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cuigang — Tue, 01 Jul 2008 16:08:00 GMT

2.36

(define s (list (list 1 2 3)(list 4 5 6)(list 7 8 9)(list 10 11 12)))
(define (accumulate-n op init seqs)
  (if (null? (car seqs)) null
      (cons (accumulate op init (map# (lambda(x) (car x)) seqs))
            (accumulate-n op init (map# (lambda(x) (cdr x)) seqs)))))

2.38

;> (fold-right / 1 (list 1 2 3))
;3/2
;> (fold-left / 1 (list 1 2 3))
;1/6
;> (fold-right list null (list 1 2 3))
;(1 (2 (3 ())))
;> (fold-left list null (list 1 2 3))
;(((() 1) 2) 3)

; (fold-right op i (a b c)) = (op a (op b (op c i)))
; (fold-left op i (a b c)) = (op (op (op i a) b) c)

�?fold-right �?fold-left 得到相同的结果，昄��需�?op 满��交换律�?br>
2.39

(define (reverse-1 seqs)
(fold-right (lambda(x y) (append y (list x))) null seqs))
(define (reverse-2 seqs)
(fold-left (lambda(x y) (cons y x)) null seqs))

cuigang 2008-07-02 00:08 发表评论

cuigang — Mon, 23 Jun 2008 16:21:00 GMT

2.33

(define (map+ p seque)
  (accumulate (lambda(x y) (cons (p x) y)) null seque))

(define (append seq1 seq2)
  (accumulate cons seq2 seq1))

(define (length seque)
  (accumulate (lambda(x y) (+ 1 y)) 0 seque))

2.34

(define (horner-eval x coeff-seque)
  (accumulate (lambda(this-coeff higher-coeff) 
                (+ this-coeff (* x higher-coeff)))
              0 coeff-seque))

2.35

(define (count-leaves+ t)
  (accumulate + 0 (map (lambda(x)
                         (if (pair? x) (count-leaves+ x) 1))
                       t)))

cuigang 2008-06-24 00:21 发表评论

cuigang — Tue, 17 Jun 2008 15:48:00 GMT

2.27

(define (deep-reverse lst)
  (define (iter lst-o lst-d)
    (cond ((null? lst-o) 
           lst-d)
          ((not (pair? (car lst-o))) 
           (iter (cdr lst-o)
                 (cons (car lst-o) lst-d)))
          (else 
           (iter (cdr lst-o) 
                 (cons (deep-reverse (car lst-o))
                       lst-d)))))
  (iter lst null))

2.28

(define (fringe x)
  (define (iter tree lst)
    (cond ((null? tree) lst)
          ((not (pair? tree)) (cons tree lst))
          (else (iter (car tree) (iter (cdr tree) lst)))))
  (iter x null))

2.30

(define (square-tree- x)
  (cond ((null? x) null)
        ((not (pair? x)) (* x x))
        (else (cons (square-tree- (car x))
                    (square-tree- (cdr x))))))
(define (square-tree x)
  (map (lambda(subtree)
         (if (pair? subtree)
             (square-tree subtree)
             (* subtree subtree)))
       x))

2.31

(define (tree-map proc tree)
  (map (lambda(subtree)
         (if (pair? subtree)
             (tree-map proc subtree)
             (proc subtree)))
       tree))
(define (square-tree+ tree)
  (tree-map (lambda(x) (* x x)) tree))

2.32

(define (subsets s)
  (if (null? s)
      (list null)
      (let ((rest (subsets (cdr s))))
        (append rest (map (lambda(x) (cons (car s) x)) rest)))))

和换雉��问题的思�\是一��L(f��ng)��Q�对于一个集合的所有子集的集合�Q�可以分��Z��部分�Q�含有第一个元素和不含�W�一个元素的集合。而且含第一个元素的所有子集除�ȝ��一个元素，恰好正是所有不含第一个元素的子集�?/span>
也可以换个思�\�Q�对于集合A�Q�设它可以表�C�Zؓ(f��) (a1)∪(a2,...,an) �Q��?(a2,...,an) 的所有子集的集合�?B=(B1,...Bm),那么可以证明A的所有子集的集合 C=B∪((A1)∪B1,(A1)∪B2,...,(A1)∪Bm);
证明�Q�设 X �?A 的一个子集，那么如果 a1∈X�Q�那�?X∈((A1)∪B1,(A1)∪B2,...,(A1)∪Bm)�Q�否�?/span>X∈B�Q�所�?br> X∈C

cuigang 2008-06-17 23:48 发表评论

cuigang — Wed, 11 Jun 2008 15:39:00 GMT

2.24

2.25

(car (cdaddr (list 1 3 (list 5 7) 9)))
(caar (list (list 7)))
(cadadr (cadadr(cadadr (list 1 (list 2 (list 3 (list 4 (list 5 (list 6 7)))))))))

2.26

(1 2 3 4 5 6)
((1 2 3) 4 5 6)
((1 2 3) (4 5 6))

cuigang 2008-06-11 23:39 发表评论

cuigang — Wed, 11 Jun 2008 14:56:00 GMT

2.17

(define (last-pair lst)
  (if (null? (cdr lst))
      (cons (car lst) ())
      (last-pair (cdr lst))))

