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我的SICP習題答案(1.10)

首先,可以寫出這個函數的函數式:

            0,   y = 0;
f(x,y) =    2y,  x = 0;
            2,   y = 1;
            f(x-1, f(x, y-1));

那么,對于 f(0,n), n>=0
當   n >= 1 時, f(0,n) = 2n ,
而當 n =  0 時, f(0,0) = 0 = 2*0, 也滿足 2n ,
故 f(0,n) = 2n, n>=0.

對于f(1,n), n>=1
當 n > 1 時,有 f(1,n) = f(0, f(1, n-1)) = 2*f(1,n-1),
設 f(1,n) = 2^n
if   n = 1,    f(1,1)    = 2 = 2^1
when n > 1, if f(1,n-1)  = 2^(n-1)
then f(1,n) = 2*f(1,n-1) = 2*(2^(n-1)) = 2^n
故 f(1,n) = 2^n, n>0.

對于f(2,n), n>0
if n > 1 ,then f(2,n) = f(1, f(2, n-1)) = 2^f(2,n-1),
設 f(2,n) = 2^(2^(... (n 個 2)
if   n = 1, then f(2,1)  = 2
when n > 1, if f(2, n-1) = 2^(2^(...        (n-1)
then f(2,n) = 2^f(2,n-1) = 2^(2^(

這樣我們對于 (A 1 10) = 2^10 = 1024, (A 2 4) = 2^(2^(2^2)) = 2^16 = 65536
而 (A 3 3) = (A 2 A(3 2)) = A(2 A(2 A(2 1))) = (A 2 4) = 2^16 = 65536

(f n) = (A 0 n) = 2n
(g n) = (A 1 n) = 2^n
(h n) = (A 2 n) = 2^(2^(...      (n個2)

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在網上可以找到關于 Ackermann 函數的討論,主要是針對這個雙遞歸如何用迭代來實現,Ackermann 函數是 德國數學家W.Ackermann 在1928年提出的。在 WikiPedia 英文版上可以搜索 Ackermann function 詞條,有詳細介紹,不過這個Ackermann function 略有不同。如下圖:


posted on 2008-03-11 23:33 cuigang 閱讀(1504) 評論(0)  編輯 收藏 引用 所屬分類: Lisp/Scheme我的SICP答案

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