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計(jì)算機(jī)自從其誕生之日起，它的主要任務(wù)就是進(jìn)行各種各樣的科學(xué)計(jì)算。文檔處理，
數(shù)據(jù)處理，圖像處理，硬件設(shè)計(jì)，軟件設(shè)計(jì)等等，都可以抽象為兩大類：數(shù)值計(jì)算與非
數(shù)值計(jì)算。作為研究計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的人員，我們大都對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)對(duì)整個(gè)計(jì)算機(jī)科學(xué)的
重要性有一些了解。但是數(shù)學(xué)對(duì)我們這些專業(yè)的研究和應(yīng)用人員究竟有多大的用處呢？
我們先來(lái)看一下下面的一個(gè)流程圖：
─→數(shù)學(xué)模型─┬→數(shù)值計(jì)算方法──┐
│ ├→程序設(shè)計(jì)
└→非數(shù)值計(jì)算方法─┘ │
↓
編譯程序，求計(jì)算結(jié)果
上圖揭示了利用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算的步驟，實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為程序，要經(jīng)過一個(gè)對(duì)
問題抽象的過程，建立起完善的數(shù)學(xué)模型，只有這樣，我們才能建立一個(gè)設(shè)計(jì)良好的程
序。從中我們不難看出計(jì)算數(shù)學(xué)理論對(duì)用計(jì)算機(jī)解決問題的重要性。下面我們將逐步展
開對(duì)這個(gè)問題的討論。
計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)理論體系是相當(dāng)龐雜的，筆者不敢隨意劃分，參考計(jì)算機(jī)科學(xué)理
論的學(xué)科體系，我們談及的問題主要涉及：數(shù)值計(jì)算，離散數(shù)學(xué)，數(shù)論，計(jì)算理論四大
方向。
[一]數(shù)值計(jì)算（Numerical Computation）
主要包括數(shù)值分析學(xué)、數(shù)學(xué)分析學(xué)、線性代數(shù)、計(jì)算幾何學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。
數(shù)值分析學(xué)又常被稱為計(jì)算方法學(xué)，是計(jì)算理論數(shù)學(xué)非常重要的一個(gè)分支，主要研
究數(shù)值型計(jì)算。研究的內(nèi)容中首先要談?wù)剶?shù)值計(jì)算的誤差分析，誤差是衡量我們的計(jì)算
有效與否的標(biāo)準(zhǔn)，我們的算法解決問題如果在誤差允許的范圍內(nèi)，則算法是有效的，否
則就是一個(gè)無(wú)效的問題求解。另外就是數(shù)值逼近，它研究關(guān)于如何使用容易數(shù)值計(jì)算的
函數(shù)來(lái)近似地代替任意函數(shù)的方法與過程。感覺應(yīng)用比較廣的不得不提切雪比夫逼近和
平方逼近了。筆者曾經(jīng)嘗試過的就是通過最佳平方逼近進(jìn)行曲線的擬合，開發(fā)工具可以
選擇VC++或者M(jìn)atlab。插值函數(shù)是另外一個(gè)非常重要的方面，現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)程序控制加
工機(jī)械零件，根據(jù)設(shè)計(jì)可給出零件外形曲線的某些型值點(diǎn)，加工時(shí)走刀方向及步數(shù)，就
要通過插值函數(shù)計(jì)算零件外形曲線及其他點(diǎn)函數(shù)值。至于方程求根、線性方程組求解，
一般的計(jì)算性程序設(shè)計(jì)問題都會(huì)多多少少的涉及一些，我們這里就不贅述了。關(guān)于數(shù)值
分析學(xué)的一個(gè)學(xué)習(xí)誤區(qū)就是僅僅學(xué)習(xí)理論知識(shí)，而很難和程序設(shè)計(jì)結(jié)合起來(lái)，實(shí)際上通
過上面的論述，大家已經(jīng)能夠初步地認(rèn)識(shí)到這個(gè)學(xué)科是應(yīng)當(dāng)與程序設(shè)計(jì)緊密聯(lián)系才能夠