2.18

(define (reverse lst)
  (define (iter lst-o lst-d)
    (if (null? lst-o)
        lst-d
        (iter (cdr lst-o) (cons (car lst-o) lst-d))))
  (iter lst null))

2.20

(define (same-parity x . lst)
  (define (filter lst ok?)
    (if (null? lst)
        ()
        (if (ok? (car lst))
            (cons (car lst) (filter (cdr lst) ok?))
            (filter (cdr lst) ok?))))
  (if (even? x)
      (cons x (filter lst (lambda(x) (= 0 (remainder x 2)))))
      (cons x (filter lst (lambda(x) (= 1 (remainder x 2)))))))

2.21

(define (square-list- items)
  (if (null? items)
      ()
      (cons (* (car items) (car items))
            (square-list- (cdr items)))))

(define (square-list items)
  (map (lambda(x) (* x x)) items))

2.22

�W�一�U�每�ơ取出首元素�q�x(ch��ng)��后前插到新表�Q�象reverse�q�程�c�M��Q�所以是反的�?/span>
�W�二�U�只不过是把新表前插到元素前�Q�得到的甚至不是一个list�Q�而是
((((() . 1) . 4) . 9) . 16)

2.23

(define (for-each proc items)
  (if (not (null? items))
      ((lambda() (proc (car items))
       (for-each proc (cdr items))))))

cuigang 2008-06-11 22:56 发表评论

cuigang — Tue, 10 Jun 2008 14:01:00 GMT

2.01

(define (make-rat x y)
  (let ((g (gcd x y)))
    (if (< y 0)
        (cons (/ (- x) g) (/ (- y) g))
        (cons (/ x g) (/ y g)))))

2.02

(define (make-point x y) (cons x y))
(define (x-point p) (car p))
(define (y-point p) (cdr p))

(define (make-segment p1 p2) (cons p1 p2))
(define (start-seg line) (car line))
(define (end-seg line) (cdr line))

(define (midpoint-segment line)
(make-point (/ (+ (x-point (start-seg line)) (x-point (end-seg line))) 2.0)
(/ (+ (y-point (start-seg line)) (y-point (end-seg line))) 2.0)))

2.04

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
; (cdr+ (cons+ x y) = ((cons+ x y) (lambda(p q) p)))
;            = (lambda(m)(m x y) (lambda(p q) p)))
;            = ((lambda(p q) p) x y)
;            = x
(define (cons+ x y)
  (lambda(m) (m x y)))
(define (car+ z)
  (z (lambda(p q) p)))
(define (cdr+ z)
  (z (lambda(p q) q)))

2.05

  2^a * 3^b = 2^c * 3^d (a!=c && b!=d)
  2^a/2^c = 3^d/3^b
  2^(a-c) = 3^(d-b)
  a=c && d=b

2.06

(define one (lambda(f) (lambda(x) (f x))))
(define two (lambda(f) (lambda(x) (f (f x)))))

2.07

(define (upper-bound pair)
  (if (> (car pair) (cdr pair))
      (car pair)
      (cdr pair)))
(define (lower-bound pair)
  (if (> (car pair) (cdr pair))
      (cdr pair)
      (car pair)))

2.08

(define (sub-interval x y)
(add-interval x (make-interval (- (upper-bound y))
(- (lower-bound y)))))

cuigang 2008-06-10 22:01 发表评论

cuigang — Sat, 19 Apr 2008 15:49:00 GMT

;;;;;;;;;;;
;1.43
(define (double f)
  (lambda(x) (f (f x))))
;;(((double (double double)) inc) 5) = 5+16 =21

;;;;;;;;;;;;;
;1.42
(define (compose f g)
  (lambda(x) (f (g x))))

;;;;;;;;;;;;;;;
;1.43
(define (repeated f n)
  (if(= n 1) f
     (compose f (repeated f (- n 1)))))

;;;;;;;;;;;;;;;;
;1.44
(define (smooth f)
  (lambda(x) (/ (+ (f (- x dx))
                   (f x)
                   (f (+ x dx)))
                3)))
(define (smooth-n f)
  (repeated f n))
(define (smooth-n f n)
  ((repeated smooth n) f))

cuigang 2008-04-19 23:49 发表评论

cuigang — Tue, 15 Apr 2008 16:22:00 GMT

1.35

�?nbsp;φ=0 �Q?nbsp;�?nbsp;φ^2=φ+1 不成�?nbsp;�Q?nbsp;�?nbsp;φ≠0
φ^2 = φ+1 ==>
φ = (φ+1)/φ = 1 + (1/φ)

(fixed-point (lambda(x) (+ 1 (/ 1 x))) 1.0)

1.36

(define tolerance 0.00001)

(define (fixed-point f first-guess)
  (define (close-enough? x y)
    (< (abs (- x y)) tolerance))
  (define (try guess)
    (let ((next (f guess)))
      (display next)
      (newline)
      (if (close-enough? guess next)
          next
          (try next))))
  (try first-guess))

