解析幾何求交之圓與二次曲面

eryar@163.com

Abstract. OpenCASCADE provides the analytic intersection between a conic and a quadric in the package IntAna.

Key Words. Analytic geometry, intersection, coninc, quadric

1. Introduction

OpenCASCADE中的包IntAna提供了解析幾何曲線（二次曲線）與解析曲面（二次曲面）求交、解析曲面與解析曲面求交的功能。其中IntAna分別是Intersection Analytic的前三個(gè)字母縮寫，表示解析幾何求交。

我們學(xué)過了《線性代數(shù)》中的二次型，其中二次型在解析幾何中的一個(gè)應(yīng)用就是二次曲線和二次曲面方程的化簡及其性質(zhì)的分析。

本文主要結(jié)合源碼分析圓與二次曲面求交的實(shí)現(xiàn)，其他二次曲線與二次曲面求交的可以依此類推。

2. Quadratic form

在解析幾何中，為了便于研究二次曲線

的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換

把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式：

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形式中的系數(shù)來分析這個(gè)二次曲線是什么曲線，即圓、橢圓、拋物線、雙曲線。

在OpenCASCADE中解析幾何的二次曲面有以下幾種類型：

l gp_Pln：平面可看作二次曲面的特例

l gp_Sphere：解析球面

l gp_Cylinder：解析柱面

l gp_Cone：解析錐面

這些解析曲面都可以統(tǒng)一使用二次多項(xiàng)式來表示，即這個(gè)二次多項(xiàng)式的系數(shù)確定了一個(gè)二次曲面。OpenCASCADE中相應(yīng)的類是IntAna_Quaric：

3. Math Trigonometric Function Roots

OpenCASCADE中類IntAna_IntConicQuad中提供了二次曲線與二次曲面求交功能，其中計(jì)算圓與二次曲面相交的函數(shù)是：

  //! Creates the intersection between a circle and a quadric.

  Standard_EXPORT IntAna_IntConicQuad(const gp_Circ& C, const IntAna_Quadric& Q);

其實(shí)現(xiàn)原碼中注釋如下：

根據(jù)其注釋，可知其計(jì)算過程如下：將圓的方程在其局部坐標(biāo)系中用參數(shù)形式表示，

將二次曲面方程的系數(shù)也變換到圓的坐標(biāo)系中，因?yàn)閳A的參數(shù)方程中為0，所以將圓的參數(shù)方程代入二次曲面的方程后，和z相關(guān)的項(xiàng)的系數(shù)都可以簡化了。

得到一個(gè)三角函數(shù)的方程后，這時(shí)就要引入基礎(chǔ)模塊中的數(shù)學(xué)工具集來解決問題了。

類math_TrigonometricFunctionRoots主要用于對如下形式的三角函數(shù)方程進(jìn)行求解：

4. Conclusion

對于圓與二次曲面求交的實(shí)現(xiàn)來看，也可以不用變換二次曲面的坐標(biāo)系，直接將圓的參數(shù)方程代入曲面的二次方程中：

最終化簡也可得到一個(gè)三角函數(shù)方程，但是計(jì)算量與變換曲面坐標(biāo)系對比來看會(huì)更大。

從上面的源碼分析可知，在OpenCASCADE中對于解析曲線與曲面求交使用二次多項(xiàng)式系數(shù)來表示的。通過將二次曲線用參數(shù)形式的方程來表示，并代入二次曲面的方程，化簡后直接使用math包中的工具（多項(xiàng)式方程求解和三角函數(shù)求解工具）對方程進(jìn)行求解。

5. References

1. 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)（第四版）. 高等教育出版社

2. 丘維聲. 解析幾何. 北京大學(xué)出版社

 

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