體現(xiàn)它的重要性的。關(guān)于理論的學(xué)習(xí)，推薦華中科技大學(xué)李慶揚(yáng)老師的《數(shù)值分析》。
然而理論學(xué)習(xí)畢竟是個(gè)過程，最終的目標(biāo)還是要用于程序設(shè)計(jì)解決實(shí)際的計(jì)算問題，向
這個(gè)方向努力的書籍還是挺多的，這里推薦大家高等教育出版社（CHEP）和施普林格出
版社(Springer)聯(lián)合出版的《計(jì)算方法（Computational Methods）》,華中理工大學(xué)數(shù)
學(xué)系寫的（現(xiàn)華中科技大學(xué)），這方面華科大做的工作在國(guó)內(nèi)應(yīng)算是比較多的，而個(gè)人
認(rèn)為以這本最好，至少程序設(shè)計(jì)方面涉及了：任意數(shù)學(xué)函數(shù)的求值，方程求根，線性方
程組求解，插值方法，數(shù)值積分，場(chǎng)微分方程數(shù)值求解。
數(shù)學(xué)分析學(xué)很多學(xué)校在近些年已經(jīng)替代高等數(shù)學(xué)被安排到了本科教學(xué)當(dāng)中。原因是
很簡(jiǎn)單的，高等數(shù)學(xué)雖然也是非常有用的工程數(shù)學(xué)，介紹的問題方法也被廣泛的應(yīng)用，
但是正如大家所知道的，高等數(shù)學(xué)不太嚴(yán)格的說(shuō)，基本上就是偏向于計(jì)算的數(shù)學(xué)分析，
當(dāng)然省去了數(shù)學(xué)分析非常看重的推理證明，然而我們認(rèn)為這一部分正是我們最需要的。
這對(duì)我們培養(yǎng)良好的分析能力和推理能力極有幫助。我的軟件工程學(xué)導(dǎo)師北工大數(shù)理學(xué)
院的王儀華先生就曾經(jīng)教導(dǎo)過我們，數(shù)學(xué)系的學(xué)生到軟件企業(yè)中大多作軟件設(shè)計(jì)與分析
工作，而計(jì)算機(jī)系的學(xué)生做初級(jí)程序員的居多，原因就在于數(shù)學(xué)系的學(xué)生分析推理能力
，從所受訓(xùn)練的角度上要遠(yuǎn)遠(yuǎn)在我們平均水平之上。談到這方面的書籍，公認(rèn)北京大學(xué)
張筑生老師的《數(shù)學(xué)分析新講》為最好。張筑生教授一生寫的書并不太多，但是只要是
寫出來(lái)的每一本都是本領(lǐng)域內(nèi)的杰作，這本當(dāng)然更顯突出些。這種老書看起來(lái)不僅是在
傳授你知識(shí)，而是在讓你體會(huì)科學(xué)的方法與對(duì)事物的認(rèn)識(shí)方法。現(xiàn)在多用的似乎是復(fù)旦
大學(xué)的《數(shù)學(xué)分析》，高等教育出版社的，也是很好的教材。但關(guān)于如何去利用從中獲
得的推理證明能力，我們?cè)谟龅骄唧w問題的時(shí)候，可以在今后的文章詳細(xì)討論。
線性代數(shù)是我們?cè)诠た票究茖W(xué)習(xí)的必修課程，似乎大家找不到到底這個(gè)有什么用，
其實(shí)很明顯，線性代數(shù)作為工程數(shù)學(xué)的重要分支，在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的研究有相當(dāng)廣泛的應(yīng)
用。最為突出的可以談?wù)剶?shù)組和矩陣的相關(guān)知識(shí)：
①←—④
↑\ │
↓ \,↓
②←—③
令aij=1,表示從i市到j(luò)市有1條航線
令aij=0，表示從i市到j(luò)市沒有單項(xiàng)航線
則圖可用矩陣表示：
┌ ┐
│0 1 1 0 │
│1 0 0 0 │
A= (aij) = │0 1 0 0 │
│1 0 0 0 │
│1 0 1 0 │
└ ┘
我們可以采用程序設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)這個(gè)問題，如果輔以權(quán)值，可以轉(zhuǎn)化為最短路徑的問題
，再?gòu)?fù)雜化一點(diǎn)還可以轉(zhuǎn)化為具有障礙物的最短路徑問題，這就會(huì)涉及一些如Dijkstra
算法等高級(jí)程序設(shè)計(jì)算法話題。這些都依靠著數(shù)組、矩陣的基本知識(shí)。數(shù)組的應(yīng)用主要
在圖像處理以及一些程序設(shè)計(jì)理論。矩陣的運(yùn)算領(lǐng)域極為廣泛，比如在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)當(dāng)