�q�_��d��法和不用�q�_��d��分别如下�Q�它们步数分别�ؓ(f��) 9 �?34 �?br>

(fixed-point (lambda(x) (/ (+ x (/ (log 1000) (log x))) 2)) 2.0)
(fixed-point (lambda(x) (/ (log 1000) (log x))) 2.0)

1.37

(define (cont-frac-r n d k)
  (define (redu i)
    (if (= i k)
        (/ (n i) (d i))
        (/ (n i) (+ (d i) (redu n d (+ i 1))))))
  (redu 1))

(define (cont-frac n d k)
  (define (iter i result)
    (if (= i 0)
        result
        (iter (- i 1) (/ (n i) (+ (d i) result)))))
  (iter k 0))

(define (get-phai k)
  (/ 1 (cont-frac (lambda(i) 1.0) (lambda(i) 1.0) k)))

(define (get-k)
  (define (iter i)
    (if (< (abs (- (get-phai i) 1.6180)) 0.00005)
        i
        (iter (+ i 1))))
  (iter 1))

k = 11 �Ӟ��_�ֺ�满�� 4 �?十进制数�?br>
1.38

(define (euler-d i)
  (cond ((= i 2) 2.0)
        ((and (> i 2) (= 0 (remainder (- i 2) 3)))
         (* (/ (+ i 1) 3.0) 2.0))
        (else 1.0)))

(define (get-e k)
  (+ 2 (cont-frac (lambda(i) 1.0) euler-d k)))

1.39

(define (tan-cf x k)
  (define (tan-n i)
    (if (= 1 i)
        x
        (- (* x x))))
  (cont-frac tan-n (lambda(i) (- (* i 2.0) 1.0)) k))

cuigang 2008-04-16 00:22 发表评论

cuigang — Sun, 06 Apr 2008 08:46:00 GMT

�q�个展开�q�程为：(x��)

(f f)
(f 2)
(2 2)

解释器将报错�Q?#8216;2’是一个未定义�q�程�?/span>

cuigang 2008-04-06 16:46 发表评论

cuigang — Sun, 06 Apr 2008 08:12:00 GMT

1.29

(define (simpson f a b n)
  (define (get-h) (/ (- b a) n))
  (define (get-y k) (f (+ a (* k (get-h)))))
  (define (simpson-term k)
    (cond ((= k 0) (get-y k))
          ((= k n) (get-y k))
          ((= (remainder k 2) 0) (* 2.0 (get-y k)))
          (else (* 4.0 (get-y k)))))
  (define (simpson-next k) (+ k 1))
  (* (/ (get-h) 3.0) (sum simpson-term 0 simpson-next n)))

1.30

(define (sum term a next b)
  (define (iter a result)
    (if (> a b)
        result
        (iter (next a) (+ (term a) result))))
  (iter a 0))

1.31

;;递归
(define (product-re term a next b)
  (if (> a b)
      1
      (* (term a)
         (product-re term (next a) next b))))
;;�q�代
(define (product term a next b)
  (define (iter a result)
    (if (> a b)
        result
        (iter (next a) (* result (term a)))))
  (iter a 1))

(define (pi-product b)
  (define (pi-term k) (/ (* (- k 1) (+ k 1)) k k))
  (define (pi-next k) (+ k 2))
  ;;(* 4.0 (product-re pi-term 3.0 pi-next b))) ;;递归
  (* 4.0 (product pi-term 3.0 pi-next b)))      ;;�q�代

1.32

(define (sum term a next b)
  (accumulate + 0 term a next b))

(define (product term a next b)
  (accumulate * 1 term a next b))

;;递归
(define (accumulate-re combiner null-value term a next b)
  (if (> a b)
      null-value
      (combiner (term a)
                (accumulate-re combiner null-value term (next a) next b))))

;;�q�代
(define (accumulate combiner null-value term a next b)
  (define (iter a result)
    (if (> a b)
        result
        (iter (next a) (combiner (term a) result))))
  (iter a null-value))

1.33

(define (filtered-accumulate combiner null-value term a next b filter?)
  (define (iter a result)
    (if (> a b)
        result
        (if (filter? (term a))
            (iter (next a) (combiner (term a) result))
            (iter (next a) result))))
  (iter a null-value))

(define (sum-prime a b)
  (define (sum-prime-term k) k)
  (define (sum-prime-next k) (+ k 1))
  (filtered-accumulate + 0 sum-prime-term a sum-prime-next b prime?))

(define (relatively-prime-product n)
  (define (relatively-prime? k) (= (gcd k n) 1))
  (define (term k) k)
  (define (next k) (+ k 1))
  (filtered-accumulate * 1 term 2 next (- n 1) relatively-prime?))

cuigang 2008-04-06 16:12 发表评论

cuigang — Sun, 30 Mar 2008 16:21:00 GMT

1.24
对于Fermat��(g��)查，因�ؓ(f��)��h��log n 的增镉K��Q�所以对�?n^2 �?n 的检查的旉��?理论上应该是 2�Q?�Q?实际上，�l�过��试也比较接�q�，当n比较大时�?br>若与预计不符�Q�可能因�?n 比较?y��u)��，或者字长发生变化，比如 n > 2^32 �Q�参见下题）(j��)

