OpenCASCADE直線與平面求交
在《解析幾何》相關(guān)的書中都給出了直線和平面的一般方程和參數(shù)方程。其中直線的一般方程有點(diǎn)向式形式的。
由于過空間一點(diǎn)可作且只能作一條直線平行于已知直線，所以當(dāng)直線上一點(diǎn)（x0, y0, z0)和它的一方向向量（m,n,p)為已知時，直線就完全確定了。所以在OpenCASCADE中直線類gp_Lin有一個構(gòu)造函數(shù)：
gp_Lin (const gp_Pnt &P, const gp_Dir &V) 即通過點(diǎn)和方向來構(gòu)造直線。由直線的點(diǎn)向式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程：
其中OpenCASCADE的直線是用參數(shù)方程來表示的。
同理對于平面而言，過空間一點(diǎn)可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線，所以平面的一點(diǎn)（x0,y0,z0)和它的一個法線方向(A, B, C)為已知時，平面就完全確定了。所以平面方程也有點(diǎn)向式的：
從一個點(diǎn)和兩個不共線的向量確定一個平面作為討論的出發(fā)點(diǎn)，可以得出平面的參數(shù)方程：
如上圖所示，已知一個點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，向量v1(x1,y1,z1)和向量v2(x2,y2,z2)，我們來求點(diǎn)M0和向量V1，V2確定的平面方程。點(diǎn)M(x,y,z)在平面上的充要條件是向量M0M與V1, V2共面。因?yàn)橄蛄?/span>V1, V2不平行，所以共面的充要條件是存在唯一的一對實(shí)數(shù)u, v使：
向量M0M和V1，V2共面的充要條件是：
根據(jù)平面的參數(shù)方程可知，要確定一個平面從參數(shù)方程的角度來看需要一個點(diǎn)和兩個方向。從參數(shù)方程推導(dǎo)出一般方程的過程也是計算平面一般方程系數(shù)的方法。
根據(jù)直線的參數(shù)方程及平面的一般方程可以推導(dǎo)出直線與平面交點(diǎn)的計算公式，推導(dǎo)過程如下：
從上面的推導(dǎo)過程可以看出，計算直線與平面的交點(diǎn)主要就是計算參數(shù)t，當(dāng)t求出后代入直線參數(shù)方程即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)。從參數(shù)t的計算公式可知，有個特殊情況就是分母為零的情況，此時是直線與平面平行共面需要特別處理。
在OpenCASCADE中提供了直線與平面求交的計算類IntAna_IntConicQuad，其實(shí)現(xiàn)源碼如下：
void IntAna_IntConicQuad::Perform (const gp_Lin& L, const gp_Pln& P,
const Standard_Real Tolang,
const Standard_Real Tol,
const Standard_Real Len) {
// Tolang represente la tolerance angulaire a partir de laquelle on considere
// que l angle entre 2 vecteurs est nul. On raisonnera sur le cosinus de cet
// angle, (on a Cos(t) equivalent a t au voisinage de Pi/2).
done=Standard_False;
Standard_Real A,B,C,D;
Standard_Real Al,Bl,Cl;
Standard_Real Dis,Direc;
P.Coefficients(A,B,C,D);
gp_Pnt Orig(L.Location());
L.Direction().Coord(Al,Bl,Cl);
Direc=A*Al+B*Bl+C*Cl;
Dis = A*Orig.X() + B*Orig.Y() + C*Orig.Z() + D;
//
parallel=Standard_False;
if (Abs(Direc) < Tolang) {
parallel=Standard_True;
if (Len!=0 && Direc!=0) {
//check the distance from bounding point of the line to the plane
gp_Pnt aP1, aP2;
//
aP1.SetCoord(Orig.X()-Dis*A, Orig.Y()-Dis*B, Orig.Z()-Dis*C);
aP2.SetCoord(aP1.X()+Len*Al, aP1.Y()+Len*Bl, aP1.Z()+Len*Cl);
if (P.Distance(aP2) > Tol) {
parallel=Standard_False;
}
}
}
if (parallel) {
if (Abs(Dis) < Tolang) {
inquadric=Standard_True;
}
else {
inquadric=Standard_False;
}
}
else {
parallel=Standard_False;
inquadric=Standard_False;
nbpts = 1;
paramonc [0] = - Dis/Direc;
pnts[0].SetCoord(Orig.X()+paramonc[0]*Al,
Orig.Y()+paramonc[0]*Bl,
Orig.Z()+paramonc[0]*Cl);
}
done=Standard_True;
}
從上述代碼中可以看出其計算思路也是先計算參數(shù)t，還加了一個特殊用法，即當(dāng)參數(shù)Len!=0且參數(shù)t的分母!=0時重新判斷直線與平面的平行狀態(tài)。這個用法雖然有平行狀態(tài)的重新判斷，但是如果不平行沒有計算交點(diǎn)的處理。所以使用這個函數(shù)時，參數(shù)Len可以用默認(rèn)值0，即不用這段處理邏輯。還有個不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤绞沁@里的實(shí)數(shù)判斷沒有用區(qū)間判斷法。