中曲線曲面的構(gòu)造，圖像的幾何變換，包括平移、鏡像、轉(zhuǎn)置、縮放。在高級(jí)圖像問題
更有廣泛應(yīng)用，例如在圖像增強(qiáng)技術(shù)，投影技術(shù)中的應(yīng)用。
計(jì)算幾何學(xué)研究的是幾何外形信息的計(jì)算機(jī)表示。包括幾何查找、多邊形、凸包問
題、交與并、幾何體的排列、幾何拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、隨機(jī)幾何算法與并行幾何算法。它構(gòu)
成了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的基本算法，是動(dòng)畫設(shè)計(jì)，制造業(yè)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。如果從
事這方面的深入研究，可以參考中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)周培德先生的《計(jì)算幾何——算法分析
與設(shè)計(jì)》。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是這個(gè)領(lǐng)域最后一門關(guān)鍵的課程。概率論部分提供了很多問題
的基本知識(shí)描述，比如模式識(shí)別當(dāng)中的概率計(jì)算，參數(shù)估計(jì)等等。數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分有很多
非常經(jīng)典的內(nèi)容，比如偽隨機(jī)數(shù)、蒙特卡羅法、回歸分析、排隊(duì)論、假設(shè)檢驗(yàn)、以及經(jīng)
典的馬科夫過程。尤其是隨機(jī)過程部分，是分析網(wǎng)絡(luò)和分布式系統(tǒng)，設(shè)計(jì)隨機(jī)化算法和
協(xié)議非常重要的基礎(chǔ)。
二]離散數(shù)學(xué)（Discrete Mathematics）
隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的出現(xiàn)與廣泛應(yīng)用,人們發(fā)現(xiàn)利用計(jì)算機(jī)處理的數(shù)學(xué)對(duì)象與傳統(tǒng)的分析
有明顯的區(qū)別：分析研究的問題解決方案是連續(xù)的，因而微分，積分成為基本的運(yùn)算；
而這些分支研究的對(duì)象是離散的，因而很少有機(jī)會(huì)進(jìn)行此類的計(jì)算。人們從而稱這些分
支為"離散數(shù)學(xué)"。離散數(shù)學(xué)經(jīng)過幾十年發(fā)展，方向上基本上穩(wěn)定下來(lái)。當(dāng)然不同時(shí)期還
有很多新內(nèi)容補(bǔ)充進(jìn)來(lái)。就學(xué)科方向而言，一般認(rèn)為，離散數(shù)學(xué)包含：集合論、邏輯學(xué)
、代數(shù)學(xué)、圖論、組合學(xué)。
邏輯學(xué)（Logics）我們主要指數(shù)理邏輯，形式邏輯在推理問題中也有比較廣泛的應(yīng)
用。（比如我們學(xué)校還為此專門開設(shè)了選修課程）這方面的參考推薦中科院軟件所陸鐘
萬(wàn)教授的《面向計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)理邏輯》。現(xiàn)在可以找到陸鐘萬(wàn)教授的講課錄像，http
://www.cas.ac.cn/html/Dir/2001/11/06/3391.htm。總的來(lái)說(shuō)，學(xué)集合/邏輯一定要站
在理解的高度上去思考相關(guān)的問題。集合論（Set Theory）和邏輯學(xué)構(gòu)成了計(jì)算機(jī)科學(xué)
最重要的數(shù)學(xué)問題描述方式。
代數(shù)學(xué)（Algebra）包括：抽象代數(shù)、布爾代數(shù)、關(guān)系代數(shù)、計(jì)算機(jī)代數(shù)
（1）抽象代數(shù)（Abstract Algebra）研究的主要內(nèi)容涵蓋群、環(huán)、域。抽象代表的是
將研究對(duì)象的本質(zhì)提煉出來(lái)，加以高度概括，來(lái)描述其形象。“歐式環(huán)”就是在將整數(shù)
和多項(xiàng)式的一些相同的特點(diǎn)加以綜合提煉引入的。抽象代數(shù)提供的一些結(jié)論為我們研究
一些具體問題時(shí)所需使用的一些性質(zhì)提供了依據(jù)。推薦一個(gè)最簡(jiǎn)單的，最容易學(xué)的材料
