Representation Data in OpenCascade BRep
eryar@163.com
摘要Abstract：現在的顯示器大多數是光柵顯示器，即可以看做一個像素的矩陣。在光柵顯示器上顯示的任何圖形，實際上都是一些具有一種或多種顏色的集合。數學上精確表示的圖形在顯示器中只能用逼近的方式顯示出來。本文主要對OpenCascade的BRep文件中用來顯示曲線和曲面的離散數據結構進行說明。
關鍵字：OpenCascade, BRep, Polygon, Triangulation, Subdivision Curves,
一、引言 Introduction
光柵圖形顯示器可以看做一個像素矩陣。在光柵顯示器上顯示的任何一種圖形，實際上都是一些具有一種或多種顏色的像素的集合。在數學上，理想的曲線是沒有寬度的，它是由無數個點構成的集合，而當要顯示曲線時，就不能用無數個點在顯示器中顯示，必須對其進行離散化，即細分處理。考慮性能要求，需要用盡可能少的點來顯示曲線。對于曲面也是一樣，雖然已經有曲面的數學解析表示，但是需要在顯示器中顯示時，必須對其離散化，即三角剖分得到的逼近曲面的三角網格。
在OpenCascade中已經有曲線和曲面的精確的數學解析表達形式的類，如下圖所示：
Figure 1.1 Parametric geometry curves
Figure 1.2 Parametric geometry surfaces
在OpenGL中顯示這些曲線和曲面時，不能直接顯示出由參數方程精確表示的曲線和曲面，必須對曲線和曲面進行細分，即離散化，得到OpenGL顯示用的點和三角網格。
在OpenCascade中使用類Poly_Polygon3D/Poly_Polygon2D來保存多段線的數據，即可以用來保存逼近顯示由參數方程精確表示的曲線的離散點數據。
在OpenCascade中使用類Poly_Triangulation來保存網格數據，即用三角網格來逼近表示的曲面，或更通用的一個形狀。
形狀的離散化由函數BRepMesh::Mesh()來統一處理，處理后就可以得到形狀用來顯示的多段線和三角網格數據。有了這些離散數據，不管是將形狀交給顯示模塊進行顯示，還是將形狀在其他顯示引擎中顯示，就很方便了。
在OpenCascade的BRep中也保存了形狀的用來顯示用的離散數據，即多段線和三角網格。只有經過BRepMesh::Mesh()離散化之后，形狀才具有這些數據。
二、細分曲線 Subdivision of Curves
在前面的一篇文章《在OpenSceneGraph中繪制OpenCascade的曲線 》中對曲線的顯示使用了統一細分處理（uniform subdivision），即將曲線在整個參數區域內均分后得到一些線段來顯示。沒有考慮這樣的問題：在曲線很平的區域內，就會存在冗余的點；在曲線曲度很大的區域內，可能點的數量還不足以顯示出光滑的曲線。自適應細分（Adaptive Subdivision）的方法就是將點放在最需要的地方，其主要目的是可視化曲線時更高效的渲染。通常這種方法主要用于游戲，因為其顯示更高效，性能更好。
Figure 2.1 Uniform sampling on a curve
如上圖所示，統一采樣來繪制曲線時，通常會在直線段區域生成很多多余的點，而在曲線區域的點太少，不能表示出光滑的曲線。自適應細分曲線有很多種方法，每種方法都會考慮速度、效率和精度，即如何用最少的點精確地表示出曲線。當你理解這個基本概念后，也可以對其他方法進行研究。
在OpenCascade中對曲線的細分使用的類是GCPnts_TangentialDeflection，其算法描述如下，感興趣的讀者可以結合源程序對其算法實現進行研究：
其中各個點的橫坐標對應的參數分別為：
從上述公式結合向量的數量積公式可以看出，約束條件是兩個向量夾角的余弦值分別小于角度偏差和曲率偏差。算法將產生滿足約束條件的曲線上的最少數量的點。
細分曲線后的點保存在類Poly_Polygon3D中。在BRep中也保存有多段線數據，如下所示：
示例：
BNF定義：
詳細說明：
<3D polygon record>定義了空間多段線（3D polyline）L，用來逼近空間參數曲線C。多段線的數據包含節點數m>=2，參數顯示標志位p，逼近偏差（deflection）d>=0，節點Ni（1=<i<=m），參數ui（1=<i<=m）。當參數顯示標志位p＝1時，參數u才會顯示。多段線L通過這些節點，多段線L逼近曲線C的逼近偏差定義如下所示：
參數ui（1=<i<=m）是曲線C上通過節點Ni的參數值：
示例數據表示的多段線為：m＝2，參數顯示標志位p＝1，逼近偏差d＝0.1，節點N1＝（1，0，0），N2＝（2，0，0），參數u1＝0，u2＝1。
三、細分曲面 Subdivision of surfaces
我們知道使用參數方程可以精確表示出三維曲線和曲面，但是參數方程表示的曲線曲面并不能直接交給OpenGL直接顯示出來。為此，圖形學中廣泛使用三角網格來表達三維模型，即用三角形組成的面片列表來近似逼近表示三維模型。
Figure 3.1 Triangulation of Chinese Dragon
用三角網格表示的曲面需要解決幾個問題：三角網格的產生、描述、遍歷、簡化和壓縮等。在OpenCascade中三角網格的產生使用算法Delaunay三角剖分算法生成網格數據，網格的描述使用類Poly_Triangulation。BRep文件中也保存三角網格的數據，如下所示：
示例：
BNF定義：
詳細說明：
<triangulation record>定義了逼近曲面S的三角剖分T（triangulation）。三角剖分的數據包含節點數m>=3，三角形數k>=1，參數顯示標志位p，逼近偏差d>=0，節點Ni（1<=i<=m），參數對ui,vi（1<=i<=m），三角形nj,1，nj,2，nj,3。參數只有當參數顯示標志位p＝1時才顯示。三角剖分逼近曲面的偏差d定義如下所示：
參數對ui，vi描述了曲面S上過節點Ni的參數：
三角形nj,1， nj,2， nj,3用來取得三角形的三個頂點值Nnj,1，Nnj,2，Nnj,3，節點遍歷的順序就是Nnj,1，Nnj,2，Nnj,3。從三角剖分T的任意一側遍歷，所有三角形都有相同的方向：順時針或逆時針。
三角剖分中的三角形數據：
表示的三角剖分為：m＝4個節點，k＝2個三角形，參數顯示標志位p＝1，逼近偏差d＝0，節點N1（0，0，0），N2（0，0，3），N3（0，2，3），N4（0，2，0），參數值（u1,v1）＝（0，0），（u2,v2）＝（3，0），（u3,v3）＝（3，－2），（u4,v4）＝（0，－2）。從點（1，0，0）（（－1，0，0）），三角形是順時針（逆時針）的。
