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計算機自從其誕生之日起，它的主要任務就是進行各種各樣的科學計算。文檔處理，
數(shù)據(jù)處理，圖像處理，硬件設計，軟件設計等等，都可以抽象為兩大類：數(shù)值計算與非
數(shù)值計算。作為研究計算機科學技術的人員，我們大都對計算數(shù)學對整個計算機科學的
重要性有一些了解。但是數(shù)學對我們這些專業(yè)的研究和應用人員究竟有多大的用處呢？
我們先來看一下下面的一個流程圖：
─→數(shù)學模型─┬→數(shù)值計算方法──┐
│ ├→程序設計
└→非數(shù)值計算方法─┘ │
↓
編譯程序，求計算結(jié)果
上圖揭示了利用計算機解決科學計算的步驟，實際問題轉(zhuǎn)換為程序，要經(jīng)過一個對
問題抽象的過程，建立起完善的數(shù)學模型，只有這樣，我們才能建立一個設計良好的程
序。從中我們不難看出計算數(shù)學理論對用計算機解決問題的重要性。下面我們將逐步展
開對這個問題的討論。
計算機科學的數(shù)學理論體系是相當龐雜的，筆者不敢隨意劃分，參考計算機科學理
論的學科體系，我們談及的問題主要涉及：數(shù)值計算，離散數(shù)學，數(shù)論，計算理論四大
方向。
[一]數(shù)值計算（Numerical Computation）
主要包括數(shù)值分析學、數(shù)學分析學、線性代數(shù)、計算幾何學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計學。
數(shù)值分析學又常被稱為計算方法學，是計算理論數(shù)學非常重要的一個分支，主要研
究數(shù)值型計算。研究的內(nèi)容中首先要談談數(shù)值計算的誤差分析，誤差是衡量我們的計算
有效與否的標準，我們的算法解決問題如果在誤差允許的范圍內(nèi)，則算法是有效的，否
則就是一個無效的問題求解。另外就是數(shù)值逼近，它研究關于如何使用容易數(shù)值計算的
函數(shù)來近似地代替任意函數(shù)的方法與過程。感覺應用比較廣的不得不提切雪比夫逼近和
平方逼近了。筆者曾經(jīng)嘗試過的就是通過最佳平方逼近進行曲線的擬合，開發(fā)工具可以
選擇VC++或者Matlab。插值函數(shù)是另外一個非常重要的方面，現(xiàn)代的計算機程序控制加
工機械零件，根據(jù)設計可給出零件外形曲線的某些型值點，加工時走刀方向及步數(shù)，就
要通過插值函數(shù)計算零件外形曲線及其他點函數(shù)值。至于方程求根、線性方程組求解，
一般的計算性程序設計問題都會多多少少的涉及一些，我們這里就不贅述了。關于數(shù)值
分析學的一個學習誤區(qū)就是僅僅學習理論知識，而很難和程序設計結(jié)合起來，實際上通
過上面的論述，大家已經(jīng)能夠初步地認識到這個學科是應當與程序設計緊密聯(lián)系才能夠
體現(xiàn)它的重要性的。關于理論的學習，推薦華中科技大學李慶揚老師的《數(shù)值分析》。
然而理論學習畢竟是個過程，最終的目標還是要用于程序設計解決實際的計算問題，向
這個方向努力的書籍還是挺多的，這里推薦大家高等教育出版社（CHEP）和施普林格出
版社(Springer)聯(lián)合出版的《計算方法（Computational Methods）》,華中理工大學數(shù)
學系寫的（現(xiàn)華中科技大學），這方面華科大做的工作在國內(nèi)應算是比較多的，而個人
認為以這本最好，至少程序設計方面涉及了：任意數(shù)學函數(shù)的求值，方程求根，線性方
程組求解，插值方法，數(shù)值積分，場微分方程數(shù)值求解。
數(shù)學分析學很多學校在近些年已經(jīng)替代高等數(shù)學被安排到了本科教學當中。原因是
很簡單的，高等數(shù)學雖然也是非常有用的工程數(shù)學，介紹的問題方法也被廣泛的應用，
但是正如大家所知道的，高等數(shù)學不太嚴格的說，基本上就是偏向于計算的數(shù)學分析，
當然省去了數(shù)學分析非常看重的推理證明，然而我們認為這一部分正是我們最需要的。
這對我們培養(yǎng)良好的分析能力和推理能力極有幫助。我的軟件工程學導師北工大數(shù)理學
