Two analytical 2d line intersection in OpenCASCADE
eryar@163.com
Abstract. OpenCASCADE geometric tools provide algorithms to calculate the intersection of two 2d curves, surfaces, or a 3d curve and a surface. Those are the basis of the Boolean Operation, so under the implementation can help to under the BO algorithms. The paper focus on the intersection of two 2d analytical line.
Key Words. OpenCASCADE, Line Intersection
1.Introduction
在幾何造型系統中，通常利用集合的并、交、差運算實現復雜形體的構造，而集合運算需要大量的求交運算。如何提高求交的實用性、穩定性、速度和精度等，對幾何造型系統至關重要。當前的幾何造型系統，大多數采用邊界表示法來表示模型。在這種表示法中，形體的邊界元素和某類幾何元素相對應，它們可以是直線、圓弧、二次曲線、Bezier曲線和B樣條曲線等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面和B樣條曲面等，求交情況十分復雜。在一個典型的幾何造型系統中，用到的幾何元素通常有25種，為了建立一個通用的求交函數庫，所要完成的求交函數多達：
在OpenCASCADE中也有類似的數據結構來表示幾何體。本文先來學習最簡單的一種求交：兩條二維直線的相交。
Figure 1. 2d line intersection
2.Code Usage
OpenCASCADE中計算二維解析曲線的類是IntAna2d_AnaIntersection，可用于計算如下的曲線之間的相交：
v 兩條二維直線；
v 兩個二維圓；
v 二維直線和二維圓；
v 二維直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線二次曲線與另外一條二維曲線；
下面使用OpenCASCADE來對圖1所示的兩條二維直線進行求交計算。代碼如下：
/*
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SOFTWARE.
*/
// NOTE
// ----
// Tool: Visual Studio 2013 & OpenCASCADE7.1.0
// Date: 2017-02-25 20:52
#include <gp_Dir2d.hxx>
#include <gp_Lin2d.hxx>
#include <gp_Pnt2d.hxx>
#include <GCE2d_MakeLine.hxx>
#include <IntAna2d_AnaIntersection.hxx>
#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
#pragma comment(lib, "TKG2d.lib")
#pragma comment(lib, "TKG3d.lib")
#pragma comment(lib, "TKGeomBase.lib")
void test(void)
{
GCE2d_MakeLine aLineMaker1(gp_Pnt2d(0.0, 0.0), gp_Pnt2d(10.0, 10.0));
GCE2d_MakeLine aLineMaker2(gp_Pnt2d(2.0, 10.0), gp_Pnt2d(12.0, 2.0));
gp_Lin2d aLine1 = aLineMaker1.Value()->Lin2d();
gp_Lin2d aLine2 = aLineMaker2.Value()->Lin2d();
IntAna2d_AnaIntersection aIntAna;
aIntAna.Perform(aLine1, aLine2);
if (aIntAna.IsDone())
{
const IntAna2d_IntPoint& aIntPoint = aIntAna.Point(1);
std::cout << "Number of IntPoint between the 2 curves: "
<< aIntAna.NbPoints() << std::endl;
std::cout << "Intersect Point: " << aIntPoint.Value().X()
<< ", " << aIntPoint.Value().Y() << std::endl;
}
}
int main(int argc, char* argv[])
{
test();
return 0;
}
計算得到交點為（6.44, 6.44）：
Number of IntPoint between the 2 curves: 1
Intersect Point: 6.44444, 6.44444
Press any key to continue . . .
