OpenCascade Ruled Surface

eryar@163.com

Abstract. A ruled surface is formed by moving a line connecting points of equal relative arc length or equal relative parametric value on two parametric curves from a start point to a terminate point on the curves. The paper focus on the ruled surface in opencascade.

Key words. OpenCascade, Ruled Surface,直紋面

1.Introduction

《解析幾何》中有關于直紋面Ruled Surface的定義：一曲面S稱為直紋面，如果存在一族直線使得這一族中的每一條直線全在S上。并且S上的每個點都在這一族的某一條直線上。這樣一族直線稱為S的一族直母線。其參數(shù)方程為：

即可以將直紋面看作是曲面對當v=0和1時得到的兩個邊界曲線之間進行線性插值得到的曲面。

Autodesk 3DS Max中的直紋面，圖片來自：

https://knowledge.autodesk.com/support/3ds-max/learn-explore/caas/CloudHelp/cloudhelp/2015/ENU/3DSMax/files/GUID-364FE529-431B-448A-850B-DD9BBECAC90B-htm.html

直紋面是從兩條曲線來構造曲面的方法，Coons曲面是由四邊條界曲線來構造曲面，理解直紋面的構造原理，為進一步理解通用的放樣Sweep造型打下基礎。

2.Ruled Surface Parametric Equation

直紋面的參數(shù)方程也可以寫成如下形式：

直接根據(jù)參數(shù)方程可以定義出相應的直紋面。在OpenCASCADE中話，可以從Geom_Surface派生新的類，并實現(xiàn)相應的虛函數(shù)。如實現(xiàn)計算對應參數(shù)u,v的值的虛函數(shù)D0()等。為了簡單起見，用相應的函數(shù)計算直紋面上的點，并生成OpenCASCADE Draw Test Harness的命令腳本文件，方便在Draw中可視化。

如有名的Mobius Strip也是個直紋面：

Mobius Strip的參數(shù)方程為：

根據(jù)上述參數(shù)方程在OpenCASCADE的Draw生成Mobius Strip，代碼如下所示：

const Standard_Real MOBIUS_RADIUS = 50.0;
void MobiusStrip(Standard_Real theU, Standard_Real theV, gp_Pnt& thePoint)
{
    thePoint.SetX((MOBIUS_RADIUS + theU * Cos(0.5 * theV)) * Cos(theV));
    thePoint.SetY((MOBIUS_RADIUS + theU * Cos(0.5 * theV)) * Sin(theV));
    thePoint.SetZ(theU * Sin(0.5 * theV));
}
void TestMobiusStrip()
{
    std::ofstream aTclFile("d:/mobius.tcl");
    aTclFile << "pload ALL" << std::endl;
    aTclFile << "vinit" << std::endl;
    Standard_Real aWidth = 10.0;
    Standard_Integer aN = 0;
    for (Standard_Real s = -aWidth; s < aWidth; s += 1.0)
    {
        aTclFile << "polyline p" << ++aN ;
        for (Standard_Real t = 0.0; t < M_PI * 2.0; t += 0.01)
        {
            gp_Pnt aPoint;
            MobiusStrip(s, t, aPoint);
            aTclFile << " " << aPoint.X() << " " << aPoint.Y() << " " << aPoint.Z();
        }
        aTclFile << "\n vdisplay p" << aN << std::endl;
    }
    for (Standard_Real t = 0.0; t < M_PI * 2.0; t += 0.2)
    {
        aTclFile << "polyline p" << ++aN;
        gp_Pnt aPoint;
        MobiusStrip(-aWidth, t, aPoint);
        aTclFile << " " << aPoint.X() << " " << aPoint.Y() << " " << aPoint.Z();
        MobiusStrip(aWidth, t, aPoint);
        aTclFile << " " << aPoint.X() << " " << aPoint.Y() << " " << aPoint.Z();
        aTclFile << "\n vdisplay p" << aN << std::endl;
    }
}
int main(int argc, char* argv[])
{
    TestMobiusStrip();
    return 0;
}

在D盤生成一個mobius.tcl腳本文件，直接在Draw Test Harness中輸入命令：

source d:/mobius.tcl

即可得到如下圖所示的Mobius環(huán)：

其他的直紋面只要知道參數(shù)方程，都可以采用這種方法在OpenCASCADE Draw Test Harness中進行顯示。有人也用POV-Ray根據(jù)直紋面的參數(shù)方程來繪制直紋面，效果更不錯。