四、程序示例 Code Example
通過創建多段線和三角網格數據并將其輸出，可以理解BRep文件中用來顯示的離散的數據結構。程序示例如下所示：
/*
* Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : eryar@163.com
* Date : 2013-12-12 21:46
* Version : 1.0v
*
* Description : There are two kind of data for shape representation
* of the BRep file of OpenCascade. One is Polyline to
* approximates a 3D curve; the other is triangulations
* to approximates a surface.
*
* KeyWords : OpenCascade, BRep File, Polygon, Triangulation
*
*/
#define WNT
#include <TColStd_Array1OfReal.hxx>
#include <TColgp_Array1OfPnt.hxx>
#include <TColgp_Array1OfPnt2d.hxx>
#include <Poly.hxx>
#include <Poly_Polygon3D.hxx>
#include <Poly_Array1OfTriangle.hxx>
#include <Poly_Triangulation.hxx>
#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
int main(void)
{
// 3D Polygons:
// Polygon3D 1
// 2 1
// 0.1
// 1 0 0 2 0 0
// 0 1
TColStd_Array1OfReal parameters(1, 2);
TColgp_Array1OfPnt nodes(1, 2);
Handle_Poly_Polygon3D polyline;
nodes.SetValue(1, gp_Pnt(1, 0, 0));
nodes.SetValue(2, gp_Pnt(2, 0, 0));
parameters.SetValue(1, 0.0);
parameters.SetValue(2, 1.0);
polyline = new Poly_Polygon3D(nodes, parameters);
polyline->Deflection(0.1);
Poly::Write(polyline, std::cout);
Poly::Write(polyline, std::cout, false);
// Triangulations.
// 4 2 1 0
// 0 0 0 0 0 3 0 2 3 0 2 0 0 0 3 0 3 -2 0 -2 2 4 3 2 1 4
Standard_Integer nodeCount = 4;
Standard_Integer triangleCount = 2;
Standard_Real deflection = 0.0;
Standard_Boolean hasUV = Standard_True;
TColgp_Array1OfPnt triNodes(1, nodeCount);
TColgp_Array1OfPnt2d UVNodes(1, nodeCount);
Poly_Array1OfTriangle triangles(1, triangleCount);
Handle_Poly_Triangulation triangulation;
triNodes(1).SetCoord(0, 0, 0);
triNodes(2).SetCoord(0, 0, 3);
triNodes(3).SetCoord(0, 2, 3);
triNodes(4).SetCoord(0, 2, 0);
UVNodes(1).SetCoord(0.0, 0.0);
UVNodes(2).SetCoord(3.0, 0.0);
UVNodes(3).SetCoord(3.0, -2.0);
UVNodes(4).SetCoord(0.0, -2.0);
triangles(1).Set(2, 4, 3);
triangles(2).Set(2, 1, 4);
triangulation = new Poly_Triangulation(triNodes, UVNodes, triangles);
triangulation->Deflection(deflection);
Poly::Write(triangulation, std::cout);
Poly::Write(triangulation, std::cout, false);
return 0;
}
輸出結果如下所示：
Poly_Polygon3D
2 1
0.1
1 0 0
2 0 0
0 1
Poly_Polygon3D
2 Nodes
with parameters
Deflection : 0.1
Nodes :
1 : 1 0 0
2 : 2 0 0
Parameters :
0 1
Poly_Triangulation
4 2 1
0
0 0 0
0 0 3
0 2 3
0 2 0
0 0
3 0
3 -2
0 -2
2 4 3
2 1 4
Poly_Triangulation
4 Nodes
2 Triangles
with UV nodes
Deflection : 0
3D Nodes :
1 : 0 0 0
2 : 0 0 3
3 : 0 2 3
4 : 0 2 0
UV Nodes :
1 : 0 0
2 : 3 0
3 : 3 -2
4 : 0 -2
Triangles :
1 : 2 4 3
2 : 2 1 4
Press any key to continue . . .
五、結論
通過對OpenCascade中BRep文件中的離散數據的學習，理解顯示用數據結構及其實現。另外發現在類Poly和類BRepTools_ShapeSet中都有對多段線和三角網格進行讀寫的函數，有重復代碼，可以合并簡化。