Topology and Geometry in OpenCascade-Face

eryar@163.com

摘要Abstract：本文簡要介紹了幾何造型中的邊界表示法（BRep），并結合程序說明OpenCascade中的邊界表示的具體實現(xiàn)，即拓樸與幾何的聯(lián)系。對具有幾何信息的拓樸結構頂點（vertex）、邊（edge）、面（face）進行了詳細說明。本文僅對面（Face）進行說明。

關鍵字Key Words：OpenCascade、BRep、Topology、Geometry、Face

一、引言 Introduction

面（Face）由一個外環(huán)和若干個內環(huán)來表示，內環(huán)完全在外環(huán)之內。根據(jù)環(huán)（Wire）的定義，在面上沿環(huán)的方向前進，左側總在面內，右側總在面外。面有方向性，一般用其外法矢方向作為該面的正向。若一個面的法矢向外，稱為正向面；反之，稱為反向面。面的形狀（surface）由面的幾何信息來表示，可以是平面或曲面，平面可用平面方程來描述，曲面可以用控制多邊形或型值點來描述（NURBS曲面），也可用曲面方程（隱式、顯式或參數(shù)形式）來描述。對于參數(shù)曲面，通常在其二維參數(shù)域上定義環(huán)，這樣就可以由一些二維的有向邊來表示環(huán)，集合運算中對面的分割也可在二維參數(shù)域上進行。

OpenCascade中的面結構如下圖所示：

Figure 1.1 OpenCascade Face

根據(jù)其類圖可知，面除了其參數(shù)曲面mySurface外，還包含顯示曲面的剖分（由三角形組成）。當面在著色顯示模式下時會計算出面的三角形?？梢暬乃惴ㄊ怯葿RepMesh::Mesh()來為每個面三角剖分后用來顯示。

二、面 Face

面（Face）是用來描述三維實體邊界的拓樸實體。面是由底層的曲面及一個或多個環(huán)（Wire）來描述。例如，一個圓柱體包含三個面：底面、頂面和側面。每個面都是無限的（無界的）（Geom_Plane和Geom_CylindricalSurface），通過邊界來限定無限的面得到面。即用位于Geom_Circle上的邊形成的環(huán)，限定出底面和頂面。側面包含四條邊：其中兩條邊與頂面和底面其享，剩下的兩條邊是縫合邊（seam edge），參看之前的討論。限定側面的環(huán)包含縫合邊兩次，兩個縫合邊具有不同的朝向。

2.1 曲面 Surface

讓我們簡要回顧一下什么是曲面（surface）。如果你在高中時學過數(shù)學分析（mathematical analysis），那么你可能對這個概念已經熟記于心。如果沒學過，那么可能需要讀些文章來自學。在wikipedia上有關于參數(shù)曲面的簡單例子。

曲面將二維參數(shù)空間{u, v}映射到三維空間。如下圖所示：

Figure 2.1 Map parameter space{u, v} into 3D space

參數(shù)區(qū)間可以有界，也可以是無界的，也可以只在一個方向上有界。如平面（Plane）的參數(shù)空間是無界的；NURBS是有界的；圓柱面（Cylindrical Surface）在U方向上有界（U∈[0，2π]），在V方向上是無界的。

Geom_Surface::Value()返回一個對應于參數(shù)空間中的參數(shù)（U，V）的空間點（X，Y，Z）。例如：地球上的任意一點都由緯度（V）和經度（U）表示，但是在世界坐標系中可以看作三維點（假如地球的中心定義為原點）。這個函數(shù)是純虛函數(shù)，所有派生自Geom_Surface的類都有對這個函數(shù)的實現(xiàn)，使計算各種曲面上對應參數(shù)的空間點的方式統(tǒng)一。

讓我們回想一下，邊必須具有三維曲線（3D Curve）和曲面空間中的參數(shù)曲線（pcurve）。而OpenCascade要求面的邊界（環(huán)wire）在三維和二維空間中必須是閉合的。因此，圓柱的側面是采用前面我們討論的那樣來描述的。

2.2 朝向 Orientation

面的朝向表示面的法向與曲面法向之間的關系（Face orientation shows how face normal is aligned with its surface normal）。若面的朝向是TopAbs_FORWARD（向前），則面的法向與曲面的法向一致；若面的朝向是TopAbs_REVERSED（反向），則面的法向與曲面的法向相反。面的法向表示材質的位置，材料位于面的背面。在正確描述的實體中，所有面的法向都是向外的，如下圖所示：

