OpenCASCADE 曲線向曲面投影
eryar@163.com
Abstract: Project a curve on a surface no matter the surface is a plane or BSpline Surface. The projected result curve are all BSpline Curve generated by approx algorithm.
Keywords: BRep, Project Curve Surface,
1 Introduction
OpenCASCADE中提供了幾何曲線向曲面投影的功能，得到的投影線是曲面上的一條曲線。使用類GeomProjLib的靜態函數Project(C, S)和ProjectOnPlane(C, P, D)。
在畫法幾何與機械制圖中，機械圖樣的繪制是以投影法為依據的。本文主要介紹OpenCASCADE中曲線向曲面投影的實現原理。
2 Project On Plane
在畫法幾何中投射線互相平行的投影方法叫做平行投影。在平行投影中，以投射線與投影面的關系又可分為正投影法和斜投影法。投射線與投影面相傾斜的平行投影法，叫做斜投影法。投射線與投影面相垂直的平行投影法，叫做正投影法。工程上采用的正投影法來繪制圖樣。正投影法又因法國學者蒙若(G. Monge, 1746~1818)首次從理論上加以系統闡述而有蒙若法之稱。
在OpenCASCADE中與平行投影對應的類是ProjLib_ProjectOnPlane，其輸入數據有待投影的曲線Curve，投影平面Plane以及投影方向Dir。這里的投影方向Dir與投影平面法向不平行時為斜投影，投影方向Dir與投影平面法向平行時為正投影。
通過查看類ProjLib_ProjectOnPlane的源碼實現，可以總結出這個算法的處理流程：
首先輸入數據，有待投影的曲線、投影平面及投影方向等。如果投影曲線是特殊曲線，即簡單的曲線如直線、圓、橢圓等，計算其投影結果。結果可能還會是簡單的曲線。最后處理一般曲線的投影，這時主要使用擬合算法來生成投影曲線，結果都是B樣條曲線。
在這個類中我們也可以學習如何使用底層的曲線擬合功能。擬合算法的關鍵是定義擬合函數。如在此類中，定義的擬合函數ProjLib_OnPlane如下：
主要是實現其中的虛函數Value():
這個函數的作用是計算對應曲線Curve的參數U的空間點在方向D上與平面Pl的交點。可以結合下圖寫出這個公式：
其中P(u)是曲線上對應參數U的點，D是投影方向，Z是平面的法向，O是平面的基點坐標。設P(u)沿投影方向D的長度為x時與平面有交點P1，根據向量P(u)P1與平面法向Z的投影距離與向量P(u)O與平面法向Z的投影距離相等可以列出方程：x*D*Z = PO * Z解出x，即上式中方向D前面的分式。
在看懂這個公式的基礎上，建議同學們可以自己寫出求1階微分的公式：
有了擬合函數，就可以調用曲線擬合類來擬合投影曲線：
函數參數中最后一個是擬合曲線的返回值，即一條B樣條曲線。
3 Project On Surface
類ProjLib_ProjectOnSurface實現曲線向曲面上的投影，其注釋有“Constructs 3D-Curve from the normal projection of the curve on the surface”。其中Normal是曲面法向的意思，還是結合源碼來進行說明。
曲線向曲面投影的處理流程與曲線向平面投影類似，關鍵都是擬合函數的定義。
從實現方法可以看出是通過計算點到曲面的極值來計算對應曲線參數U的點與曲面的交點。這個交點與曲線參數U對應的點的連線方向即曲面在交點處的法向。從而去理解曲面Normal投影的含義，因為在BRep中對應的有相應的投影算法。
4 Conclusion
在OpenCASCADE中曲線向平面投影可以與機械制圖中的平行投影對應起來。在處理曲線向曲面投影的算法主要是曲線擬合算法。結合源碼理解擬合函數的定義方法，通過對擬合函數的理解，還可以實現曲線向網格面的投影功能。
