解析幾何之二次型
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Abstract. 通過(guò)二次多項(xiàng)式的形式把二次曲線和二次曲面之間的求交問(wèn)題統(tǒng)一成對(duì)將參數(shù)方程代入隱式方程得到問(wèn)題的求解。
Key Words. Quadratic Form, Conic, Analytical Intersection
1. Introduction
二次型（quadratic form）：n個(gè)變量的二次多項(xiàng)式稱為二次型，即在一個(gè)多項(xiàng)式中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)為任意多個(gè)，但每一項(xiàng)的次數(shù)都為2的多項(xiàng)式。線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一，它起源于幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題的研究。二次型理論與域的特征有關(guān)。
二次型是n個(gè)變量上的二次齊次多項(xiàng)式。下面給出一個(gè)、兩個(gè)、和三個(gè)變量的二次形式：
其中a, ...,f是系數(shù)。注意一般的二次函數(shù)和二次方程不是二次形式的例子，因?yàn)樗鼈儾豢偸驱R次的，可能包含一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。
幾何造型中的圓錐曲線Conic Curve與二次曲面Quadric是一般的二次方程，方程分別為：
在學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》時(shí)也有關(guān)于二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型的內(nèi)容，在同濟(jì)第四版《線性代數(shù)》書中這樣寫到“二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型，這樣一個(gè)問(wèn)題，在許多理論問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題中常會(huì)遇到，現(xiàn)在我們把這類問(wèn)題一般化，討論n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。” 學(xué)這個(gè)有什么用啊？能解決哪些實(shí)際問(wèn)題？下面我們看看二次型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。
2. Classification
在《工程技術(shù)中的偏微分方程》一書中，有二次型的一個(gè)應(yīng)用，即對(duì)二次線性方程的分類Classification。我們從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，可以推導(dǎo)并建立熱傳導(dǎo)方程，波動(dòng)方程和Laplace方程，同時(shí)指出他們分別是拋物型、雙曲型和橢圓型三類方程的典型代表。設(shè)有二階線性方程
在解析幾何中，XOY平面上的二次曲線方程的一般形式：
通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換可以將上式化簡(jiǎn)成橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即對(duì)于任意二次圓錐曲線，都可以通過(guò)化成標(biāo)準(zhǔn)型的方法來(lái)判斷圓錐曲線的類型。根據(jù)不同的類型，選擇不同的求解方法。
3. Analytical Intersection
在《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)教程》書中有一章節(jié)“求交分類”，對(duì)幾何曲線曲面求交進(jìn)行了分析。摘錄書中部分內(nèi)容如下：
在幾何造型中，通常利用集合運(yùn)算（并、交、差運(yùn)算）實(shí)現(xiàn)復(fù)雜形體的構(gòu)造，而集合運(yùn)算（布爾運(yùn)算）需要大量的求交運(yùn)算。如何提高求交的實(shí)用性、穩(wěn)定性、速度和精度等，對(duì)幾何造型系統(tǒng)至關(guān)重要。
在早期的幾何造型系統(tǒng)中，用多面體來(lái)表示形體。在這種多面體模型中，形體所有的表面都是平面，所有的邊都是直線段，因此求交計(jì)算主要是線段和平面的求交，求交問(wèn)題的解決都相對(duì)簡(jiǎn)單。
但多面體模型的缺點(diǎn)是明顯的。它只能近似表示形體。同時(shí)，復(fù)雜形體表面的離散會(huì)帶來(lái)巨大的數(shù)據(jù)量，要求計(jì)算機(jī)有較高的存儲(chǔ)量和運(yùn)算速度。因此，有必要采用精確表示的形體模型，然而精確表示的形體也會(huì)給幾何造型系統(tǒng)引入復(fù)雜的幾何元素，也必然給幾何元素的求交帶來(lái)困難。
CSG模型是曾被廣泛使用的形體表示模型，在這種模型中，形體通過(guò)基本體素的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)，基本體素通常是立方體、圓柱、圓錐、球和圓環(huán)體等。基于CSG表示的造型系統(tǒng)，引入了二次曲面體和基本體素后，二次曲面的求交在這些造型系統(tǒng)中是不可避免的。
當(dāng)前的幾何造型系統(tǒng)，大多采用精確的邊界表示BREP模型。在這種表示法中，形體的邊界元素和某類幾何元素對(duì)應(yīng)，它們可以是直線、圓弧、二次曲線、Bezier曲線和B樣條曲線等，也可以是平面、圓環(huán)面Torus、二次曲面、Bezier曲面和B樣條曲面等，求交情況十分復(fù)雜。
