解析幾何求交之直線與二次曲面
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Abstract. OpenCASCADE provides the analytic intersection between a conic and a quadric in the package IntAna.
Key Words. Analytic geometry, intersection, coninc, quadric
1. Introduction
OpenCASCADE中的包IntAna提供了解析幾何曲線（二次曲線）與解析曲面（二次曲面）求交、解析曲面與解析曲面求交的功能。其中IntAna分別是Intersection Analytic的前三個(gè)字母縮寫，表示解析幾何求交。
我們學(xué)過了《線性代數(shù)》中的二次型，其中二次型在解析幾何中的一個(gè)應(yīng)用就是二次曲線和二次曲面方程的化簡及其性質(zhì)的分析。
本文主要結(jié)合源碼分析直線與二次曲面求解的實(shí)現(xiàn)來拋磚引玉，后期將二次曲線與二次曲面求交的各種情況做全面分析。
2. Quadratic form
在解析幾何中，為了便于研究二次曲線
的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換
把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式：
根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形式中的系數(shù)來分析這個(gè)二次曲線是什么曲線，即圓、橢圓、拋物線、雙曲線。
在OpenCASCADE中解析幾何的二次曲面有以下幾種類型：
l gp_Pln：平面可看作二次曲面的特例
l gp_Sphere：解析球面
l gp_Cylinder：解析柱面
l gp_Cone：解析錐面
這些解析曲面都可以統(tǒng)一使用二次多項(xiàng)式來表示，即這個(gè)二次多項(xiàng)式的系數(shù)確定了一個(gè)二次曲面。OpenCASCADE中相應(yīng)的類是IntAna_Quaric：
3. Math Direct Polynomial Roots
OpenCASCADE中類IntAna_IntConicQuad中提供了二次曲線與二次曲面求交功能，其中計(jì)算直線與二次曲面相交的函數(shù)是：
//! Creates the intersection between a line and a quadric.
Standard_EXPORT IntAna_IntConicQuad(const gp_Lin& L, const IntAna_Quadric& Q);
其實(shí)現(xiàn)原碼中注釋如下：
根據(jù)其注釋，可知其計(jì)算過程如下：將直線方程用參數(shù)形式表示，
將參數(shù)表示的直線方程代入二次曲面方程，化簡可得一個(gè)二次多項(xiàng)式，對二次多項(xiàng)式進(jìn)行求解即得直線與二次曲面的交點(diǎn)。
得到一個(gè)二次多項(xiàng)式的方程后，這時(shí)就要引入基礎(chǔ)模塊中的數(shù)據(jù)工具集來解決問題了。
類math_DirectPolynomialRoots可以用來對4次及以下的多項(xiàng)式方程進(jìn)行求解。對于化簡后的直線與二次曲面方程是一個(gè)二次多項(xiàng)式方程，則使用這個(gè)類直接進(jìn)行求解。
4. Conclusion
從上面的源碼分析可知，在OpenCASCADE中對于解析曲線與曲面求交使用二次多項(xiàng)式系數(shù)來表示的。通過將方程化簡后直接使用math包中的工具對方程進(jìn)行求解。
使用OpenCASCADE熟練會發(fā)現(xiàn)他們的編碼風(fēng)格也是有一定的套路的，即一個(gè)類會提供幾個(gè)構(gòu)造函數(shù)，將不同參數(shù)進(jìn)行輸入。有的在構(gòu)造函數(shù)中調(diào)用初始化函數(shù)Init()來對算法需要的其他輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行初始化，有的則直接在構(gòu)造函數(shù)中調(diào)用的計(jì)算函數(shù)Perform()。如果構(gòu)造函數(shù)中沒有調(diào)用計(jì)算函數(shù)Perform()，則需要手動(dòng)調(diào)用Perform()。算法的成功通過函數(shù)IsDone()來檢測。根據(jù)檢測判斷是否取出計(jì)算值。
春節(jié)就要到了，祝大家在新的一年里心想事成，萬事如意！
5. References
1. 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)（第四版）. 高等教育出版社
2. 丘維聲. 解析幾何. 北京大學(xué)出版社