OpenCASCADE Rational Bezier Curves

eryar@163.com

Abstract. Although polynomials offer many advantages, there exist a number of important curve and surface types which cannot be represented precisely using polynomials, e.g., circles, ellipses, hyperbolas, cylinders, cones, spheres, etc. So we introduce the concepts of rational curves and homogeneous coordinates to solve the problem. To understand rational curves in a homogenous coordinate system is more straightforward. If you define irrational Bezier curves in 4D space and then project them back into 3D space, you obtain rational curves.

Key Words. OpenCASCADE, Rational Curves, Homogenous Coordinate, Geom_BezierCurve

1. Introduction

由于采用了Berstein基函數(shù)，Bezier曲線具有許多良好的性質(zhì)。但是作為多項式曲線，在表示一些“基本”曲線時還是有所不足。例如半徑為1的圓弧曲線，其參數(shù)方程可表示為：

圓弧曲線并不是多項式曲線，所以Bezier曲線不可能精確表示像圓弧這樣的簡單曲線。經(jīng)過參數(shù)變換t=tan(u/2)，可以把上面的圓弧表示為：

這說明可以用有理多項式來精確表示圓弧曲線。事實上，有很多重要的曲線、曲面類型，如圓、橢圓、雙曲線、圓柱面、圓錐面、球面等，都無法用Bezier來精確表示。由經(jīng)典數(shù)學(xué)可知，包括圓在內(nèi)的所有二次曲線都可以用有理函數(shù)（即兩個多項式相除）來表示，即如下形式的有理函數(shù)來表示：、

本文主要從齊次坐標(biāo)的表示法上來理解有理Bezier曲線的概念，及結(jié)合OpenCASCADE中的Bezier曲線來理解權(quán)因子的幾何意義。

2. Homogeneous Coordinates

在《計算幾何》、《計算機(jī)圖形學(xué)》或《計算機(jī)輔助幾何造型技術(shù)》等書中，都會給出有理曲線的齊次坐標(biāo)（Homogeneous Coordinates）表示法，藉此來從幾何上直觀理解有理曲線的意義。剛開始接觸齊次坐標(biāo)的概念時，很不能理解，原來這是射影幾何中的一些概念。對此概念陌生的讀者可以參考丘維聲的《解析幾何》，其中對齊次坐標(biāo)、交比等概念作了詳細(xì)解釋。

現(xiàn)在我們來說明齊次坐標(biāo)與仿射坐標(biāo)的關(guān)系。設(shè)點M是平面上的通常點，(x,y)是它對于標(biāo)架[O1:e1,e2]的仿射坐標(biāo)，則對于標(biāo)架[O2:e1,e2,e3]的坐標(biāo)就是(x,y,1)，于是點M的齊次坐標(biāo)(x1,x2,x3)與(x,y,1)成比例：

其中λ≠0.從而得：

因此，通常點的齊次坐標(biāo)和仿射坐標(biāo)可以互相確定。有時我們把通常點M的仿射坐標(biāo)(x,y)稱為它的非齊次坐標(biāo)。

從四維Euclidean空間的齊次坐標(biāo)到三維Euclidean空間的中心投影變換

這里三維空間的點[X，Y，Z]稱為四維空間點[X，Y，Z，ω]的透視像，就是四維空間點[X，Y，Z，ω]在ω＝1超平面上的中心投影，其投影中心就是四維空間的坐標(biāo)原點。因此四維空間點[X，Y，Z，ω]與三維空間點[X，Y，Z]被認(rèn)為是同一點。事實上，對任意X，Y，Z，ω1，ω2，其中ω1≠ω2，有：

由上可知：一個點的齊次坐標(biāo)不是唯一的。

在CAGD中描述形狀的空間曲線與曲面都要用到三維空間。但是人類思維能力的限制，我們無法用圖形或模型來表達(dá)從四維空間到三維空間的投影變換關(guān)系。為了理解這種投影變換的幾何關(guān)系，我們可以降低一維，考察從三維到二維空間的投影變換，如下圖所示為三維空間的齊次坐標(biāo)到二維空間的投影。

Figure 2.1 A representation of Euclidean points to homogeneous form

關(guān)于中心投影、射影平面、齊次坐標(biāo)、變比等概念，可參考丘維聲的《解析幾何》一書。

3. Bezier Curve Perspective Map

在理解射影變換（Perspective Map）及齊次坐標(biāo)的概念后，可以構(gòu)造有理Bezier曲線的幾何模型。現(xiàn)假設(shè)給定控制點{Pi}，權(quán)因子{ωi}，我們構(gòu)造帶權(quán)控制點：

