OpenCASCADE曲面交線分類
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Abstract. OpenCascade classify the intersection line between two surfaces. A intersection line may be either geometric: line, circle, ellipse, parabola, hyperbola as defined in the class GLine, or analytic as defined in the class ALine, or defined by a set of points(coming from a walking algorithm) as defined in the class WLine. Or described by a restriction line on one of the surfaces as RLine.
Key Words. Surface Intersection, Intersection Line
1 Introduction
OpenCASCADE中對兩個曲面求交得到的交線進(jìn)行了分類，如下類圖所示：
交線總共分為四類：
- ALine：Analytic解析曲線，主要為兩個二次曲面求交所得，如圓柱面、球面、圓錐面等之間的交線；
- GLine：Geometric幾何曲線，即交線可以表示成簡單的二次曲線，如直線、圓、拋物線等；
- WLine：Walking追蹤法得到的交線，保存了追蹤路線上的兩個曲面的交點(diǎn)；
- RLine：Restriction受限交線，這條交線可能只在一個面上；
下面我們使用Tcl腳本在DRAW中驗(yàn)證一下這四類交線的來源，加深對曲面求交算法的理解。分類帶來了麻煩，可以帶著問題：為什么要分這幾種類型？有什么好處？來看這篇文章。要用好開源的東西，其實(shí)要求還是很高的，需要對源碼有相對深入的理解。
2 ALine
Analytic交線是二次曲面求交所得，二次曲面是因?yàn)榭梢越y(tǒng)一使用二次型來表示的解析曲面，也是《解析幾何》中研究的主要內(nèi)容。我們可以在DRAW中構(gòu)造圓柱面與圓錐面求交驗(yàn)證一下。TCL腳本如下：
# Test for IntPatch_ALine.
# Geometry surfaces.
cylinder s1 0 0 0 1 1 1 2
cone s2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 30 3
# Topology faces
mkface f1 s1 0 2*pi -8 8
mkface f2 s2 0 2*pi -5 5
# Intersection.
bop f1 f2
bopsection r
# Display result.
vdisplay f1 f2 r
生成結(jié)果如下圖所示，其中紅色為交線：
DEBUG源碼可以看到是使用類IntPatch_ImpImpIntersection 計(jì)算求交，即兩個解析曲面求交算法類。
3 GLine
Geometric幾何曲線形式簡單，如果交線用幾何曲線來表示，對于后續(xù)算法有好處。如平面與圓錐面求交線，圓柱面與圓柱面求交等，都會得到幾何曲線。將上面的圓柱面換成平面與圓錐面求交我們可以在DRAW驗(yàn)證經(jīng)典的圓錐與平面交線：根據(jù)平面位置不同，可以得到圓、橢圓、雙曲線等幾何曲線。TCL腳本如下所示：
# Test for IntPatch_GLine.
cone s1 0 0 0 0 0 1 30 3
plane s2 0 0 0 0 0 1
mkface f1 s1 0 2*pi -5 5
mkface f2 s2 -8 8 -8 8
bop f1 f2
bopsection r
vdisplay f1 f2 r
計(jì)算交線結(jié)果如下圖所示：
我們改變平面的法向，使其斜著與圓錐面求交，會得到橢圓：
還可以得到雙曲線、拋物線等，同學(xué)們可以自己嘗試一下。
4 WLine
對于NURBS曲面求交，一般會使用Marching方法，國內(nèi)教材翻譯為追蹤法。在看《地球脈動》時(shí)，注意到對于大草原上的水牛、大象等動物成群結(jié)隊(duì)的遷徙使用了這個詞，這個詞的字面意思有行進(jìn)、行軍，列隊(duì)行進(jìn)之意，如果結(jié)合opencascade中的walking感覺翻譯為行進(jìn)法更貼切，因?yàn)樵趏pencascade中對于求交專門有個package名為IntWalk，其中類IntWalk_PWalking來使用marching method對兩個參數(shù)曲面進(jìn)行求交。Walk有行走之意，所以對于使用Walk方法得到的交線命名為WLine。對于NURBS曲面求交及二次曲面與NURBS曲面求交，使用了Marching方法，WLine的來源是清晰的。繼續(xù)使用上面的腳本，只需要將上述兩個面轉(zhuǎn)換成NURBS曲面即可觸發(fā)Marching法進(jìn)行求交。TCL腳本如下：
# Test for IntPatch_WLine.
cone s1 0 0 0 0 0 1 30 3
plane s2 0 0 0 1 1 2
mkface f1 s1 0 2*pi -5 5
mkface f2 s2 -8 8 -8 8
nurbsconvert f1 f1
nurbsconvert f2 f2
bop f1 f2
bopsection r
vdisplay f1 f2 r
通過IntWalk_PWalking行進(jìn)法配合三參數(shù)迭代法，將行進(jìn)過程中的交點(diǎn)都保存在WLine中。
雖然結(jié)果與上面看上去一樣，內(nèi)部交線已經(jīng)不是簡單的幾何曲線了。
5 RLine
Restriction交線是受限交線，這種類型的交線只會位于一個面上。這里我們構(gòu)造一個平面及與平面重疊的一個NURBS曲面來求交進(jìn)行解釋。TCL腳本如下：
# Test for IntPatch_RLine.
plane s1 0 0 0 0 0 1
plane s2 0 0 0 0 0 1
mkface f1 s1 -5 5 -5 5
mkface f2 s2 -8 8 -8 8
nurbsconvert f1 f1
bop f1 f2
bopsection r
vdisplay f1 f2 r
DEBUG會發(fā)現(xiàn)這兩個曲面的交線為RLine，并在生成RLine時(shí)指定交線屬于哪個曲面，是在S1曲面SetArcOnS1還是在S2曲面SetArcOnS2：
生成交線如下圖所示：
當(dāng)然可以使用RLine來判斷兩個曲面是否有重疊，但是在opencascade中兩個曲面重疊叫Tangent Face，可以將上述NURBS面不轉(zhuǎn)換，還是使用兩個重疊平面來驗(yàn)證：
求交最后對交線數(shù)據(jù)歸并時(shí)的代碼有點(diǎn)不敢恭維：
6 Conclusion
綜上所述，對兩個曲面求交得到的交線進(jìn)行分類，避免交線都是NURBS曲線，可以是簡單的二次曲線，提高后續(xù)算法性能。在理解源碼的基礎(chǔ)上，可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場景選擇高效的算法。如若只是求兩個模型之間的交線，可以直接使用曲面求交算法，一般情況下性能還是不錯的。當(dāng)然理解源碼后，可以結(jié)合實(shí)際應(yīng)用場景可以對求交算法做進(jìn)一步優(yōu)化。
要深入理解opencascade源碼，熟練使用DRAW是一個相對容易的路線。因?yàn)樵贒RAW中可以使用Tcl腳本快速驗(yàn)證各種想法，甚至直接DEBUG源碼，從表向深入到與源碼作者直接對話。