Geometry Surface of OpenCascade BRep

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摘要Abstract：幾何曲面是參數表示的曲面 ，在邊界表示中其數據存在于BRep_TFace中，BRep_TFace中不僅包括了幾何曲線，還包含用于顯示的離散幾何信息，如三角剖分數據。本文主要對OpenCascade的BRep表示中幾何曲面進行說明，將在后面分析Topology部分的讀寫程序時來說明包含幾何數據的三種拓樸結構中分別包括哪些幾何信息。

關鍵字Key Words：OpenCascade BRep, Geometry Surface, Topology

一、引言 Introduction

邊界表示（Boundary Representation）也稱為BRep表示，它是幾何造型中最成熟、無二義的表示法。實體的邊界通常是由面的并集來表示，而每個面又由它所在的曲面的定義加上其邊界來表示，面的邊界是邊的并集，而邊又是由點來表示的。

邊界表示的一個重要特征是描述形體的信息包括幾何信息（Geometry）和拓樸信息（Topology）兩個方面。拓樸信息描述形體上的頂點、邊、面的連接關系，它形成物體邊界表示的“骨架”。形體的幾何信息猶如附著在“骨架”上的肌肉。例如，形體的某個面位于某一個曲面上，定義這一曲面方程的數據就是幾何信息。此外，邊的形狀、頂點在三維空間中的位置（點的坐標）等都是幾何信息，一般來說，幾何信息描述形體的大小、尺寸、位置和形狀等。

OpenCascade中幾何（Geometry）與拓樸（Topology）的關系也是按上述方式組織的。即幾何信息在BRep中并不是單獨存在的，而是依附于拓樸存在的。通過繼承TopoDS包中的抽象的拓樸類實現了邊界表示（BRep）模型。如下圖所示：

Figure 1.1 Topology data structure in OpenCascade

從上面的類圖可以看出只有三種拓樸對象有幾何數據：頂點（vertex）、邊（edge）、面（face），分別為BRep_TVertex、BRep_TEdge、BRep_TFace。BRep_TVertex中主要包含一個空間點（x, y, z）數據；幾何曲線數據主要存在于BRep_TEdge中，BRep_TEdge中不僅包括了幾何曲線，還包含其他類型的幾何信息；BRep_TFace中主要包含幾何曲面及其他的幾何數據，如面的三角剖分等。本文主要對OpenCascade的BRep表示中幾何曲面進行說明，將在后面分析Topology部分的讀寫程序時來說明這三種拓樸結構中分別包括哪些幾何信息。

Draw Test Harness是OpenCascade提供的一種靈活和簡便的測試與演示OCCT造型庫的工具。他不僅可以使用交互的方式來創建、顯示和修改曲線、曲面和拓樸形狀，還可以以腳本（script）的方式來使用，OpenCascade就是用腳本的方式來對其造型內核進行自動化測試（Tests）。本文將示例程序的幾何曲面在Draw Test Harness進行創建與顯示，結合圖形的直觀顯示便于對抽象概念的理解。

二、示例程序 Example Code

在OpenCascade提供的文檔《BRep Format Description White Paper》對其BRep文件數據進行了說明。BRep文件的幾何部分包含了參數曲面，根據文檔中提供的數據，利用其提供的類來將示例數據進行輸出，再調試其相關代碼來分析其實現。示例程序如下所示：

上述程序將《BRep Format Description White Paper》中的幾何部分（Geometry Section）的參數曲面（Surfaces）示例數據分別使用類GeomTools的靜態函數輸出到屏幕和文件。

當使用GeomTools::Write()時輸出的內容與BRep文件中一致，當使用GeomTools::Dump()時輸出更易讀的信息。為了便于對比理解，將兩種形式都輸出到文件geometrySurface.txt中，輸出數據如下所示：

三、程序說明 Example Description

3.1 平面 Plane

示例：

<surface record 1>定義了平面。平面數據包含三維點P和三維正交坐標系N，Du，Dv。平面通過點P，且其法向量為N。其參數方程如下所示：

示例數據表示的平面為通過點P＝（0，0，3），法向量N＝（0，0，1），其參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示平面如下所示：

3.2 圓柱面 Cylinder

示例：

<surface record 2>定義了圓柱面。圓柱面的數據包含三維點P，三維正交坐標系Dv，Dx，Dy和一個非負實數r。圓柱面的軸通過點P，方向為Dv，圓柱面的半徑為r，其參數方程如下所示：

示例數據表示的圓柱面為軸通過點P＝（1，2，3），軸的方向Dv＝（0，0，1），方向Dx＝（1，0，－0），Dy＝（－0，1，0），半徑r＝4，其參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示圓柱面如下所示：