院的王儀華先生就曾經(jīng)教導過我們，數(shù)學系的學生到軟件企業(yè)中大多作軟件設計與分析
工作，而計算機系的學生做初級程序員的居多，原因就在于數(shù)學系的學生分析推理能力
，從所受訓練的角度上要遠遠在我們平均水平之上。談到這方面的書籍，公認北京大學
張筑生老師的《數(shù)學分析新講》為最好。張筑生教授一生寫的書并不太多，但是只要是
寫出來的每一本都是本領域內(nèi)的杰作，這本當然更顯突出些。這種老書看起來不僅是在
傳授你知識，而是在讓你體會科學的方法與對事物的認識方法。現(xiàn)在多用的似乎是復旦
大學的《數(shù)學分析》，高等教育出版社的，也是很好的教材。但關于如何去利用從中獲
得的推理證明能力，我們在遇到具體問題的時候，可以在今后的文章詳細討論。
線性代數(shù)是我們在工科本科學習的必修課程，似乎大家找不到到底這個有什么用，
其實很明顯，線性代數(shù)作為工程數(shù)學的重要分支，在計算機領域的研究有相當廣泛的應
用。最為突出的可以談談數(shù)組和矩陣的相關知識：
①←—④
↑\ │
↓ \,↓
②←—③
令aij=1,表示從i市到j市有1條航線
令aij=0，表示從i市到j市沒有單項航線
則圖可用矩陣表示：
┌ ┐
│0 1 1 0 │
│1 0 0 0 │
A= (aij) = │0 1 0 0 │
│1 0 0 0 │
│1 0 1 0 │
└ ┘
我們可以采用程序設計實現(xiàn)這個問題，如果輔以權值，可以轉(zhuǎn)化為最短路徑的問題
，再復雜化一點還可以轉(zhuǎn)化為具有障礙物的最短路徑問題，這就會涉及一些如Dijkstra
算法等高級程序設計算法話題。這些都依靠著數(shù)組、矩陣的基本知識。數(shù)組的應用主要
在圖像處理以及一些程序設計理論。矩陣的運算領域極為廣泛，比如在計算機圖形學當
中曲線曲面的構造，圖像的幾何變換，包括平移、鏡像、轉(zhuǎn)置、縮放。在高級圖像問題
更有廣泛應用，例如在圖像增強技術，投影技術中的應用。
計算幾何學研究的是幾何外形信息的計算機表示。包括幾何查找、多邊形、凸包問
題、交與并、幾何體的排列、幾何拓撲網(wǎng)絡設計、隨機幾何算法與并行幾何算法。它構
成了計算機圖形學中的基本算法，是動畫設計，制造業(yè)計算機輔助設計的基礎。如果從
事這方面的深入研究，可以參考中國計算機學會周培德先生的《計算幾何——算法分析
與設計》。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計學是這個領域最后一門關鍵的課程。概率論部分提供了很多問題
的基本知識描述，比如模式識別當中的概率計算，參數(shù)估計等等。數(shù)理統(tǒng)計部分有很多
非常經(jīng)典的內(nèi)容，比如偽隨機數(shù)、蒙特卡羅法、回歸分析、排隊論、假設檢驗、以及經(jīng)
典的馬科夫過程。尤其是隨機過程部分，是分析網(wǎng)絡和分布式系統(tǒng)，設計隨機化算法和
協(xié)議非常重要的基礎。
二]離散數(shù)學（Discrete Mathematics）
隨著計算機科學的出現(xiàn)與廣泛應用,人們發(fā)現(xiàn)利用計算機處理的數(shù)學對象與傳統(tǒng)的分析
有明顯的區(qū)別：分析研究的問題解決方案是連續(xù)的，因而微分，積分成為基本的運算；
而這些分支研究的對象是離散的，因而很少有機會進行此類的計算。人們從而稱這些分
支為"離散數(shù)學"。離散數(shù)學經(jīng)過幾十年發(fā)展，方向上基本上穩(wěn)定下來。當然不同時期還
有很多新內(nèi)容補充進來。就學科方向而言，一般認為，離散數(shù)學包含：集合論、邏輯學
、代數(shù)學、圖論、組合學。
邏輯學（Logics）我們主要指數(shù)理邏輯，形式邏輯在推理問題中也有比較廣泛的應
用。（比如我們學校還為此專門開設了選修課程）這方面的參考推薦中科院軟件所陸鐘
萬教授的《面向計算機科學的數(shù)理邏輯》。現(xiàn)在可以找到陸鐘萬教授的講課錄像，http
://www.cas.ac.cn/html/Dir/2001/11/06/3391.htm。總的來說，學集合/邏輯一定要站
在理解的高度上去思考相關的問題。集合論（Set Theory）和邏輯學構成了計算機科學
