OpenCASCADE曲線上點(diǎn)的反求

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1 Introduction

曲線可以用代數(shù)方程表示，如圓可以用X^2+Y^2=R^2表示，也可以用參數(shù)方程X(u)=RCos(u), Y(u)=RSin(u)表示。要判斷點(diǎn)是不是在線上，用曲線代數(shù)方程可以很直接得出結(jié)果，但是使用參數(shù)方程就沒有那么直接。這也是參數(shù)曲線上點(diǎn)的反求問題，參數(shù)曲線上點(diǎn)的反求問題應(yīng)用廣泛，如前面所述判斷點(diǎn)是否在曲線上、點(diǎn)向曲線投影、點(diǎn)與線的求交、點(diǎn)在參數(shù)曲線上的參數(shù)等，都與點(diǎn)的反求問題相關(guān)。本文主要結(jié)合代碼介紹OpenCASCADE曲線上點(diǎn)的反求實(shí)現(xiàn)原理及使用過程中的一些注意事項(xiàng)。

2 實(shí)現(xiàn)原理

在《The NURBS Book》書中將點(diǎn)的反求問題歸結(jié)為點(diǎn)向曲線投影距離最短的問題，如下圖所示：

建立函數(shù)f(u)=C’(u).(C(u) - P)表示點(diǎn)到曲線距離，當(dāng)f(u)=0時(shí)為點(diǎn)到曲線的最短距離，不管點(diǎn)P是否在曲線上。幾何意義是點(diǎn)到曲線任意點(diǎn)的向量與任意點(diǎn)處的切向量點(diǎn)積為零，表示在兩個(gè)向量垂直的時(shí)候求得極值點(diǎn)。注意數(shù)學(xué)方程中垂直這個(gè)幾何意義。

OpenCASCADE中實(shí)現(xiàn)曲線上點(diǎn)的反求原理與《The NURBS Book》書中一致。點(diǎn)的反求使用類GeomLib_Tool::Parameter()函數(shù)：

輸入曲線、點(diǎn)和最大距離，計(jì)算點(diǎn)是否在曲線上及若在曲線上，點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)曲線的參數(shù)U。

類Extrema_ExtPC計(jì)算點(diǎn)P到線C的極值Extrema。根據(jù)代碼注釋可以看出點(diǎn)的反求數(shù)學(xué)方程與《The NURBS Book》書中一致：

數(shù)學(xué)方程對應(yīng)的類的變量為myF，類名為Extrema_FuncExtPC，從類math_FunctionWithDerivative派生，所以必須實(shí)現(xiàn)兩個(gè)關(guān)鍵虛函數(shù)Value()和Derivative()。其代碼注釋說明了這兩個(gè)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)：

其中F(u)對應(yīng)函數(shù)Value():

DF(u)對應(yīng)函數(shù)Derivative()，最后使用Newton法math_FunctionRoots對方程進(jìn)行求根。

3 注意事項(xiàng)

OpenCASCADE中點(diǎn)的反求GeomLib_Tool::Parameter()、點(diǎn)向曲線投影GeomAPI_ProjectPointOnCurve、點(diǎn)與曲線的交點(diǎn)IntTools_Context::ComputeVE等算法都是使用了Extrema_ExtPC類。

當(dāng)使用GeomLib_Tool::Parameter()函數(shù)來判斷點(diǎn)是否在曲線上時(shí)，注意端點(diǎn)處點(diǎn)的反求要滿足垂直的條件，即使點(diǎn)與曲線某個(gè)端點(diǎn)距離小于MaxDist時(shí)，也是返回false。即對于曲線端點(diǎn)處的情況需要自己預(yù)先處理，直接算點(diǎn)P與曲線端點(diǎn)距離與MaxDist比較，先處理端點(diǎn)。

可以看到這里也處理的端點(diǎn)處的情況，但是最后沒有與MaxDist有關(guān)系，最后容差是Precision::SquareConfusion()。