：http://www.math.miami.edu/~ec/book/這本《Introduction to Linear and Abstra
ct Algebra》非常通俗易懂，而且把抽象代數(shù)和線性代數(shù)結(jié)合起來(lái)，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)非常
理想。
（2）布爾代數(shù)（Boolean Algebra）是代數(shù)系統(tǒng)中最為基礎(chǔ)的部分，也是最核心的基本
理論。主要包括了集合的基本概念與運(yùn)算，自對(duì)偶的公理系統(tǒng)。是數(shù)據(jù)表示的重要基礎(chǔ)
。相信大家都很清楚它的重要性。
（3）關(guān)系代數(shù)（Relational Algebra）應(yīng)用也是極為廣泛，比如數(shù)據(jù)庫(kù)技術(shù)中的關(guān)系數(shù)
據(jù)庫(kù)的構(gòu)建就要用到關(guān)系代數(shù)的相關(guān)理論。
（4）計(jì)算機(jī)代數(shù)（Computer Algebra）大家可能比較生疏，其實(shí)它研究的主要內(nèi)容即是
圍繞符號(hào)計(jì)算與公式演算展開的。是研究代數(shù)算法的設(shè)計(jì)、分析、實(shí)現(xiàn)及其應(yīng)用的學(xué)科
。主要求解非數(shù)值計(jì)算，輸入輸出用代數(shù)符號(hào)表示。計(jì)算機(jī)代數(shù)的開發(fā)語(yǔ)言主要有：AL
TRAN,CAMAL,FORMAL。主要應(yīng)用于：射影幾何，工業(yè)設(shè)計(jì)，機(jī)器人手臂運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)。
圖論（Graph Theory）主要研究的內(nèi)容包括：圖的基本概念、基本運(yùn)算、矩陣表示
，路徑、回路和連通性，二部圖、平面圖，樹，以及網(wǎng)絡(luò)流。圖論的應(yīng)用領(lǐng)域太過廣泛
，僅舉兩個(gè)例子：比如在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D的設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)描述中，就必須用到相當(dāng)多的
圖的結(jié)構(gòu)和基本概念。關(guān)于網(wǎng)絡(luò)流更是在電流網(wǎng)絡(luò)與信息網(wǎng)絡(luò)的流量計(jì)算當(dāng)中廣泛應(yīng)用
。樹的相關(guān)應(yīng)用則無(wú)須多言了。
組合學(xué)（Combinatorics）有兩部分單獨(dú)的研究領(lǐng)域：組合數(shù)學(xué)與組合算法。組合學(xué)
問題的算法，計(jì)算對(duì)象是離散的、有限的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從方法學(xué)的角度，組合算法包括算
法設(shè)計(jì)和算法分析兩個(gè)方面。關(guān)于算法設(shè)計(jì)，歷史上已經(jīng)總結(jié)出了若干帶有普遍意義的
方法和技術(shù)，包括動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯法、分支限界法、分治法、貪心法等。應(yīng)用是相當(dāng)廣
泛的,比如旅行商問題、圖著色問題、整數(shù)規(guī)劃問題。關(guān)于組合數(shù)學(xué)，主要研究的內(nèi)容有
：鴿巢原理、排列與組合、二項(xiàng)式系數(shù)容斥原理及應(yīng)用，遞推關(guān)系和生成函數(shù)、特殊計(jì)
數(shù)序列、二分圖中的匹配、組合設(shè)計(jì)。推薦Richard A.Brualdi的《Introductory Comb
inatorics》作為參考。
[三]數(shù)論（Number Theory）
數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來(lái)更名為數(shù)論。它包括
以下幾個(gè)分支：
初等數(shù)論是不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等方法來(lái)研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)論分