3.3 圓錐面 Cone

示例：

<surface record 3>定義了圓錐面。圓錐面的數據包含三維點P，正交坐標系Dz，Dx，Dy，非負實數r和實數ψ（范圍為（-π/2, π/2））。圓錐面通過點P且軸的方向為Dz。過點P且與方向Dx，Dy平行的平面為圓錐面的參考平面（referenced plane）。參考平面截圓錐面為一個圓，其半徑為r。其參數方程如下所示：

示例數據表示的圓錐面的軸通過點P＝（1，2，3），方向Dz＝（0，0，1）。圓錐面的其他數據是Dx＝（1，0，－0），Dy＝（－0，1，0），半徑r＝4，角度ψ＝0.75。其參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示圓錐面如下所示：

3.4 球面 Sphere

示例：

<surface record 4>定義了球面。球面的數據包含三維點P，三維正交坐標系Dz，Dx，Dy和非負實數r。即球面的球心為點P，半徑為r，其參數方程如下所示：

示例數據表示的球面為球心過點P＝（1，2，3），方向分別為Dz＝（0，0，1），Dx＝（1，0，－0），Dy＝（－0，1，0），半徑r＝4。其參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示球面如下所示：

3.5 圓環面 Torus

示例：

<surface record 5>定義了圓環面。圓環面的數據包含三維點P，三維正交坐標系Dz，Dx，Dy和非負實數r1，r2。圓環面的軸通過點P，方向為Dz，r1是從圓環面的圓的中心到點P的距離，圓環面的圓的半徑為r2。圓環面的參數方程如下所示：

示例數據表示的圓環面的軸通過點P＝（1，2，3），軸的方向為Dz＝（0，0，1）。其它數據為Dx＝（1，0，－0），Dy＝（0，1，0），r1＝8，r2＝4，其參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示圓環面如下所示：

3.6 線性拉伸面 Linear Extrusion

示例：

<surface record 6>定義了線性拉伸面。線性拉伸面的數據包含三維方向Dv和三維曲線<3D curve record>。其參數方程如下所示：

示例數據表示的線性拉伸面的拉伸方向Dv＝（0，0.6，0.8），拉伸曲線為圓。拉伸面的參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示線性拉伸面如下所示：

3.7 旋轉面 Revolution Surface

示例：

<surface record 7>定義了旋轉面。旋轉面的數據包含三維點P，三維方向D和三維曲線。旋轉曲面的軸通過點P且方向為D，旋轉曲線為C與旋轉軸共面。旋轉曲面的參數方程如下所示：

示例數據表示的旋轉曲面的旋轉軸通過點P＝（－4，0，3），方向D＝（0，1，0），旋轉曲線是一個圓。其參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示旋轉面如下所示：

3.8 Bezier曲面 Bezier Surface

示例：

<surface record 8>定義了Bezier曲面。曲面的數據包含u有理標志位ru，v有理標志位rv，曲面次數mu, mv，和weight poles。u,v的次數都不能大于25。

當ru+rv＝0時，weight poles是（mu+1）（mv+1）個三維點Bi,j（（i，j）∈{0，...，mu}x{0,...,mv}），hi,j＝1（（i，j）∈{0，...，mu}x{0,...,mv}）；

當ru+rv≠0時，weight poles是（mu+1）（mv+1）個帶權控制點對Bi,j，hi,j。Bi,j是三維點，hi,j是權因子，正實數。

Bezier曲面的參數方程如下所示：

示例數據表示的Bezier曲面為：u有理標志位ru＝1，v有理標志位rv＝1，次數mu＝2，mv＝1，weight poles為：B0,0＝（0，0，1），h0,0＝7，B0,1＝（1，0，－4），h0,1＝10，B1,0＝（0，1，－2），h1,0＝8，B1,1＝（1，1，5），h1,1＝11，B2,0＝（0，2，3），h2,0＝9，B2,1＝（1，2，6），h2,1＝12。曲面的參數方程為：

在Draw Test Harness中創建并顯示Bezier曲面如下所示：

3.9 B樣條曲面 B-spline Surface

示例：

<surface record 9>定義了B-Spline曲面。B樣條曲面數據包含u有理標志位ru，v有理標志位rv，u次數mu<=25；v次數mv<=25，u控制點數nu>=2，v控制點數nv>=2，u重節點數ku，v重節點數kn，weight poles，u重節點，v重節點。

當ru+rv＝0時，weight poles是（mu+1）（mv+1）個三維點Bi,j（（i，j）∈{0，...，mu}x{0,...,mv}），hi,j＝1（（i，j）∈{0，...，mu}x{0,...,mv}）；

