiáng)連通分量。
返回節(jié)點(diǎn)5，發(fā)現(xiàn)DFN[5]=LOW[5]，退棧后{5}為一個(gè)強(qiáng)連通分量。
返回節(jié)點(diǎn)3，繼續(xù)搜索到節(jié)點(diǎn)4，把4加入堆棧。發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)4向節(jié)點(diǎn)1有后向邊，節(jié)點(diǎn)1還在棧中，所以LOW[4]=1。節(jié)點(diǎn)6已經(jīng)出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
繼續(xù)回到節(jié)點(diǎn)1，最后訪問節(jié)點(diǎn)2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，發(fā)現(xiàn)DFN[1]=LOW[1]，把棧中節(jié)點(diǎn)全部取出，組成一個(gè)連通分量{1,3,4,2}。
至此，算法結(jié)束。經(jīng)過該算法，求出了圖中全部的三個(gè)強(qiáng)連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)行Tarjan算法的過程中，每個(gè)頂點(diǎn)都被訪問了一次，且只進(jìn)出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N+M)。
求有向圖的強(qiáng)連通分量還有一個(gè)強(qiáng)有力的算法，為Kosaraju算法。Kosaraju是基于對(duì)有向圖及其逆圖兩次DFS的方法，其時(shí)間復(fù)雜度也是O(N+M)。與Trajan算法相比，Kosaraju算法可能會(huì)稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對(duì)原圖進(jìn)行一次DFS，不用建立逆圖，更簡(jiǎn)潔。在實(shí)際的測(cè)試中，Tarjan算法的運(yùn)行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，該Tarjan算法與求無向圖的雙連通分量(割點(diǎn)、橋)的Tarjan算法也有著很深的聯(lián)系。學(xué)習(xí)該Tarjan算法，也有助于深入理解求雙連通分量的Tarjan算法，兩者可以類比、組合理解。
求有向圖的強(qiáng)連通分量的Tarjan算法是以其發(fā)明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan還發(fā)明了求雙連通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的離線Tarjan算法，在此對(duì)Tarjan表示崇高的敬意。
#include "cstdlib"
#include "cctype"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "cmath"
#include "algorithm"
#include "vector"
#include "string"
#include "iostream"
#include "sstream"
#include "set"
#include "queue"
#include "stack"
#include "fstream"
#include "strstream"
using namespace std;
#define M 2000 //題目中可能的最大點(diǎn)數(shù)
int STACK[M],top=0; //Tarjan 算法中的棧
bool InStack[M]; //檢查是否在棧中
int DFN[M]; //深度優(yōu)先搜索訪問次序
int Low[M]; //能追溯到的最早的次序
int ComponetNumber=0; //有向圖強(qiáng)連通分量個(gè)數(shù)
int Index=0; //索引號(hào)
vector <int> Edge[M]; //鄰接表表示
vector <int> Component[M]; //獲得強(qiáng)連通分量結(jié)果
void Tarjan(int i)
{
int j;
DFN[i]=Low[i]=Index++;
InStack[i]=true;
STACK[++top]=i;
for (int e=0;e<Edge[i].size();e++)
{
j=Edge[i][e];
if (DFN[j]==-1)
{
Tarjan(j);
Low[i]=min(Low[i],Low[j]);
}
else if (InStack[j])
Low[i]=min(Low[i],DFN[j]);
}
if (DFN[i]==Low[i])
{
cout<<"TT "<<i<<" "<<Low[i]<<endl;
ComponetNumber++;
do
{
j=STACK[top--];
InStack[j]=false;
Component[ComponetNumber].push_back(j);
}
while (j!=i);
}
}
void solve(int N) //此圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意是0-indexed！
{
memset(STACK,-1,sizeof(STACK));
memset(InStack,0,sizeof(InStack));
memset(DFN,-1,sizeof(DFN));
memset(Low,-1,sizeof(Low));
for(int i=0;i<N;i++)
if(DFN[i]==-1)
Tarjan(i);
}
/*
此算法正常工作的基礎(chǔ)是圖是0-indexed的。
*/
int main()
{
Edge[0].push_back(1);Edge[0].push_back(2);
Edge[1].push_back(3);
Edge[2].push_back(3);Edge[2].push_back(4);
Edge[3].push_back(0);Edge[3].push_back(5);
Edge[4].push_back(5);
int N=6;
solve(N);
cout<<"ComponetNumber is "<<ComponetNumber<<endl;
for(int i=0;i<N;i++)
cout<<Low[i]<<" ";
cout<<endl;
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<Component[i].size();j++)
cout<<Component[i][j];
cout<<endl;
}
return 0;
}
這個(gè)程序的運(yùn)行過程和上圖中表述的有些不同，他是先遍歷到了1 2 4 6 3 5
Reference ： 以上基本上是全文摘抄自
http://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/
http://www.notonlysuccess.com/?p=181
兩篇總結(jié)都不錯(cuò)。。這里只是做一個(gè)回顧。。