支。比如在數(shù)論界非常著名的“中國(guó)剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。對(duì)于
程序設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)這部分也是相當(dāng)有價(jià)值的，如果你對(duì)中國(guó)剩余定理比較清楚，利用它，你
可以將一種表達(dá)式經(jīng)過簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換后得出另一種表達(dá)式，從而完成對(duì)問題分析視角的轉(zhuǎn)
換。
解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來(lái)解決數(shù)論問題的分支。是解決數(shù)論中比較深刻問
題的強(qiáng)有力的工具。我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在嘗試解決“哥德巴赫猜想”問題中使用的就是
解析數(shù)論的方法。以素?cái)?shù)定理為基礎(chǔ)解決計(jì)算素?cái)?shù)的問題及其算法實(shí)現(xiàn)應(yīng)是我們多多關(guān)
注的。
代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，建立了素整數(shù)、可除性等概念
。程序設(shè)計(jì)方面涉及的比較多的是代數(shù)曲線的研究，比如說(shuō)橢圓曲線理論的實(shí)現(xiàn)。
幾何數(shù)論研究的基本對(duì)象是“空間格網(wǎng)”。空間格網(wǎng)就是指在給定的直角坐標(biāo)系上
，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對(duì)計(jì)算
幾何學(xué)的研究有著重大的意義。幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基
礎(chǔ)才能深入研究。
總的說(shuō)來(lái)，由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法
、代數(shù)編碼、組合學(xué)理論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；現(xiàn)在有
些國(guó)家應(yīng)用“孫子定理”來(lái)進(jìn)行測(cè)距，用原根和指數(shù)來(lái)計(jì)算離散傅里葉變換等。如果你
曾經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過數(shù)論算法，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)分支學(xué)科研究的一些基本問題對(duì)程序設(shè)計(jì)是
相當(dāng)有用的，比如說(shuō)素?cái)?shù)問題、素性測(cè)試、因子分解、最大公約數(shù)、模取冪運(yùn)算、求解
同余線性方程。其中的很多問題都是程序設(shè)計(jì)的基本問題。但這些問題都不能小視，舉
個(gè)例子來(lái)說(shuō)吧，關(guān)于求最大公約數(shù)的程序，筆者曾經(jīng)嘗試的就可以采用循環(huán)語(yǔ)句結(jié)構(gòu)和
遞歸結(jié)構(gòu)。另外，以大素?cái)?shù)為基礎(chǔ)的密碼體系的建立是近些年數(shù)論算法廣泛應(yīng)用的一個(gè)
重要的原因。原理是大素?cái)?shù)的乘積重新分解因數(shù)十分困難。RSA公鑰加密系統(tǒng)的構(gòu)建就是
基于這個(gè)原理的（三位發(fā)明人因此也獲得了2002年美國(guó)計(jì)算機(jī)協(xié)會(huì)頒發(fā)的圖靈獎(jiǎng)）。
四]計(jì)算理論（Theory of Computation）
涉及的內(nèi)容是科學(xué)計(jì)算非常重要的一部分分支，也是大家研究相當(dāng)多的一部分。主
要包括：算法學(xué)，計(jì)算復(fù)雜性，程序理論。
算法學(xué)（Algorithms）在計(jì)算機(jī)科學(xué)理論中有著舉足輕重的地位。是解決很多數(shù)值
型，非數(shù)值型問題的基礎(chǔ)。記得一次學(xué)校接收招標(biāo)項(xiàng)目，很多中小型軟件廠商都無(wú)法完