然后在四維空間中定義非有理（即多項式）Bezier曲線：

將帶權(quán)控制點代入上式詳細(xì)寫出每一項得：

以原點為中心，將四維的Bezier曲線投影到ω＝1的三維超平面上，所得到的投影曲線為：

消去λ即得到有理Beizer曲線：

4. The Effects of Weighting Factors

有理Bezier曲線除了具有類似于Bezier曲線的性質(zhì)外，還增加了關(guān)于“權(quán)因子”(Weights)的調(diào)整性質(zhì)。

4.1 可退化性

當(dāng)權(quán)因子ωi＝ω≠0時（i=0,1,...,n），有理Bezier曲線退化成Bezier曲線。因為ω相同，所以有理Bezier曲線公式中的ω可以消去，又根據(jù)Bernstein基函數(shù)的規(guī)范性即得。使用OpenCASCADE的Tcl腳本測試效果如下圖所示：

Figure 4.1 Degeneracy of Rational Bezier Curve

相應(yīng)的Tcl腳本如下所示：

上述Tcl腳本中先把權(quán)值相同的有理Bezier曲線顯示在二維窗口中，再將不帶權(quán)的Bezier曲線（控制節(jié)點與帶權(quán)值相同），先生成Edge，再在三維窗口中顯示出來。由圖可知，當(dāng)有理Bezier曲線的權(quán)值相同時，即退化為非有理的Bezier曲線。

4.2 當(dāng)ω0≠0，ωn≠0時，對任意u∈[0,1]，

只需證明u∈[0,1]的情況，

這說明只要ω0≠0，ωn≠0，有理Bezier曲線R(u)一定通過首末控制頂點P0和Pn。對u∈[0,1]，當(dāng)ωi越大，R(u)越趨向于Pi；反之，當(dāng)ωi越小，R(u)越遠(yuǎn)離Pi。

可以看出ωi→∞的極限狀態(tài)時，R(u)即過通過Pi。使用OpenCASCADE的Tcl腳本來驗證得到如下圖所示結(jié)果：

Figure 4.2 Rational Bezier Curve with different Weights

相應(yīng)的Tcl腳本如下所示：

上述代碼顯示了一條三個控制頂點2次的有理Bezier曲線當(dāng)控制頂點P(1,1)對應(yīng)的權(quán)因子ω變化時的不同的情況。當(dāng)ω增大時，導(dǎo)致曲線被拉向控制頂點；當(dāng)ω減小時，導(dǎo)致曲線被推離控制頂點。當(dāng)ω趨于無窮大時，此時曲線將退化為與控制頂點重合的一個點。

5. Bezier Geometry Curve

OpenCASCADE中的Bezier曲線Geom_BezierCurve本身就是有理Bezier曲線，且都是基于BSplCLib包實現(xiàn)的。即有理Beizer曲線也是NURBS曲線的特例。如下圖所示：

當(dāng)構(gòu)造函數(shù)只有控制頂點時，將會構(gòu)造一個非有理的Beizer曲線。當(dāng)構(gòu)造函數(shù)將控制頂點對應(yīng)的權(quán)因子也設(shè)置進(jìn)來時，將會構(gòu)造一個有理Bezier曲線。當(dāng)構(gòu)造有理Beizer曲線時，若控制頂點的所有權(quán)值都相同，則認(rèn)為是非有理Bezier曲線，即退化性質(zhì)的體現(xiàn)。

6. Conclusion

綜上所述，由齊次坐標(biāo)表示法來理解有理Bezier曲線的概念還是比較直觀的，進(jìn)而可以去理解NURBS曲線曲面的概念。

有理Beizer曲線與非有理Bezier曲線的區(qū)別就是權(quán)因子。若控制點對應(yīng)的權(quán)因子都相同時，有理Beizer曲線退化為非有理Bezier曲線。且權(quán)因子的值越大，則曲線越接近對應(yīng)的控制頂點。權(quán)因子對曲線還有很多重要性質(zhì)，讀者可以參考其他相關(guān)書籍。

OpenCASCADE中的Beizer曲線是基于BSplCLib包實現(xiàn)的，即是NURBS曲線的特例。所以可以表示有理有非有理的Bezier曲線。

7. References

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