OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Hyperbola
eryar@163.com
Abstract. Rational Bezier Curve can represent conic curves such as circle, ellipse, hyperbola, .etc. But how to convert a conic curve to BSpline curve is still question, i.e. Represent a conic curve in BSpline form. The key point of Hyperbola conversion is to calculate the 2nd pole and its weight factor. The paper focus on the hyperbola convert to the BSpline curves.
Key Words. OpenCASCADE, Convert, Hyperbola, BSplineCurve, Conic Curve
1. Introduction
圓錐截線（Conic或稱為二次曲線）和圓在CAD/CAM中有著廣泛應用。毫無疑問NURBS的一個最大優點就是既能精確表示圓錐截線和圓，也能精確表示自由曲線曲面。這個優點的意義是方便編程，使所有的曲線可以采用統一的數據結構來表示。通過有理的方式可以精確來表示這些二次曲線，那么給定一個二次曲線的相關參數（如圓的圓心和半徑等），如何構造出對應的NURBS曲線呢？
圓錐截線（Conic curves）是一個平面與一個圓錐相交產生的曲線集合。平面與圓錐相交的角度不同產生不同的截線。如下圖所示：
Figure 1.1 Conic Sections
OpenCASCADE中對應雙曲線的隱式方程表示的類是gp_Hypr/gp_Hypr2d。本文主要介紹OpenCASCADE中如何使用包Convert將gp_Parab2d轉換為NURBS曲線。
2. Parametric Representations
在CAD/CAM的應用中，圓錐截線有兩種重要的參數表示形式：有理形式和最大內接面積形式（Rational and maximum inscribed area forms）。表示雙曲線的最大內接面積形式，如下所示：
其中chu和shu為雙曲函數：
圓錐截線的有些有理參數表示形式可能是有相當差的參數化，即均勻分布的參數值對應于曲線上分布很不均勻的點。利用線性有理函數對有理曲線進行重新參數化可以改變（因而可能改善）其參數化。
假設C(u)=(x(u), y(u))是一條在標準位置的圓錐截線的參數表示。現在我們對雙曲線給出的參數方程也是上式，它是一個好的參數化：對于任意給定的整數n和參數邊界a與b，取n個等間隔分布的參數：
點C(u1)，C(u2), ..., C(un)形成曲線上n-1邊多邊形，它的閉合多邊形具有最大的內接面積。
3. Conversion Algorithm
將隱式表示的雙曲線方程轉換為NURBS（有理Bezier是NURBS的特例）曲線需要確定NURBS的以下信息：節點矢量，權因子，次數，控制頂點。
圓錐截線是二次曲線，所以次數為2。根據參數方程的最大內接面積表示法可以求出節點矢量。所以轉換的關鍵是計算控制第二個頂點及其權因子。由有理Bezier曲線的公式得二次有理Bezier曲線弧的表示形式為：
稱k為形狀不變因子，公式如下所示：
可以證明同一組控制頂點選取不同 的權因子，只要形狀因子k相等，則由它們決定的二次有理Bezier曲線是同一條曲線段，不同的權因對應不同的參數化，而且可以根據形狀不變因子對二次曲線進行分類：
v K=0； 表示退化的二次曲線：一對直線段P0P1和P1P2；
v K∈[0，1]； 表示雙曲線；
v K=1； 表示拋物線；
v K∈[1, +∞]； 表示橢圓；
v K=+∞； 表示連接P0和P2的直線段；
習慣上我們選擇ω0=ω2=1稱為標準參數化。此時只剩下控制頂點P1的權因子ω1。
Figure 3.1 不同的權因子ω1 定義的圓錐截線
由二次有理Bezier曲線公式可知，當u=0和u=1時，C(0)=P0, C(1)=P2，即曲線通過特征多邊形的首末頂點。由此可確定拋物線的兩個控制頂點P0和P2，現在只剩下最后一個P1頂點未確定。
由端點處的切矢公式可知，控制多邊形通過首末端點且第二個控制頂點P1是通過兩端點的切線的交點。根據直接線點向式可以列出直線方程來求出交點即P1點的坐標。
計算得交點P1的坐標如下所示：
根據雙曲線的參數方程得：
將上述值代入交點坐標公式得交點P1的坐標與參數u的關系式為：
根據肩點公式及點P1，可計算出權因子的ω1值，公式如下所示：
求得P1點對應的權因子ω1的值為：
至此，雙曲線的三個控制頂點P0，P1，P2都已計算出來了。即雙曲線的NURBS表示所需的數據都已經得到了。下面看看OpenCASCADE中的實現代碼。
4. Code Analysis
OpenCASCADE的Math工具集中有個包Covert用來將圓錐曲線曲面轉換為NURBS曲線曲面。其中轉換雙曲線的類為：Convert_HyperbolaToBSplineCurve，實現代碼如下所示：
//=======================================================================
//function : Convert_HyperbolaToBSplineCurve
//purpose :
//=======================================================================
Convert_HyperbolaToBSplineCurve::Convert_HyperbolaToBSplineCurve
(const gp_Hypr2d& H ,
const Standard_Real U1,
const Standard_Real U2 )
: Convert_ConicToBSplineCurve (MaxNbPoles, MaxNbKnots, TheDegree)
{
Standard_DomainError_Raise_if( Abs(U2 - U1) < Epsilon(0.),
"Convert_ParabolaToBSplineCurve");
Standard_Real UF = Min (U1, U2);
Standard_Real UL = Max( U1, U2);
nbPoles = 3;
nbKnots = 2;
isperiodic = Standard_False;
knots->ChangeArray1()(1) = UF; mults->ChangeArray1()(1) = 3;
knots->ChangeArray1()(2) = UL; mults->ChangeArray1()(2) = 3;
// construction of hyperbola in the reference xOy.