對(duì)于含有兩個(gè)變量的二次方程，對(duì)應(yīng)的是二維二次圓錐曲線，在OpenCASCADE中的類gp_Circ2d, gp_Elips2d, gp_Hypr2d, gp_Parab2d, 他們都有一個(gè)函數(shù)Coefficients，能計(jì)算其二次型的系數(shù)。在解析幾何曲線求交計(jì)算包中IntAna2d，提供了一個(gè)類IntAna2d_Conic用來(lái)表示圓錐曲線，類IntAna2d_AnaIntersection可以對(duì)這些圓錐曲線進(jìn)行求交計(jì)算。
對(duì)于含有三個(gè)變量的二次方程，對(duì)應(yīng)的是三維二次曲面，在OpenCASCADE中的類有g(shù)p_Pln, gp_Sphere, gp_Cylinder, gp_Cone, 他們也都有一個(gè)函數(shù)Coefficients，能計(jì)算其二次型的系數(shù)。在解析幾何求交計(jì)算包中IntAna，提供了一個(gè)類IntAna_Quadric用來(lái)表示二次曲面。類IntAna_QuadQuad使用解析法（解方程）對(duì)兩個(gè)二次曲面進(jìn)行求交計(jì)算；類IntAna_QuadQuadGeo使用幾何方法對(duì)兩個(gè)二次曲面進(jìn)行求交計(jì)算；類IntAna_ConicQuad用來(lái)對(duì)圓錐曲線和二次曲面進(jìn)行求交計(jì)算。
3.1 二次曲線與二次曲線求交
二次曲線與二次曲線求交指的是用代數(shù)方法來(lái)計(jì)算兩個(gè)曲線之間的相交情況，對(duì)應(yīng)的類是IntAna2d_AnaIntersection。代數(shù)方法是利用代數(shù)運(yùn)算，特別是求解代數(shù)方程的方法求解。由于圓錐曲線在其局部坐標(biāo)系下具有標(biāo)準(zhǔn)的隱式方程和參數(shù)方程的噶啊，這類求交的策略是將坐標(biāo)系變換到該圓錐曲線的局部坐標(biāo)系下，一個(gè)圓錐曲線用隱式方程的形式表示，另一個(gè)圓錐曲線用參數(shù)方程的形式。對(duì)于曲線的參數(shù)方程而言，只有一個(gè)變量，將參數(shù)表示代入隱式方程即可獲得一個(gè)變量的方程。occt中相關(guān)代碼分析可參考：Intersection between 2d conic in OpenCASCADE
https://www.cnblogs.com/opencascade/p/6618865.html
3.2 二次曲線與二次曲面求交
二次曲線與二次曲面的求交計(jì)算，可以把二次曲線的參數(shù)形式代入二次曲面的隱式方程，得到關(guān)于參數(shù)的4次方程。然后用4次方程的求要公式計(jì)算出交點(diǎn)。occt中相關(guān)代碼分析可參考：對(duì)應(yīng)的類是IntAna_IntConicQuad
解析幾何求交之直線與二次曲面
https://www.cnblogs.com/opencascade/p/IntAna_IntConicQuad.html
解析幾何求交之圓與二次曲面
https://www.cnblogs.com/opencascade/p/IntAna_Circle.html
3.3 二次曲面與二次曲面求交
二次曲面與二次曲面的求交計(jì)算，也可以把二次曲面的參數(shù)形式代入二次曲面的隱式方程。對(duì)應(yīng)的類是IntAna_QuadQuad，其中對(duì)圓柱與二次曲面的求交計(jì)算源碼注釋如下圖所示： 
3.4 二次曲面與二次曲面求交幾何方法
幾何方法求交是利用幾何的方法，對(duì)參與求交的曲面的形狀、位置以及方向等幾何特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算和判斷，識(shí)別出交線的形狀和類型，從而精確求出交線。對(duì)于一些交線退化或相切的情況，用幾何方法可以更加迅速和可靠。在occt中對(duì)應(yīng)的類是IntAna_IntConicQuad。關(guān)于源碼分析可以參考：
OpenCASCADE 平面與球面求交
https://www.cnblogs.com/opencascade/p/PlaneSphere.html
OpenCASCADE 平面求交
https://www.cnblogs.com/opencascade/p/IntAna_PlanePlane.html
4. Conclusion
綜上所述，通過(guò)二次多項(xiàng)式的形式把二次曲線和二次曲面之間的求交問(wèn)題統(tǒng)一成對(duì)將參數(shù)方程代入隱式方程得到問(wèn)題的求解。提供二次曲面幾何求交算法，可以更快地得到結(jié)果。其實(shí)對(duì)于不包含B樣條曲線曲面的模型（如CSG模型）來(lái)說(shuō)，IntAna2d和IntAna已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn)求交，所以對(duì)于這些模型求交計(jì)算很快。
這也解決了我以前的一個(gè)疑問(wèn)：為什么沒(méi)有解析的三維圓錐曲線與曲線求交算法？因?yàn)槿S圓錐曲線本身就是兩個(gè)二次曲面的交線。沒(méi)有像二維圓錐曲線和二次曲面那樣有隱式方程。
5. References
5.1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室. 高等數(shù)學(xué). 第四版 高等教育出版社
5.2 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù). 第四版 高等教育出版社
5.3 潘祖梁, 陳仲慈. 工程技術(shù)中的偏微分方程. 浙江大學(xué)出版社
5.4 丘維聲. 解析幾何. 北京大學(xué)出版社
5.5 孫家廣, 胡事民. 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)教程. 清華大學(xué)出版社
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