1.25
仅从理论分析�Q�Alyssa 的改动不�?x��)引起增镉K��的变化，但实际上�?Fermat ��(g��)查的 n �E�微大一点，速度��׃��(x��)很慢。主要原�?��是 base^exp 是一个非常大的数�Q�可能远�q�超�q?一�?2位机字的表示范围 2^32 �Q�在 scheme 里可能用若干�?32-bit 靠��Y件实现运��，�q�将��D��计算急速增�ѝ��无论是传递、运��还是求模�?br>实际�?1.22�?.23�?.24 的几个题目可能都�?x��)遇到字长变化引��L(f��ng)��计算速度�H�变�?br>
1.26
Fermat ��(g��)查正是因�?�q�箋(hu��)求��^方的求幂�Ҏ(gu��)��Q��得的增长阶变?sh��)?log n�Q?而这均来源于 b^(2n) = (b^n)^2�Q?/span>Louis 的方法让求幂又变成了(ji��n)�q�乘�Q�b^(2n) = b^n*b^n = (b*b*...*b)*(b*b*...*b)�Q�求�q�的增长阶变成了(ji��n) O(n)�Q�Fermat ��(g��)查的增长阶自然也变成�?O(n)�?br>
1.27

(define (fermat-test n)
  (fermat-iter (- n 1) n))

(define (fermat-iter a n)
  (cond ((= a 0) #t)
        ((= (expmod a n n) a) (fermat-iter (- a 1) n))
        (else #f)))

1.28
首先来看�Q�Fermat ��定理的一个变形：(x��)

p 是素�? 1==> a^p = kp + a ==> a^p - a = kp ==> a(a^(p-1)-1) = kp ==> a^(p-1) -1 = k'p
==> a^(p-1) % p = 1

�q�个变�Ş��是题目中提到的�Q�这个�Ş式和贚w��定理是�{��h(hu��n)的（但是奇怪的是，我没有发现已知的几个Carmichael数能够躲�q�这个变形的��(g��)查，有待研究�?/span>�Q?br>
再来看，miller-rabin 素性测试的原理�Q?br>
p 是素敎ͼ� 1==> (a^2-1) % p = 0 ==> (a+1)(a-1) % p =0
那么 a+1 % p = 0 或�?a-1 % p =0,
�?a

a = 1 或�?a = p-1 �Q�这两个叫做 1模n的��^凡��^�Ҏ(gu��)��Q?br>
代码如下�Q?br>

(define (check-nontrivial-sqrt-of-one a n)
  (define (check-1? t)
    (if (and (> a 1)
             (< a (- n 1))
             (= t 1))
        0 t))
  (check-1? (remainder (square a) n)))

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         ;(remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) m))
         (check-nontrivial-sqrt-of-one (expmod base (/ exp 2) m) m))
        (else
         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) m))))

(define (miller-rabin-test n)
  (define (iter x n)
    (cond ((= x 0) #t)
          ((= (expmod x (- n 1) n) 1) (iter (- x 1) n))
          (else #f)))
  (iter (- n 1) n))

�?对于 Carmichael �?n �Q�实际上不能完全通过 a^(n-1)%n = 1 的检�?/span>�Q�除�?a �?n 互素�Q�当 a �?n 的素因子�Ӟ��不能通过�Q�比�?Carmichael �W�一�?561 = 3*11*17�Q?�?3^560%561 = 375 ≠ 1 。可以程序验证这个�?所以我认�ؓ(f��)�Q?/span>a^(n-1)%n = 1 的检查比 a^n%n = a 的检查更严格�Q�是不是不存在合数通过完全�?a^(n-1)%n = 1 的检查呢�Q�我不敢说。但把这个结论暂时记在这里，希望能得到帮助或者反驟�?008-04-02 23:56

cuigang 2008-03-31 00:21 发表评论

cuigang — Fri, 28 Mar 2008 15:44:00 GMT

1.21

> (smallest-divisor 199)
199
> (smallest-divisor 1999)
1999
> (smallest-divisor 19999)
7
>

1.22
�?DrScheme 中没有对应的 runtime �q�程�Q�我们用内徏�?current-milliseconds 来代替，�q�个�q�程�q�回的是�pȝ��?ms 数�?br>同时�Q�在 Windows 下无法精��表�C?16ms 以下的精度（可能旉��片的大小�?16ms �Q�，所以这里用比较大的数来��试�?br>代码如下

(define (even? x) (= (remainder x 2) 0))

(define (runtime) (current-milliseconds))

(define (start-prime-test n start-time)
  (and (prime? n)
       (report-prime (- (runtime) start-time))))

(define (report-prime elapsed-time)
  (display " *** ")
  (display elapsed-time))

(define (search-iter cur-num index start-time)
  (newline)
  (display cur-num)
  (if (not (= index 0))
      (if (start-prime-test cur-num start-time)
          (search-iter (+ cur-num 2) (- index 1) start-time)
          (search-iter (+ cur-num 2) index start-time))))

(define (search-for-primes start-number)
  (if (even? start-number)
      (search-iter (+ start-number 1) 3 (runtime))
      (search-iter start-number 3 (runtime))))