Standard_Real R = H.MajorRadius();
Standard_Real r = H.MinorRadius();
gp_Dir2d Ox = H.Axis().XDirection();
gp_Dir2d Oy = H.Axis().YDirection();
Standard_Real S = ( Ox.X() * Oy.Y() - Ox.Y() * Oy.X() > 0.) ? 1 : -1;
// poles expressed in the reference mark
// the 2nd pole is at the intersection of 2 tangents to the curve
// at points P(UF), P(UL)
// the weight of this pole is equal to : Cosh((UL-UF)/2)
weights->ChangeArray1()(1) = 1.;
weights->ChangeArray1()(2) = Cosh((UL-UF)/2);
weights->ChangeArray1()(3) = 1.;
Standard_Real delta = Sinh(UL-UF);
Standard_Real x = R * ( Sinh(UL) - Sinh(UF)) / delta;
Standard_Real y = S * r * ( Cosh(UL) - Cosh(UF)) / delta;
poles->ChangeArray1()(1) = gp_Pnt2d( R * Cosh(UF), S * r * Sinh(UF));
poles->ChangeArray1()(2) = gp_Pnt2d( x, y);
poles->ChangeArray1()(3) = gp_Pnt2d( R * Cosh(UL), S * r * Sinh(UL));
// replace the bspline in the mark of the hyperbola
gp_Trsf2d Trsf;
Trsf.SetTransformation( H.Axis().XAxis(), gp::OX2d());
poles->ChangeArray1()(1).Transform( Trsf);
poles->ChangeArray1()(2).Transform( Trsf);
poles->ChangeArray1()(3).Transform( Trsf);
}
由上面的代碼可知，先設置曲線次數為2，再設置節點矢量為[UF，UF，UF，UL，UL，UL]，即首參數UF和末參數UL的重數皆為3，由節點矢量可知轉換后的NURBS曲線為Bezier曲線。（拋出異常的提示信息還沒改過來，還是拋物線的。）
設置三個控制頂點及其對應的權因子，計算主要涉及到第二個控制頂點P1的權因子。
最后根據有理Bezier曲線的仿射不變性：對有理Bezier曲線進行旋轉、平移和縮放變換，其表達式不變，只是控制點發生了改變。新的控制點可以通過對原控制點作變換得到。即要對有理Bezier曲線進行仿射變換，只需對其控制點作變換即可。
圓錐截線的轉換類的使用是很簡單的，且計算都是在構造函數中完成。下面給出一個將雙曲線轉換為NURBS曲線的具體示例來說明其用法。
/*
* Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : eryar@163.com
* Date : 2014-10-06 20:46
* Version : 1.0v
*
* Description : OpenCASCADE conic to BSpline curve-Hyperbola.
*
* Key words : OpenCascade, Hyperbola, BSpline Curve, Convert
*/
#define WNT
#include <gp_Hypr2d.hxx>
#include <Convert_HyperbolaToBSplineCurve.hxx>
#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
void DumpConvertorInfo(const Convert_ConicToBSplineCurve &theConvertor)
{
std::cout << "Degree: " << theConvertor.Degree() << std::endl;
std::cout << "Poles/Weights: " << std::endl;
for (Standard_Integer i = 1; i <= theConvertor.NbPoles(); ++i)
{
const gp_Pnt2d &aPole = theConvertor.Pole(i);
std::cout << i << ": " << aPole.X() << ", " << aPole.Y() << " w(" << theConvertor.Weight(i) << ")" << std::endl;
}
std::cout << "Knots: " << std::endl;
for (Standard_Integer j = 1, m = 0; j <= theConvertor.NbKnots(); ++j)
{
for (Standard_Integer k = 1; k <= theConvertor.Multiplicity(j); ++k)
{
std::cout << ++m << ": " << theConvertor.Knot(j) << std::endl;
}
}
std::cout << "==========================================" << std::endl;
}
void TestHyperbolaConvert(void)
{
gp_Hypr2d aHyperbola;
aHyperbola.SetMajorRadius(2.0);
aHyperbola.SetMinorRadius(1.0);
Convert_HyperbolaToBSplineCurve aConvertor(aHyperbola, 1.0, M_PI);
std::cout << "Convert Hyperbola to BSpline Curve: " << std::endl;
DumpConvertorInfo(aConvertor);
}
int main(int argc, char* argv[])
{
TestHyperbolaConvert();
return 0;
}
程序輸出結果如下所示：
Figure 4.1 Convert Hyperbola to BSpline Curve result
5. Conclusion
NURBS的一個優勢就是統一了曲線曲面的表示方法，即不僅可以表示自由曲線曲面，還可精確表示圓錐曲線曲面。本文詳細介紹了OpenCASCADE中將雙曲線轉換為NURBS的算法：即根據二次有理Bezier曲線的端點性質，求出過兩個端點切線的交點來計算出第二個控制頂點P1進而計算出對應的權因子。
計算中大量使用到了雙曲函數shx和chx的一些性質，相關公式可參考《數學手冊》。
6. References
1. 人民教育出版社中學數學室. 數學第二冊（上）. 人民教育出版社. 2000
2. 數學手冊編寫組. 數學手冊. 高等教育出版社. 1979
3. 趙罡，穆國旺，王拉柱譯. 非均勻有理B樣條. 清華大學出版社. 2010
4. 王仁宏，李崇君，朱春鋼. 計算幾何教程. 科學出版社. 2008