成一個(gè)軟件的功能模塊，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)他們對(duì)一個(gè)具體問題的算法不能做出正確的抽象
，最后由我們學(xué)校數(shù)理學(xué)院的一支軟件團(tuán)隊(duì)承擔(dān)了這項(xiàng)任務(wù)，他們的最終報(bào)告體現(xiàn)出來(lái)
，問題的解決策略只有通過人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的反向傳播算法。可見在比較有深度的程序
設(shè)計(jì)中，算法的重要性更為突出。學(xué)習(xí)算法學(xué)要有一個(gè)長(zhǎng)期的理論和實(shí)踐的過程。遇到
一個(gè)具體算法問題時(shí),首先要通過自己描述的數(shù)學(xué)抽象步驟，看看自己以前有沒有處理過
這種問題。如果沒有，很可能這個(gè)問題是多個(gè)算法的綜合，或者是需要我們自己去構(gòu)造
算法。這就需要我們有扎實(shí)的算法功底，為了打好這個(gè)功底，推薦兩套圣經(jīng)級(jí)的書籍首
先是Thomas H.Cormen等著的《Introduction to Algorithms》。對(duì)算法學(xué)習(xí)而言，這一
本內(nèi)容相當(dāng)?shù)娜妗Ｔ偕钜稽c(diǎn)的就是大家作為常識(shí)都知道的《The Art of Computer Pr
ogramming》，目前已經(jīng)出版3冊(cè)。兩本書的價(jià)值大家應(yīng)當(dāng)都是清楚的。
計(jì)算復(fù)雜性研究的內(nèi)容很廣，其中包括NP完全性理論，可計(jì)算性理論，自動(dòng)機(jī)理論
，形式語(yǔ)言理論（包括廣泛應(yīng)用于編譯原理領(lǐng)域的文法，還包括Petri網(wǎng)論的相關(guān)內(nèi)容）
以及大家熟知的復(fù)雜性度量。時(shí)間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度的計(jì)算是度量算法非常重要的參
數(shù)，也是我們衡量程序優(yōu)劣程度的重要依據(jù)。
程序理論（Theory of programs）包含了形式語(yǔ)義學(xué)，程序驗(yàn)證和并發(fā)模型的研究
。關(guān)于程序驗(yàn)證學(xué)習(xí)的重要性大家都很清楚，學(xué)習(xí)的方法自然也是多多結(jié)合具體的問題
去分析。關(guān)于并發(fā)模型，主要研究的就是進(jìn)程代數(shù)，通信系統(tǒng)演算，通信順序進(jìn)程。這
部分是研究操作系統(tǒng)理論與實(shí)現(xiàn)的重要基礎(chǔ)。
按照計(jì)算機(jī)科學(xué)數(shù)學(xué)理論的架構(gòu)來(lái)談了各方面的內(nèi)容和一些應(yīng)用，下面我們?cè)賳为?dú)
來(lái)看一些上面沒有涉及到的學(xué)科與這些理論的具體結(jié)合情況：
設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用剛才談的很多，我只再說(shuō)說(shuō)數(shù)據(jù)庫(kù)原理與技術(shù)，這方面用到的重要
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要包括：集合論，二元關(guān)系及其推理（尤其是研究關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)），研究數(shù)據(jù)
分布與數(shù)據(jù)庫(kù)結(jié)構(gòu)又涉及相當(dāng)多的圖論知識(shí)。
計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展有賴于硬件技術(shù)和軟件技術(shù)的綜合。在設(shè)計(jì)硬件的時(shí)候應(yīng)當(dāng)充分
融入軟件的設(shè)計(jì)思想，才能使硬件在程序的指揮下發(fā)揮極致的性能。在軟件設(shè)計(jì)的時(shí)候
也要充分考慮硬件的特點(diǎn)，才能沖破軟件效率的瓶頸。達(dá)到硬件和軟件設(shè)計(jì)的統(tǒng)一，嚴(yán)
格的說(shuō)這并不輕松，一般的程序設(shè)計(jì)者很難將這樣的思想貫穿在其程序設(shè)計(jì)當(dāng)中。僅舉
個(gè)簡(jiǎn)單的例子：我們?cè)趯懸恍〤語(yǔ)言的程序，必要的時(shí)候都會(huì)采取內(nèi)嵌一段匯編指令，這