�q�里用到�?prime? 谓词�Q�代码不再复�q��?br>
|------+--------+--------+-------|
|10^9 | 10^10 | 10^11 | 10^12 | => start-number
|------+--------+--------+-------|
|31 | 250    | 609    | 1953 | (ms)
|47    | 406    | 1203   | 3844 |
|78    | 625    | 1859   | 5719 |
|------+--------+--------+-------|

从上表可以看出，除了(ji��n)前两列之��_(d��)��后列的数字都是前列数字的 3 倍左叻I��q�似�?√10 �?3.16。实际上�Q�随着 n 的不断增大，�q�个��C��(x��)逐渐��D�� √10�?br>
1.23

(define (next n)
  (if (= n 2) 3 (+ n 2)))

(define (find-divisor n test-divisor)
  (cond ((> (square test-divisor) n) n)
        ((divides? test-divisor n) test-divisor)
        (else (find-divisor n (next test-divisor)))))

计算�l�果如下�Q?br>|--------+--------+-------|
| 10^10 | 10^11 | 10^12 | => start-number
|--------+--------+-------|
| 141 | 297    | 1078 | (ms)
| 219    | 609    | 2093 |
| 313    | 984 | 3140 |
|--------+--------+-------|

可以看出�q�个比值大�U�在 1.8(1/0.55) 左右�Q�可能原因是其它的计��需要时��_(d��)��但当 n 不断增大�Q�其它计��是常数�Ӟ��q�个比��g��(x��)不断接近2�?br>

cuigang 2008-03-28 23:44 发表评论

cuigang — Thu, 27 Mar 2008 13:59:00 GMT

1.20
下面�?% 表示�q�程 remainder�Q�那么正则序的过�E�如下：(x��)

(gcd 206 40)
(if (= 40 0) 206 (gcd 40 (% 206 40)))
(gcd 40 (% 206 40))
(if (= (% 206 40) 0) ;<##  1> [6]
     40
     (gcd (% 206 40) (% 40 (% 206 40))
(gcd (% 206 40) (% 40 (% 206 40)))
(if (= (% 40 (% 206 40)) 0)   ;<##  2> [4]
     (% 206 40)
     (gcd (% 40 (% 206 40)) (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40)))))
(gcd (% 40 (% 206 40)) (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40))))
(if (= (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40))) 0) ;<## 4>[2]
     (% 40 (% 206 40))
     (gcd (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40)))
          (% (% 40 (% 206 40)) (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40))))))
(gcd (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40)))
      (% (% 40 (% 206 40)) (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40))))))
(if (= (% (% 40 (% 206 40)) (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40))))) 0) ;<## 7>[0]
     (% (% 206 40) (% 40 (% 206 40)))
     (gcd ...)
(% (% 206 40) (% 40 (% 206 40)))  ;<## 4>[2]

可以看出需要调�?remainder �?1+2+4+7+4 = 18 �ơ�?br>
应用序计��过�E�如下：(x��)

(gcd 206 40)
(if (= 40 0) 206 (gcd 40 (% 206 40))) ;<##>
(gcd 40 6)
(if (= 6 0) 40 (gcd 6 (% 40 6)))      ;<##>
(gcd 6 4)
(if (= 4 0) 6 (gcd 4 (% 6 4)))        ;<##>
(gcd 4 2)
(if (= 2 0) 4 (gcd 2 (% 4 2)))        ;<##>
(gcd 2 0)
(if (= 0 0) 2 (gcd 0 (% 2 0)))
2

可以看出共需 4 �ơ�?br>

cuigang 2008-03-27 21:59 发表评论

cuigang — Wed, 26 Mar 2008 16:53:00 GMT

1.16

(define (fast-expt x n)
  (fast-expt-iter x n 1))

(define (fast-expt-iter x n a)
  (cond ((= n 0) a)
        ((even? n) (fast-expt-iter (square x)
                                   (/ n 2)
                                   a))
        (else (fast-expt-iter x
                              (- n 1)
                              (* a x)))))

1.17

(define (multi x y)
  (if (= y 0)
      0
      (+ x (multi x (- y 1)))))

(define (fast-multi x y)
  (cond ((= y 0) 0)
        ((even? y) (double (fast-multi x
                               (half y))))
        (else (+ x (fast-multi x (- y 1))))))

(define (double x) (+ x x))
(define (half y) (/ y 2))

1.18

(define (double x) (+ x x))
(define (half y) (/ y 2))

(define (fast-multi x y)
  (fast-multi-iter x y 0))

(define (fast-multi-iter x y p)
  (cond ((= y 0) p)
        ((even? y) (fast-multi-iter (double x)
                                    (half y)
                                    p))
        (else (fast-multi-iter x (- y 1) (+ p x)))))

1.19

;T(pq):(a,b)=>(bq+aq+ap, bp+aq)
;T(pq):(bq+aq+ap, bp+aq)=>((bp+aq)q + (bq+aq+ap)q + (bq+aq+ap)p,
;                          (bp+aq)p + (bq+aq+ap)q)
;      => (2bpq+2aqq+bqq+2apq+app, bpp+2apq+bqq+aqq)
;      => (b(2pq+qq)+a(2pq+qq)+a(qq+pp), b(qq+pp)+a(2pq+qq))
;q' = 2pq+qq
;p' = qq+pp
;
(define (fib n)
  (fib-iter 1 0 0 1 n))

