解析幾何求交之直線與二次曲面

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Abstract. OpenCASCADE provides the analytic intersection between a conic and a quadric in the package IntAna.

Key Words. Analytic geometry, intersection, coninc, quadric 

1. Introduction

OpenCASCADE中的包IntAna提供了解析幾何曲線（二次曲線）與解析曲面（二次曲面）求交、解析曲面與解析曲面求交的功能。其中IntAna分別是Intersection Analytic的前三個字母縮寫，表示解析幾何求交。

我們學過了《線性代數》中的二次型，其中二次型在解析幾何中的一個應用就是二次曲線和二次曲面方程的化簡及其性質的分析。

本文主要結合源碼分析直線與二次曲面求解的實現來拋磚引玉，后期將二次曲線與二次曲面求交的各種情況做全面分析。

2. Quadratic form

在解析幾何中，為了便于研究二次曲線

的幾何性質，我們可以選擇適當的坐標旋轉變換

把方程化成標準形式：

根據標準形式中的系數來分析這個二次曲線是什么曲線，即圓、橢圓、拋物線、雙曲線。

在OpenCASCADE中解析幾何的二次曲面有以下幾種類型：

l gp_Pln：平面可看作二次曲面的特例

l gp_Sphere：解析球面

l gp_Cylinder：解析柱面

l gp_Cone：解析錐面

這些解析曲面都可以統一使用二次多項式來表示，即這個二次多項式的系數確定了一個二次曲面。OpenCASCADE中相應的類是IntAna_Quaric：

 3. Math Direct Polynomial Roots

OpenCASCADE中類IntAna_IntConicQuad中提供了二次曲線與二次曲面求交功能，其中計算直線與二次曲面相交的函數是：

  //! Creates the intersection between a line and a quadric.

  Standard_EXPORT IntAna_IntConicQuad(const gp_Lin& L, const IntAna_Quadric& Q);

其實現原碼中注釋如下：

根據其注釋，可知其計算過程如下：將直線方程用參數形式表示，

將參數表示的直線方程代入二次曲面方程，化簡可得一個二次多項式，對二次多項式進行求解即得直線與二次曲面的交點。

得到一個二次多項式的方程后，這時就要引入基礎模塊中的數據工具集來解決問題了。

類math_DirectPolynomialRoots可以用來對4次及以下的多項式方程進行求解。對于化簡后的直線與二次曲面方程是一個二次多項式方程，則使用這個類直接進行求解。

4. Conclusion

從上面的源碼分析可知，在OpenCASCADE中對于解析曲線與曲面求交使用二次多項式系數來表示的。通過將方程化簡后直接使用math包中的工具對方程進行求解。

使用OpenCASCADE熟練會發現他們的編碼風格也是有一定的套路的，即一個類會提供幾個構造函數，將不同參數進行輸入。有的在構造函數中調用初始化函數Init()來對算法需要的其他輸入數據進行初始化，有的則直接在構造函數中調用的計算函數Perform()。如果構造函數中沒有調用計算函數Perform()，則需要手動調用Perform()。算法的成功通過函數IsDone()來檢測。根據檢測判斷是否取出計算值。

春節就要到了，祝大家在新的一年里心想事成，萬事如意！

5. References

1. 同濟大學應用數學系. 線性代數（第四版）. 高等教育出版社

2. 丘維聲. 解析幾何. 北京大學出版社