最重要的數(shù)學問題描述方式。
代數(shù)學（Algebra）包括：抽象代數(shù)、布爾代數(shù)、關系代數(shù)、計算機代數(shù)
（1）抽象代數(shù)（Abstract Algebra）研究的主要內(nèi)容涵蓋群、環(huán)、域。抽象代表的是
將研究對象的本質(zhì)提煉出來，加以高度概括，來描述其形象。“歐式環(huán)”就是在將整數(shù)
和多項式的一些相同的特點加以綜合提煉引入的。抽象代數(shù)提供的一些結(jié)論為我們研究
一些具體問題時所需使用的一些性質(zhì)提供了依據(jù)。推薦一個最簡單的，最容易學的材料
：http://www.math.miami.edu/~ec/book/這本《Introduction to Linear and Abstra
ct Algebra》非常通俗易懂，而且把抽象代數(shù)和線性代數(shù)結(jié)合起來，對初學者來說非常
理想。
（2）布爾代數(shù)（Boolean Algebra）是代數(shù)系統(tǒng)中最為基礎的部分，也是最核心的基本
理論。主要包括了集合的基本概念與運算，自對偶的公理系統(tǒng)。是數(shù)據(jù)表示的重要基礎
。相信大家都很清楚它的重要性。
（3）關系代數(shù)（Relational Algebra）應用也是極為廣泛，比如數(shù)據(jù)庫技術中的關系數(shù)
據(jù)庫的構建就要用到關系代數(shù)的相關理論。
（4）計算機代數(shù)（Computer Algebra）大家可能比較生疏，其實它研究的主要內(nèi)容即是
圍繞符號計算與公式演算展開的。是研究代數(shù)算法的設計、分析、實現(xiàn)及其應用的學科
。主要求解非數(shù)值計算，輸入輸出用代數(shù)符號表示。計算機代數(shù)的開發(fā)語言主要有：AL
TRAN,CAMAL,FORMAL。主要應用于：射影幾何，工業(yè)設計，機器人手臂運動設計。
圖論（Graph Theory）主要研究的內(nèi)容包括：圖的基本概念、基本運算、矩陣表示
，路徑、回路和連通性，二部圖、平面圖，樹，以及網(wǎng)絡流。圖論的應用領域太過廣泛
，僅舉兩個例子：比如在計算機網(wǎng)絡拓撲圖的設計與結(jié)構描述中，就必須用到相當多的
圖的結(jié)構和基本概念。關于網(wǎng)絡流更是在電流網(wǎng)絡與信息網(wǎng)絡的流量計算當中廣泛應用
。樹的相關應用則無須多言了。
組合學（Combinatorics）有兩部分單獨的研究領域：組合數(shù)學與組合算法。組合學
問題的算法，計算對象是離散的、有限的數(shù)學結(jié)構。從方法學的角度，組合算法包括算
法設計和算法分析兩個方面。關于算法設計，歷史上已經(jīng)總結(jié)出了若干帶有普遍意義的
方法和技術，包括動態(tài)規(guī)劃、回溯法、分支限界法、分治法、貪心法等。應用是相當廣
泛的,比如旅行商問題、圖著色問題、整數(shù)規(guī)劃問題。關于組合數(shù)學，主要研究的內(nèi)容有
：鴿巢原理、排列與組合、二項式系數(shù)容斥原理及應用，遞推關系和生成函數(shù)、特殊計
數(shù)序列、二分圖中的匹配、組合設計。推薦Richard A.Brualdi的《Introductory Comb
inatorics》作為參考。
[三]數(shù)論（Number Theory）
數(shù)論這門學科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來更名為數(shù)論。它包括
以下幾個分支：
初等數(shù)論是不求助于其他數(shù)學學科的幫助，只依靠初等方法來研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)論分
支。比如在數(shù)論界非常著名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。對于
程序設計來說這部分也是相當有價值的，如果你對中國剩余定理比較清楚，利用它，你
可以將一種表達式經(jīng)過簡單的轉(zhuǎn)換后得出另一種表達式，從而完成對問題分析視角的轉(zhuǎn)
換。