(define (fib-iter a b p q count)
  (cond ((= count 0) b)
        ((even? count)
         (fib-iter a
                   b
                   (+ (* p p) (* q q))
                   (+ (* 2 p q ) (* q q))
                   (/ count 2)))
        (else (fib-iter (+ (* b q) (* a q) (* a p))
                        (+ (* b p) (* a q))
                        p
                        q
                        (- count 1)))))

cuigang 2008-03-27 00:53 发表评论

cuigang — Wed, 26 Mar 2008 14:56:00 GMT

1.14
计算�q�程的树(w��i)如下�Q?br>

很容易看出，计算�q�程的空间需求，也就是树(w��i)的深度，取决于最左边的子�?w��i)，�?n 1)�Q�它的深度是n+6�Q�O(n).

然后对于计算步数�Q�也��是�?w��i)的节点敎ͼ�我们知道对于一个二叉树(w��i)�Q�树(w��i)的节�Ҏ(gu��)�� = 左子�?w��i)节��?gu��)�� + 叛_��?w��i)节��?gu��)�� + 1.
先来�?(n 1) 子树(w��i)�Q�设它的节点数是f(n), 而且��L��Q�非叶节点左子树(w��i)节点��Cؓ(f��)1
�?n=1�Q�f(1) = 3
   n>1, f(n) = 1 + f(n-1) + 1 = f(n-1) + 2 = f(n-2) + 2*2
             = f(n-(n-1)) + 2*(n-1) = 2n + 1
             = O(n)

再来�?(n 2) 子树(w��i)�Q�设它的节点�?g(n), �?�?n/5 �?= A
g(n) = f(n) + g(n-5) + 1 = f(n) + f(n-5) + g(n-5*2) + 2
     = f(n) + ... + f(n-5*(A-1)) + g(n-5*A) + 2A
     = O(n^2)

依此�c�L��Q�可以得出结�?(n 5) 的计��步数增长的�?�?O(n^5)

1.15
a) 12.15 �q�除 5��?3 ��于 0.1 �Q�所以是 5��?br>b) 可以看出每调用一��?p �q�程�Q�需要递归1��?sine �Q�空间加1�Q�计��步数加2�Q�关键是p的次敎ͼ�(x��)
   对于a�Q�调用次数t�Q�那�?a*3^(-t) < 0.1 , �?10a < 3^t ==> lg(10a)/lg3 < t,
   所以增镉K�� I�间和时�?都�ؓ(f��) O(log a)

cuigang 2008-03-26 22:56 发表评论

cuigang — Wed, 12 Mar 2008 15:10:00 GMT

1.11
递归计算�q�程�?br>

(define func-recu
  (lambda(n)
    (cond ((< n 3) n)
          (else (+ (func-recu (- n 1))
                   (* 2 (func-recu (- n 2)))
                   (* 3 (func-recu (- n 3))))))))

�q�代计算�q�程�?br>

(define func-iter
  (lambda(a b c n)
    (if (= n 0)
        a
        (func-iter b c (+ (* 3 a) (* 2 b) c) (- n 1)))))

(define (func n) (func-iter 0 1 2 n))

1.12
中文版原题翻译有误，应�ؓ(f��)计算pascal三角中的元素�?br>

;pas(n,k)
;if (k=1) or (k=n), then pas(n,k) = 1
;else pas(n,k) = pas(n-1,k-1) + pas(n-1,k)

(define pas (lambda(n k)
              (if (or (= k 1) (= k n))
                  1
                  (+ (pas (- n 1) (- k 1))
                     (pas (- n 1) k)))))

1.13
中文版原题翻译遗�?提示 �Q?#968;=(1-√5)/2
已知�Q?#966;^2 = φ + 1, 那么 φ^n = φ^(n-1) + φ^(n-2)
同理�Q?/span>ψ^2 = ψ + 1, 那么 ψ^n = ψ^(n-1) + ψ^(n-2)
�?φ-ψ = (1+√5)/2 - (1-√5)/2 = √5

when n=0, Fib(0) = 0 = (φ^0-ψ^0)/√5
when n=1, Fib(1) = 1 = √5/√5 = (φ-ψ)/√5
when n>2, Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) = (φ^(n-1)-ψ^(n-1))/√5 + (φ^(n-2)-ψ^(n-2))/√5
= ((φ^(n-1)+(φ^(n-2))) - (ψ^(n-1)+ψ^(n-2)))/√5
= (φ^n - ψ^n)/√5

�?-1< ψ < 0, �?-0.5< -1/√5< ψ^n/√5 < 1/√5 <0.5 , �?φ^n/√5 = ψ^n/√5 + Fib(n)

可知 |φ^n/√5 - Fib(n)| < 0.5, Fib(n)是最接近φ^n/√5的整数�?/span>

cuigang 2008-03-12 23:10 发表评论

cuigang — Tue, 11 Mar 2008 15:33:00 GMT

首先�Q�可以写�?gu��)��个函数的函数式�?x��)

            0,   y = 0;
f(x,y) =    2y,  x = 0;
            2,   y = 1;
            f(x-1, f(x, y-1));

那么�Q�对�?f(0,n), n>=0
�?nbsp; n >= 1 �Ӟ�� f(0,n) = 2n �Q?br>而当 n = 0 �Ӟ�� f(0,0) = 0 = 2*0�Q?也满��?2n �Q?br>�?f(0,n) = 2n, n>=0.