當ru+rv≠0時，weight poles是（mu+1）（mv+1）個帶權控制點對Bi,j，hi,j。Bi,j是三維點，hi,j是權因子，正實數。

u重節點及其重數有ku對：u1,q1,...,uku,qku。這里ui是重數為qi>=1的節點：

v重節點及其重數有kv對：u1,q1,...,ukv,qkv。這里vi是重數為qi>=1的節點：

B-Spline曲面的參數方程如下所示：

基函數Ni,j和Mi,j有如下的遞歸定義：

示例數據表示的B-Spline曲面為：u有理標志位ru＝1，v有理標志位rv＝1，u次數mu＝1，v次數mv＝1，u控制點數nu＝3，v控制點數nv＝2，u有重復度的節點數ku＝5，v有重復度節點數kv＝4，帶權控制點B1,1＝（0，0，1），h1,1＝7，B1,2＝（1，0，－4），h1,2＝10，B2,1＝（0，1，－2），h2,1＝8，B2,2＝（1，1，5），h2,2＝11，B3,1＝（0，2，3），h3,1＝9，B3,2＝（1，2，6），h3,2＝12，u有重復度節點u1＝0，q1＝1，u2＝0.25，q2＝1，u3＝0.5，q3＝1，u4＝0.75，q4＝1，u5＝1，q5＝1，v有重度度節點v1＝0，r1＝1，v2＝0.3，r2＝1，v3＝0.7，r3＝1，v4＝1，r4＝1。B-Spline曲面的參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示B樣條曲面如下所示：

3.10 矩形裁剪曲面 Rectangular Trim Surface

示例：

<surface record 10>定義了矩形裁剪曲面。矩形裁剪曲面的數據包含實數umin，umax，vmin，vmax和一個曲面。矩形裁剪曲面是將曲面限制在矩形區域[umin，umax]x[vmin，vmax]內得到的曲面。曲面的參數方程如下所示：

示例數據表示的矩形裁剪曲面的矩形裁剪區域為[-1，2]x[－3，4]，被裁剪曲面B（u，v）＝（1，2，3）+u（1，0，0）+v（0，1，0）。其參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示矩形裁剪曲面如下所示：

3.11 偏移曲面 Offset Surface

示例：

<surface record 11>定義了偏移曲面。偏移曲面的數據包含偏移距離d和曲面。偏移曲面的就將基準曲面B沒曲面的法向N上偏移距離d得到的曲面。偏移曲面的參數方程如下所示：

示例數據表示的偏移曲面的偏移距離d＝－2，基準曲面B（u，v）＝（1，2，3）+u（1，0，0）+v（0，1，0）。其參數方程如下所示：

在Draw Test Harness中創建并顯示偏移曲面如下所示：

注：當偏移－2時，效果不明顯示，所以偏移了－20，這樣看上去比較明顯。

四、程序分析 Refactoring the Code

Figure 4.1 Class diagram of Geom_Surface

根據幾何曲面的類圖可知，幾何曲面有個共同的基類Geom_Surface。而在對幾何數據進行輸出與讀入時，用了很多條件判斷。輸出部分程序代碼如下所示：

讀入部分的程序代碼如下所示：

正如《Refactoring-Improving the Design of Existing Code》書中以多態取代條件表達式（Replace Conditional with Polymorphism）所說，在面向對象術語中，聽上去最高貴的詞非“多態”莫屬。多態最根本的好處就是如果你需要根據對象的不同類型而采取不同的行為，多態使你不必編寫明顯的條件表達式。正因為有了多態，所以你會發現“類型碼的switch語句”以及“基于類型名稱的if-then-else語句”在面向對象程序中很少出現。

多態能夠帶給你很多好處。如果同一組條件表達式在程序許多地方出現，那么使用多態的收益是最大的。使用條件表達式時，如果你想添加一種新類型，就必須查找并更新所有條件表達式。但如果改用多態，只需要一個新的子類，并在其中提供適當的函數就行了。類的用戶不需要了解這個子類，這就大降低了系統各部分之間的依賴，使系統升級更容易。

OpenCascade的幾何曲面已經有一個基類Geom_Surface了，可將輸出做為虛函數，就不需要做判斷了。在讀入（創建）時引入工廠模式，對于UndefinedTypeHandler()可以引入Null對象。經過這樣重構之后的程序可讀性應該會更好吧！

五、結論 Conclusion

在邊界表示BRep的形狀中，參數表示的幾何曲面并不會孤立存在，他總是依附于拓樸面中。在OpenCascade的BRep格式的文件中三維幾何曲面共有十一種，通過將這十一種幾何曲面輸出，理解參數表示的幾何曲面的數據結構。

通過查看其讀寫幾何曲面的源程序，提出重構的方法。當在面向對象的程序中出現很條件表達式時，那么程序就有“壞味道”了，需要進行重構改進。

六、參考資料 References

1. OpenCascade. BRep Format Description White Paper

2. Martin Fowler. Refactoring:Improving the Design of Existing Code. Addison-Wesley

3. Les Piegl, Wayne Tiller. The NURBS Book. Springer-Verlag