解析數(shù)論是使用數(shù)學分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。是解決數(shù)論中比較深刻問
題的強有力的工具。我國數(shù)學家陳景潤在嘗試解決“哥德巴赫猜想”問題中使用的就是
解析數(shù)論的方法。以素數(shù)定理為基礎解決計算素數(shù)的問題及其算法實現(xiàn)應是我們多多關
注的。
代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，建立了素整數(shù)、可除性等概念
。程序設計方面涉及的比較多的是代數(shù)曲線的研究，比如說橢圓曲線理論的實現(xiàn)。
幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。空間格網(wǎng)就是指在給定的直角坐標系上
，坐標全是整數(shù)的點，叫做整點；全部整點構成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對計算
幾何學的研究有著重大的意義。幾何數(shù)論涉及的問題比較復雜，必須具有相當?shù)臄?shù)學基
礎才能深入研究。
總的說來，由于近代計算機科學的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應用。比如在計算方法
、代數(shù)編碼、組合學理論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；現(xiàn)在有
些國家應用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數(shù)來計算離散傅里葉變換等。如果你
曾經(jīng)系統(tǒng)的學習過數(shù)論算法，你會發(fā)現(xiàn)這個分支學科研究的一些基本問題對程序設計是
相當有用的，比如說素數(shù)問題、素性測試、因子分解、最大公約數(shù)、模取冪運算、求解
同余線性方程。其中的很多問題都是程序設計的基本問題。但這些問題都不能小視，舉
個例子來說吧，關于求最大公約數(shù)的程序，筆者曾經(jīng)嘗試的就可以采用循環(huán)語句結(jié)構和
遞歸結(jié)構。另外，以大素數(shù)為基礎的密碼體系的建立是近些年數(shù)論算法廣泛應用的一個
重要的原因。原理是大素數(shù)的乘積重新分解因數(shù)十分困難。RSA公鑰加密系統(tǒng)的構建就是
基于這個原理的（三位發(fā)明人因此也獲得了2002年美國計算機協(xié)會頒發(fā)的圖靈獎）。
四]計算理論（Theory of Computation）
涉及的內(nèi)容是科學計算非常重要的一部分分支，也是大家研究相當多的一部分。主
要包括：算法學，計算復雜性，程序理論。
算法學（Algorithms）在計算機科學理論中有著舉足輕重的地位。是解決很多數(shù)值
型，非數(shù)值型問題的基礎。記得一次學校接收招標項目，很多中小型軟件廠商都無法完
成一個軟件的功能模塊，就是因為當時他們對一個具體問題的算法不能做出正確的抽象
，最后由我們學校數(shù)理學院的一支軟件團隊承擔了這項任務，他們的最終報告體現(xiàn)出來
，問題的解決策略只有通過人工神經(jīng)元網(wǎng)絡的反向傳播算法。可見在比較有深度的程序
設計中，算法的重要性更為突出。學習算法學要有一個長期的理論和實踐的過程。遇到
一個具體算法問題時,首先要通過自己描述的數(shù)學抽象步驟，看看自己以前有沒有處理過
這種問題。如果沒有，很可能這個問題是多個算法的綜合，或者是需要我們自己去構造
算法。這就需要我們有扎實的算法功底，為了打好這個功底，推薦兩套圣經(jīng)級的書籍首
先是Thomas H.Cormen等著的《Introduction to Algorithms》。對算法學習而言，這一
本內(nèi)容相當?shù)娜妗Ｔ偕钜稽c的就是大家作為常識都知道的《The Art of Computer Pr
ogramming》，目前已經(jīng)出版3冊。兩本書的價值大家應當都是清楚的。
計算復雜性研究的內(nèi)容很廣，其中包括NP完全性理論，可計算性理論，自動機理論