对于f(1,n), n>=1
�?n > 1 �Ӟ��?f(1,n) = f(0, f(1, n-1)) = 2*f(1,n-1),
�?f(1,n) = 2^n
if   n = 1,    f(1,1)    = 2 = 2^1
when n > 1, if f(1,n-1) = 2^(n-1)
then f(1,n) = 2*f(1,n-1) = 2*(2^(n-1)) = 2^n
�?f(1,n) = 2^n, n>0.

对于f(2,n), n>0
if n > 1 ,then f(2,n) = f(1, f(2, n-1)) = 2^f(2,n-1),
�?f(2,n) = 2^(2^(... (n �?2)
if   n = 1, then f(2,1) = 2
when n > 1, if f(2, n-1) = 2^(2^(...        (n-1)
then f(2,n) = 2^f(2,n-1) = 2^(2^(

�q�样我们对于 (A 1 10) = 2^10 = 1024, (A 2 4) = 2^(2^(2^2)) = 2^16 = 65536
�?(A 3 3) = (A 2 A(3 2)) = A(2 A(2 A(2 1))) = (A 2 4) = 2^16 = 65536

(f n) = (A 0 n) = 2n
(g n) = (A 1 n) = 2^n
(h n) = (A 2 n) = 2^(2^(...      (n�?)

---------------------------------------------
在网上可以找到关�?Ackermann 函数的讨论，主要是针对这个双递归如何用�P代来实现�Q�Ackermann 函数�?德国数学家W.Ackermann �?928�q�提出的。在 WikiPedia 英文版上可以搜烦(ch��) Ackermann function 词条�Q�有详细介绍�Q�不�q�这个Ackermann function 略有不同。如下图�Q?br>

cuigang 2008-03-11 23:33 发表评论

cuigang — Tue, 11 Mar 2008 13:53:00 GMT

很显�?d��ng)��W�一个是递归的，�W�二个是�q�代的�?br>

(+ 4 5)
(if (= 4 0) 5 (inc (+ (dec 4) 5)))
(inc (+ 3 5))
(inc (if (= 3 0) 5 (inc (+ 2 5))))
(inc (inc (if (= 2 0) 5 (inc (+ 1 5)))))
(inc (inc (inc (if (= 1 0) 5 (inc (+ 0 5))))))
(inc (inc (inc (inc (if (= 0 0) 5 (inc (+ (dec 0) 5)))))))
(inc (inc (inc (inc 5))))
(inc (inc (inc 6)))
(inc (inc 7))
(inc 8)
9

(+ 4 5)
(if (= 4 0) 5 (+ 3 6))
(if (= 3 0) 6 (+ 2 7))
(if (= 2 0) 7 (+ 1 8))
(if (= 1 0) 8 (+ 0 9))
(if (= 0 0) 9 (+ (dec 0) (inc 9)))
9

cuigang 2008-03-11 21:53 发表评论

cuigang — Tue, 11 Mar 2008 13:24:00 GMT

采用1.7中的变化率�ؓ(f��)�l�止��(g��)��?/span>

(define (cube-root x)
  (cube-root-iter x 1.0 x))

(define (cube-root-iter last-guess guess x)
  (if (enuf? last-guess guess)
      guess
      (cube-root-iter guess (improve guess x) x)))

(define (enuf? x y)
  (< (/ (abs (- x y)) y) 0.001))

(define improve (lambda (y x)
                  (/ (+ (/ x (* y y)) (* 2 y)) 3)))

cuigang 2008-03-11 21:24 发表评论

cuigang — Mon, 10 Mar 2008 16:07:00 GMT

对于正文中的 good-enough? 谓词�Q�设所�?x 的真实��^�Ҏ(gu��)��?xt�Q�那么我们的依据是当 guess �?1 ��向�?xt 的��^方差 ��于 c(0.001) �Ӟ��guess �q�似�?xt。实际当 xt^2 也就�?x ��_��时�Q?guess �?逐渐�E�_��?√c 附近。从下面实验可以看出�Q?br>

> (sqrt (square 0.1))
0.10032578510960607
> (sqrt (square 0.05))
0.054237622808967656
> (sqrt (square 0.01))
0.03230844833048122
> (sqrt (square 0.005))
0.031515954454847304
> (sqrt (square 0.001))
0.031260655525445276
> (sqrt (square 0.0001))
0.03125010656242753
>

因�ؓ(f��) guess^2 < c + x , �?x < c �Ӟ��guess ��更多的依赖�?c �?ji��n)�?br>
对于特别大的敎ͼ��׃��点数在特别大时�Q�离散性非常明显，盔R��的两个数之间的差距会(x��)非常大，��D�� |guess^2 - x| 始终大于 c�Q�计��便�q�入�?无限循环�?br>
比如计算 (sqrt 1e300)