就是比較充分地考慮了硬件的工作情況，從而能夠提高程序運(yùn)行的效率。所以我們也有
必要了解一些硬件的基礎(chǔ)知識(shí)。關(guān)于學(xué)習(xí)硬件的時(shí)候常會(huì)用到的基本數(shù)學(xué)思想也是相當(dāng)
多的，拿電路基礎(chǔ)與模擬電路來(lái)說(shuō)，我們就經(jīng)常要利用多元函數(shù)，不等式計(jì)算進(jìn)行電流
電壓的計(jì)算。能量的計(jì)算還常常涉及微積分學(xué)的很多計(jì)算。在數(shù)字電子技術(shù)當(dāng)中（有時(shí)
也稱數(shù)字邏輯學(xué)）數(shù)理邏輯，尤其是邏輯演算部分運(yùn)用相當(dāng)廣泛，數(shù)制轉(zhuǎn)換更是非常重
要的基礎(chǔ)，各種數(shù)字電路參數(shù)的計(jì)算則是多元函數(shù)，不等式的計(jì)算解決的問題。
從事計(jì)算機(jī)硬件程序設(shè)計(jì)的程序員，則不可回避的就是數(shù)字信號(hào)處理。這門科學(xué)所
用到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要有：三角函數(shù)、微積分、高次方程求解、數(shù)值逼近，傅里葉變換。
在濾波器的設(shè)計(jì)當(dāng)中還會(huì)用到矩陣運(yùn)算。筆者曾經(jīng)研究過一個(gè)VC++環(huán)境下開發(fā)的濾波器
的模擬軟件，就是利用萊文遜-杜賓遞推算法，在較大規(guī)模的矩陣運(yùn)算基礎(chǔ)上進(jìn)行的。當(dāng)
然，開發(fā)的環(huán)境不一定是這個(gè)，你也可以選擇MATLAB或者純C語(yǔ)言編譯器。如果我們不了
解相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，不要說(shuō)程序設(shè)計(jì)，就算是建立運(yùn)算模型都是相當(dāng)困難的。
一些周圍的同學(xué)和一些在職的程序員，大家經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，普遍都覺得數(shù)學(xué)
對(duì)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)和研究計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)等問題來(lái)說(shuō)非常重要，但是又苦于無(wú)從下手。上面
比較全面地談及了計(jì)算機(jī)科學(xué)數(shù)學(xué)理論的相關(guān)內(nèi)容。需要特別指明的是，我們研究問題
的精力是有限的，如果您是在校的計(jì)算機(jī)系學(xué)生，則可以對(duì)上面的方方面面都有所涉及
，以嘗試計(jì)算數(shù)學(xué)這個(gè)強(qiáng)大的理論工具。為今后的工作奠定一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但是如果
您研究的是比較具體的工作，我們并不推薦您研究所有的內(nèi)容，最好的方法就是對(duì)上面
的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都有些了解，然后遇到具體工作，需要哪部分內(nèi)容，再進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)與研
究。這樣針對(duì)性比較強(qiáng)的學(xué)習(xí)效果是會(huì)比較顯著的。對(duì)于上面推薦的一些參考材料，除
非你要花相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間來(lái)提高你的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)理論。否則也沒必要每一頁(yè)，每一本
都字字精讀，還是那個(gè)原則，按需索取其中的內(nèi)容。學(xué)習(xí)的方法描述起來(lái)就一句話：結(jié)
合具體的問題，深入的理解數(shù)學(xué)理論知識(shí)，將理論程序化，嘗試用程序設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)理論原
理。達(dá)到這樣的程度，問題基本上都可以解決的
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