3.Code Analysis
計算二維直線相交的代碼在文件IntAna2d_AnaIntersection_1.cxx中，其中名字IntAna2d的意思是Intersection Analytical兩個單詞前三個字母，即二維解析曲線求交包。源碼列出如下：
void IntAna2d_AnaIntersection::Perform (const gp_Lin2d& L1,
const gp_Lin2d& L2) {
done = Standard_False;
Standard_Real A1,B1,C1;
Standard_Real A2,B2,C2;
L1.Coefficients(A1,B1,C1);
L2.Coefficients(A2,B2,C2);
Standard_Real al1,be1,ga1;
Standard_Real al2,be2,ga2;
Standard_Real Det =Max (Abs(A1),Max(Abs(A2),Max(Abs(B1),Abs(B2))));
if (Abs(A1)==Det) {
al1=A1;
be1=B1;
ga1=C1;
al2=A2;
be2=B2;
ga2=C2;
}
else if (Abs(B1)==Det) {
al1=B1;
be1=A1;
ga1=C1;
al2=B2;
be2=A2;
ga2=C2;
}
else if (Abs(A2)==Det) {
al1=A2;
be1=B2;
ga1=C2;
al2=A1;
be2=B1;
ga2=C1;
}
else {
al1=B2;
be1=A2;
ga1=C2;
al2=B1;
be2=A1;
ga2=C1;
}
Standard_Real rap=al2/al1;
Standard_Real denom=be2-rap*be1;
if (Abs(denom)<=RealEpsilon()) { // Directions confondues
para=Standard_True;
nbp=0;
if (Abs(ga2-rap*ga1)<=RealEpsilon()) { // Droites confondues
iden=Standard_True;
empt=Standard_False;
}
else { // Droites paralleles
iden=Standard_False;
empt=Standard_True;
}
}
else {
para=Standard_False;
iden=Standard_False;
empt=Standard_False;
nbp=1;
Standard_Real XS = (be1*ga2/al1-be2*ga1/al1)/denom;
Standard_Real YS = (rap*ga1-ga2)/denom;
if (((Abs(A1)!=Det)&&(Abs(B1)==Det))||
((Abs(A1)!=Det)&&(Abs(B1)!=Det)&&(Abs(A2)!=Det))) {
Standard_Real temp=XS;
XS=YS;
YS=temp;
}
Standard_Real La,Mu;
if (Abs(A1)>=Abs(B1)) {
La=(YS-L1.Location().Y())/A1;
}
else {
La=(L1.Location().X()-XS)/B1;
}
if (Abs(A2)>=Abs(B2)) {
Mu=(YS-L2.Location().Y())/A2;
}
else {
Mu=(L2.Location().X()-XS)/B2;
}
lpnt[0].SetValue(XS,YS,La,Mu);
}
done=Standard_True;
}
從上述源碼中可以看出，OpenCASCADE對二維直線求交計算使用的是解方程組的方法。步驟如下：
v 計算兩條直線的系數；
v 計算系數方程組。
這些都是高中數學知識了，就當復習下，并由此看出OpenCASCADE中的一些編碼風格。先看第一步，根據點和方向計算二維直線的系數，相關的源碼如下所示：
inline void gp_Lin2d::Coefficients (Standard_Real& A,
Standard_Real& B,
Standard_Real& C) const
{
A = pos.Direction().Y();
B = - pos.Direction().X();
C = -(A * pos.Location().X() + B * pos.Location().Y());
}
由高中數學可知，二維直線的方程有三種形式：點斜式、兩點式和一般式。
根據一般式方程，當B不等于0時，可得：
因為OpenCASCADE中的gp_Dir2d是單位向量，所以可將其X、Y值分別對應－B和A。確定A和B后，再根據一般式方程將C移項得到：C=-Ax-By
得到直線的系數后，交點的計算就變成如下方程組的求解了：
OpenCASCADE的源碼中有多個條件判斷，相當于高期消元法中的選主元操作，主要是為了避免分母為0的情況。其中有兩個實數直接判斷相等的語句，如Abs(A1)==Det這種。對于實數大小的比較，一般總是使用兩者相減的值是否落在0的領域中來判斷。OpenCASCADE中對于實數的比較沒有采用領域比較技術，顯得不夠嚴謹。其實領域比較的方法已經在Precison.hxx中進行了說明，只是有些代碼沒有嚴格執行。
4.Conclusion
通過對OpenCASCADE中二維直線相交代碼的分析，理解其實現原理：將點向式的直線轉換成一般式，再對一般式聯立方程求解。求解過程中使用了高期消元法的選主元方法。
對于實數的比較應該盡量采用領域比較技術，而避免直接使用兩個數相等==或不相等!=的判斷。
如果只是判斷兩條直線是否相交，而不用計算交點的話，《算法導論》中有使用向量來高效算法。
因為二維直線相交只涉及到高中數學知識，所以本文是拋磚引玉，通過繼續學習，理解B樣條曲線的相交算法實現。
5.References
1. 孫家廣, 胡事民. 計算機圖形學基礎. 清華大學出版社. 2009
2. 人民教育出版社中學數學室. 數學第二冊上. 人民教育出版社. 2000
3. 錢能. C++程序設計教程. 清華大學出版社. 2005
4. 易大義, 沈云寶, 李有法. 計算方法. 浙江大學出版社. 2002
5. 潘金貴等譯. 算法導論. 機械工業出版社. 2011