Figure 2.2 In a correct solid body all face normals go outward

面上的材料是由邊的朝向確定的。方向是由曲面不是面（）的法向和邊的微分的叉積確定。若邊的朝向向前，則邊的導數(shù)等于它的三維曲線的導數(shù)；若邊的朝向反向，則邊的導數(shù)與它的三維曲線的導數(shù)相反。也許考慮邊的參數(shù)曲線會更易于理解：假如邊是向前的，材料在它的左側，假如是反向的，則材料在它的右側。這讓我想起了格林公式中對平面區(qū)域的邊界曲線正向的規(guī)定：對平面區(qū)域D的邊界曲線L，我們規(guī)定L的正向如下：當觀察者沿L的這個方向行走時，D內在他附近處的那一部分總在他的左邊。

Figure 2.3 Orientation of the edge

當用積分區(qū)域的概念來理解邊的朝向時好像要容易些。把參數(shù)空間看作積分區(qū)域D，其中藍色的邊表示材料在參數(shù)曲線的右側；紅色的邊表示材料在邊的左側。

2.3 容差 Tolerance

面的容差的幾何意義是包圍面的一個具有厚度的板。如下圖所示：

Figure 2.4 Face Tolerance

與邊和頂點的容差相比，建模算法中用到面的容差的情況相對要少。通常都使用默認值Precision::Confusion()。通常情況下，OpenCascade要求注意以下條件：

當邊位于面上，頂點位于邊上時，面的容差<=邊的容差<=頂點的容差。

2.4 三角剖分 Triangulation

除了面的參數(shù)表示，為了面的顯示，需要對面進行三角剖分，剖分得到的三角形也保存在面的數(shù)據(jù)結構中。當在著色渲染模式下時，可視化算法內部調用了BRepMesh::Mesh()來對每個面進行三角剖分，并將三角剖分得到的三角形加到面的數(shù)據(jù)結構中。

2.5 附加位置 Additional location

與邊和頂點不同，面有附加位置信息（TopLoc_Location），它是面（BRep_TFace）的成員變量。所以，在使用底層曲面或三角剖分得到的三角形時，不要忘了將其考慮進去。

三、示例程序 Example Code

3.1 底層創(chuàng)建面并訪問其數(shù)據(jù) Creating a face bottom-up and accessing the data

與創(chuàng)建邊和頂點一樣，需要類BRep_Builder和Brep_Tool來從底層創(chuàng)建面和訪問面中的數(shù)據(jù)。代碼如下所示：

 1 BRep_Builder aBuilder; 
 2 TopoDS_Face aFace; 
 3 
 4 aBuilder.MakeFace (aFace, aSurface, Precision::Confusion()); 
 5 
 6  
 7 
 8 TopLoc_Location aLocation; 
 9 Handle(Geom_Surface) aSurf = BRep_Tool::Surface (aFace, aLocation); 
10 
11 gp_Pnt aPnt = aSurf->Value (aU, aV).Transformed (aLocation.Transformation()); 
12 
13 //or to transform a surface at once 
14 //Handle(Geom_Surface) aSurf = BRep_Tool::Surface (aFace); 
15 //gp_Pnt aPnt = aSurf->Value (aU, aV); 
16 Handle(Poly_Triangulation) aTri = BRep_Tool::Triangulation (aFace, aLocation); 
17 
18 aPnt = aTri->Nodes.Value (i).Transformed (aLocation.Transformation()); 
19 
20 

一定要考慮面的附加位置信息。

四、結論 Conclusion

面是邊界表示法BRep中有幾何數(shù)據(jù)的最后一個拓樸結構。為了面的顯示，需要對其進行三角剖分，三角剖分后的數(shù)據(jù)也是保存在面的數(shù)據(jù)結構中。面還有附加位置數(shù)據(jù)需要考慮，若不考慮附加位置，剖分后的三角形都是相對于原點的。

從底層創(chuàng)建面和訪問面的屬性數(shù)據(jù)，與頂點和邊一樣，使用類BRep_Builder和類BRep_Tool來實現(xiàn)。

五、參考資料 

1. Roman Lygin, OpenCascade notes, opencascade.blogspot.com

2. 孫家廣等. 計算機圖形學. 清華大學出版社

3. OpenCascade source code.