quaternion是一個標量和一個3D向量的組合。q={ w,x,y,z},Ogre中一個默認的quaternion ={1,0,0,0} ,一般用于空間一點的旋轉(zhuǎn),假設(shè)空間一點叫p,將要旋轉(zhuǎn)角度是α,旋轉(zhuǎn)軸是(x,y,z),那么:

p={0,x0,y0,z0}

q= {cos(α/ 2) , sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz } (N為單位向量)

p結(jié)果 =q*p*q^-1

在數(shù)學上，quaternion表示復(fù)數(shù)w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虛數(shù)單位,而復(fù)數(shù)乘法(叉乘)的幾何意義實際上就是對復(fù)數(shù)進行旋轉(zhuǎn)。這也是OGRE為什么要用quaternion的原因(比Matrix更快捷更節(jié)省空間),對最簡單的二維復(fù)數(shù)p= x + yi來說，和另一個q = ( conα，sinα)相乘，則表示把p沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)α：p’ = pq ,這是2D旋轉(zhuǎn).

如果要表示3D旋轉(zhuǎn),就需要3D復(fù)數(shù)了,于是就有了"四元數(shù)",q=w+ix+jy+kz (i,j,k都是虛數(shù))

其中j,j,k關(guān)系如下:

   i² = j² = k² = -1
   i * j = k = -j * i
   j * k = i = -k * j
   k * i = j = -i * k

四元數(shù)加法:
q₁ + q₂ = (w₁+w₂) + (x₁+x₂) i + (y₁+y₂) j + (z₁+z₂) k
四元數(shù)乘法:
q₁ * q₂ =
(w₁*w₂ - x₁*x₂ - y₁*y₂ - z₁*z₂) +
(w₁*x₂ + x₁*w₂ + y₁*z₂ - z₁*y₂) i +
(w₁*y₂ - x₁*z₂ + y₁*w₂ + z₁*x₁) j +
(w₁*z₂ + x₁*y₂ - y₁*x₂ + z₁*w₂)    k

OGRE源代碼里這樣定義乘法:

Quaternion Quaternion::operator* (const Quaternion& rkQ) const
    {
        // cases p*q != q*p.

        return Quaternion
        (
            w * rkQ.w - x * rkQ.x - y * rkQ.y - z * rkQ.z,
            w * rkQ.x + x * rkQ.w + y * rkQ.z - z * rkQ.y,
            w * rkQ.y + y * rkQ.w + z * rkQ.x - x * rkQ.z,
            w * rkQ.z + z * rkQ.w + x * rkQ.y - y * rkQ.x
        );
    }