使用变化率改�q�后的代码如下：(x��)

(define (sqrt-new x)
  (sqrt-iter-new x 1.0 x))

(define (sqrt-iter-new s1 s2 x)
  (if (enuf-new? s1 s2)
      s2
      (sqrt-iter-new s2 (improve s2 x) x)))

(define (enuf-new? s1 s2)
  (< (/ (abs (- s1 s2)) s1) 0.001))

可以��算几个敎ͼ�验证�l�果�q�是比较好的�?br>

> (sqrt-new (square 1e150))
1.0000000000084744e+150
> (sqrt-new (square 1e-150))
1.0000000000084744e-150

cuigang 2008-03-11 00:07 发表评论

cuigang — Sun, 09 Mar 2008 15:12:00 GMT

�?x��)递归直到堆栈溢出�?br>原因�?�?new-if �q�没有展开�?cond special forms �Ӟ��else-clause 子式已经陷入�?ji��n)无限递归�?做了(ji��n)以下实验�Q�可以验�?br>

(define (new-if pred thenc elsec)
  (cond (pred thenc)
        (else elsec)))

(define (iter x y)
  (new-if (= x y)
          0
          (iter (+ x 1) y)))

(define (iter-if x y)
  (if (= x y)
      0
      (iter-if (+ x 1) y)))

(define (iter-cond x y)
  (cond ((= x y) 0)
        (else (iter-cond (+ x 1) y))))

对于 (iter 1 10), (iter-if 1 10), (iter-cond 1 10)
其中 iter �?��D��堆栈溢出�Q��?iter-cond �?iter-if �q�不�?x��)�?br>
此题�?.5
�?.5中，�׃��应用序的原因�Q�在 test 表达�?�q�没有展开�?if �Ҏ(gu��)��形式�Q�special forms�Q�时�Q?(p)已经陷入�?ji��n)无限递归�?br>

cuigang 2008-03-09 23:12 发表评论

cuigang — Tue, 25 Dec 2007 16:19:00 GMT

1.1

10,12,8,3,10 6,a,b,19,#f,4,16,6,16

1.2

(/(+ 5 4 (- 2 (- 3 (+ 6(/ 4 5)))))(* 3 (- 6 2)(- 2 7)))

(/(+ 5 4 (- 2 (- 3 (+ 6 4/5))))(* 3 (- 6 2)(- 2 7)))

1.3

�q�个问题?sh��)��文版的��译是错的，参看原文是求�q�x(ch��ng)��和而不�?#8220;�?#8221;�?br />

(define (square(x)(* x x)))
(define (max x y)(if (< x y) y x))
(define (func x y z)
  (+ (square (max x y))
     (square (max (min x y) z))))

1.4

a+|b|

<=>

1 # in python
2 def a_plus_abs_b(a,b):
3     if b>0 :
4         x = a + b
5     else:
6         x = a - b
7     return x

1.5

在网上看�?ji��n)很多答案，都认�?#8220;应用�?#8221;的实��C��(x��)��D��d�@环，我非常困惑。反复看�?ji��n)中文版和英文版�Q�觉得大家这栯��为可能是书中说lisp的实现是“应用�?#8221;�Q�而在scheme中跑�q�段代码�?x��)死循环�Q�就先入��Z��的认�?#8220;应用�?#8221;的实��C��(x��)��d�@环。其实对照正文，我们可以看到“正则�?#8221;停止展开的条件是“只包含基本运��符的表辑ּ�”�Q�而对�?/span>

(define (p) (p))

是无论如何也没法完全展开的，因�ؓ(f��)它会(x��)不断递归�Q�所�?#8220;正则�?#8221;才会(x��)��d�@环�?/span>

而对�?#8220;应用�?#8221;的实玎ͼ�则会(x��)�q�样展开

(test 0 (p))
(if (= 0 0) 0 (p))
(if #t 0 (p))

; 0

解决�q�个问题?sh��)��要�?#8220;正则�?#8221;�Q�Normal order�Q�以�?#8220;应用�?#8221;�Q�Applicative order�Q�展开一个组合式的规则，仔细研究�?ji��n)MIT 6.001评��讲义�Q�网上的各种�{�案�Q�以�?qi��ng)中英文版。我认�ؓ(f��)�Q�正则序以类似广度优先的方式�q�行展开。而应用序优先计算子表辑ּ��Q�类��g��深度优先。那么对于这个问题，正则�?/span>�?x��)展开�?/span>

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=> (if #t 0 (p))

接着�Q�由于这是一个if的special form�Q�特�D��Ş式）(j��)�Q�就�?x��)被展开�?/span>
0
而应用序�Q�由�?p)一直可以递归代换�Q�从一开始就�?x��)进入一个无限递归中去�?/span>
��a�之，�׃��应用序的原因�Q�在 test 表达�?�q�没有展开�?if �Ҏ(gu��)��形式�Q�special forms�Q�时�Q?(p)已经陷入�?ji��n)无限递归�?

cuigang 2007-12-26 00:19 发表评论