，形式語言理論（包括廣泛應用于編譯原理領域的文法，還包括Petri網(wǎng)論的相關內(nèi)容）
以及大家熟知的復雜性度量。時間復雜度、空間復雜度的計算是度量算法非常重要的參
數(shù)，也是我們衡量程序優(yōu)劣程度的重要依據(jù)。
程序理論（Theory of programs）包含了形式語義學，程序驗證和并發(fā)模型的研究
。關于程序驗證學習的重要性大家都很清楚，學習的方法自然也是多多結(jié)合具體的問題
去分析。關于并發(fā)模型，主要研究的就是進程代數(shù)，通信系統(tǒng)演算，通信順序進程。這
部分是研究操作系統(tǒng)理論與實現(xiàn)的重要基礎。
按照計算機科學數(shù)學理論的架構來談了各方面的內(nèi)容和一些應用，下面我們再單獨
來看一些上面沒有涉及到的學科與這些理論的具體結(jié)合情況：
設計方面的應用剛才談的很多，我只再說說數(shù)據(jù)庫原理與技術，這方面用到的重要
數(shù)學基礎主要包括：集合論，二元關系及其推理（尤其是研究關系數(shù)據(jù)庫），研究數(shù)據(jù)
分布與數(shù)據(jù)庫結(jié)構又涉及相當多的圖論知識。
計算機科學的發(fā)展有賴于硬件技術和軟件技術的綜合。在設計硬件的時候應當充分
融入軟件的設計思想，才能使硬件在程序的指揮下發(fā)揮極致的性能。在軟件設計的時候
也要充分考慮硬件的特點，才能沖破軟件效率的瓶頸。達到硬件和軟件設計的統(tǒng)一，嚴
格的說這并不輕松，一般的程序設計者很難將這樣的思想貫穿在其程序設計當中。僅舉
個簡單的例子：我們在寫一些C語言的程序，必要的時候都會采取內(nèi)嵌一段匯編指令，這
就是比較充分地考慮了硬件的工作情況，從而能夠提高程序運行的效率。所以我們也有
必要了解一些硬件的基礎知識。關于學習硬件的時候常會用到的基本數(shù)學思想也是相當
多的，拿電路基礎與模擬電路來說，我們就經(jīng)常要利用多元函數(shù)，不等式計算進行電流
電壓的計算。能量的計算還常常涉及微積分學的很多計算。在數(shù)字電子技術當中（有時
也稱數(shù)字邏輯學）數(shù)理邏輯，尤其是邏輯演算部分運用相當廣泛，數(shù)制轉(zhuǎn)換更是非常重
要的基礎，各種數(shù)字電路參數(shù)的計算則是多元函數(shù)，不等式的計算解決的問題。
從事計算機硬件程序設計的程序員，則不可回避的就是數(shù)字信號處理。這門科學所
用到的數(shù)學基礎主要有：三角函數(shù)、微積分、高次方程求解、數(shù)值逼近，傅里葉變換。
在濾波器的設計當中還會用到矩陣運算。筆者曾經(jīng)研究過一個VC++環(huán)境下開發(fā)的濾波器
的模擬軟件，就是利用萊文遜-杜賓遞推算法，在較大規(guī)模的矩陣運算基礎上進行的。當
然，開發(fā)的環(huán)境不一定是這個，你也可以選擇MATLAB或者純C語言編譯器。如果我們不了
解相關的數(shù)學基礎，不要說程序設計，就算是建立運算模型都是相當困難的。
一些周圍的同學和一些在職的程序員，大家經(jīng)過一段時間的學習，普遍都覺得數(shù)學
對學習計算機和研究計算機程序設計等問題來說非常重要，但是又苦于無從下手。上面
比較全面地談及了計算機科學數(shù)學理論的相關內(nèi)容。需要特別指明的是，我們研究問題
的精力是有限的，如果您是在校的計算機系學生，則可以對上面的方方面面都有所涉及
，以嘗試計算數(shù)學這個強大的理論工具。為今后的工作奠定一個堅實的基礎。但是如果
您研究的是比較具體的工作，我們并不推薦您研究所有的內(nèi)容，最好的方法就是對上面
的數(shù)學基礎都有些了解，然后遇到具體工作，需要哪部分內(nèi)容，再進行深入的學習與研
究。這樣針對性比較強的學習效果是會比較顯著的。對于上面推薦的一些參考材料，除
非你要花相當長的一段時間來提高你的計算機數(shù)學理論。否則也沒必要每一頁，每一本
都字字精讀，還是那個原則，按需索取其中的內(nèi)容。學習的方法描述起來就一句話：結(jié)
合具體的問題，深入的理解數(shù)學理論知識，將理論程序化，嘗試用程序設計實現(xiàn)理論原
理。達到這樣的程度，問題基本上都可以解決的
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