這是使用參數(shù)方程來表示直紋面的方法，如果知道直紋面的參數(shù)方程，可以從幾何曲面來派生新類Geom_Surface，并實現(xiàn)幾個相關虛函數(shù)，應該可以直接給OpenCASCADE顯示了，這種方法沒有測試。

3.Ruled Surface to B Spline Surface

如果已知直紋面的參數(shù)方程，如何用NURBS曲面來表示直紋面呢？在《非均勻有理B樣條》一書中給出了一種將給定兩條曲線C1,C2轉(zhuǎn)換成直紋面的方法。他給出的限制條件是想要生成在v方向是直線的曲面，即是C1(u)和C2(u)之間的線性插值。而且還要求在兩條曲線的等參數(shù)點之間進行插值。又由于曲面是張量各曲面，兩條邊界曲線C1和C2必須具有相同的次數(shù)，并定義在相同的節(jié)點矢量上，因此表示這樣的直紋面的B樣條轉(zhuǎn)換過程為：

l 確保兩條曲線定義在相同的參數(shù)區(qū)間內(nèi)；

l 確保兩條曲線的次數(shù)相同。如果不同，則將次數(shù)低的曲線升階；

l 確保兩條曲線有相同的節(jié)點矢量。

OpenCASCADE中生成直紋面的是類GeomFill的靜態(tài)函數(shù)Surface()，其實現(xiàn)步驟與上述類似，具體實現(xiàn)的類是GeomFill_Profiler。GeomFill_Profiler是個更通用的類，它可以根據(jù)多條曲線來構造曲面。下面通過Draw Test Harness腳本來根據(jù)兩條曲線構造直紋面。

3.1 根據(jù)兩條直線構造直紋面

# Ruled surface between two lines.

vertex v1 0 0 0
vertex v2 0 8 8
vertex v3 8 0 8
vertex v4 8 8 0
edge e1 v1 v2
edge e2 v3 v4
pruled r1 e1 e2
vdisplay v1 v2 v3 v4 e1 e2 r1

生成直紋面是一個雙線性曲面，如下圖所示：

3.2 根據(jù)兩個圓構造直紋面

# Ruled surface between circle and ellipse.

circle c1 0 0 0 5
circle c2 0 0 10 4
mkedge e3 c1
mkedge e4 c2
pruled r2 e3 e4
vdisplay e3 e4 r2

生成的直紋面是一個圓錐面，效果如下圖所示：

當頂部的圓旋轉(zhuǎn)時會得到如下圖所示的直紋面：

相應的Draw腳本如下：

# Ruled surface between circle and ellipse.

circle c1 0 0 0 5
circle c2 0 0 10 4
mkedge e3 c1
mkedge e4 c2
pruled r2 e3 e4
vdisplay e3 e4 r2
wait 2
trotate e4 0 0 0 0 0 1 30
pruled r2 e3 e4 
vdisplay r2
wait 2
trotate e4 0 0 0 0 0 1 30
pruled r2 e3 e4 
vdisplay r2
wait 2
trotate e4 0 0 0 0 0 1 30
pruled r2 e3 e4 
vdisplay r2

生成的動畫效果如下圖所示：

4.Conclusion

根據(jù)直紋面的參數(shù)方程就可以繪制出相應的曲面，然后如何用B樣條曲面來表示直紋面，需要滿足一定的條件。IGES中定義的直紋面就給出了兩種方式：等弧長和等參數(shù)構造。引用《非均勻有理B樣條》書中對兩種形式的說明如下：一般情況下，連接兩條曲線上相對弧長相等的點會產(chǎn)生一個幾何上不同的曲面，而這樣的曲面不能通過NURBS來表示。因此，要在NURBS的直紋面和IGES的直紋面（Type 118 Form 0/1）之間進行數(shù)學上的精確轉(zhuǎn)換是不可能的。

OpenCASCADE的直紋面也是使用的NURBS表示，所以其也是等參數(shù)形式的直紋面。希望在理解根據(jù)兩條曲線來構造曲面的方法來理解更一般的造型算法，即通過多條曲線來構造曲面的造型方法。

5.References

1. Weisstein Eric W. “Ruled Surface”. http://mathworld.wolfram.com/RuledSurface.html

2. www.ms.uky.edu/~lee/visual05/gallery/ruledsurfaces.doc

3. The Initial Graphics Exchange Specification (IGES) Version 6.0

4. 趙罡, 穆國旺, 王拉柱. 非均勻有理B樣條. 清華大學出版社. 2010

5. 丘維聲. 解析幾何. 北京大學出版社. 1996

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