這兩天在準備面試，然后復(fù)習(xí)了下數(shù)學(xué)的東西，好多東西以前基礎(chǔ)不好，就是走馬觀花的看一下，過了一段時間立馬就忘記了，索性記下來的好。這里的3D空間都是右手坐標(biāo)系，向量為列為主
一,法線變換乘WorldView矩陣的逆的轉(zhuǎn)置
肯定不是直接乘worldView矩陣了，推導(dǎo)其實很簡單，（像我這樣腦子不行的只能看完了感慨了）設(shè)原mesh上一個頂點為v,其法線為n，WorldViewMatrix為Mwv,那么在object space里，滿足v dot n == 0,以此我們可以換個形式表示，也就是(v)T * n == 0, (1x4和4x1的矩陣相乘實際就是點乘了)，那么在變換之后，設(shè)變化后的頂點為v'，變換后的法線為n'，那么同樣也需要滿足這個條件，
(v')T * n' == 0, 而v' = Mwv * v,
代入=> (Mwv * v)T * n' == 0 => vT * MwvT * n' == 0, 而n'等于Mn * n(我們要求的),
=>vT * （MwvT * Mn ）* n == 0 ，而(v)T * n == 0， 那么中間的（MwvT * Mn ）== I => Mn = (MwvT)-1,而因為方陣（當(dāng)然得有逆的情況。。）的逆的轉(zhuǎn)置等于轉(zhuǎn)置的逆，所以就能證明出來咯～。我剛想了下，應(yīng)該行為主的結(jié)果也是一樣的，這里錯了話，望糾正。
二，判斷點是否在三角形內(nèi)準備筆試的時候正好看到這道題，以前在ogre代碼里也看到過，但原理沒深究過，google中文搜了下，貌似沒什么講的很好的，英文一搜就搜到了很多非常詳細的。這里就做個整理吧，省得和我一樣的搜兩次了～～。設(shè)三角形ABC，點為P，（向量我就寫成行形式了～）
1，面積法，基本上是最直接低效的，點P如果在三角形內(nèi)，則分割的三個三角形面積和等于ABC面積，這個不說了。
2，網(wǎng)上最常見的，所謂的2D叉乘法，實際上叉乘是不存在于2D空間的，只存在于3D和7D（！。。這個沒細看。反正wiki還是哪里看到的），但2D空間里我們可以用一點小技巧，就是假設(shè)一個垂直于xy平面的z軸，那么2D平面的z值則一直為0，設(shè) 向量B-A為V1（x1,y1,z1）,向量P-A為V2（x2,y2,z2）,根據(jù)3D叉乘公式，(x1,y1,z1) X (x2,y2,z2) = (y1z2 - y2z1, x1z2-x2z1, x1y2-x2y1),由于z為0，那么x,y則為0,所以實際2d叉乘值就是z值，其實我們得到的還是一個向量，它垂直于我們2d空間的xy平面，不管是順時針還是逆時針，我們只要按一個方向同樣再對另外兩邊做同樣的叉乘，只要得到的這三個值符號一致，這就說明點P在三角形三邊的同一側(cè)，也就是在三角形內(nèi)了，其實再想想，只需要確定在兩條邊的同側(cè)，那么就是在三角形內(nèi)了。
3，重心法，從二維空間上看，我們可以把p當(dāng)乘以以三角形一個頂點的兩條邊向量乘以兩個標(biāo)量權(quán)重的和，設(shè)這兩個權(quán)重為u，v，只要u,v大于0，且和小于1，那么P就在三角形內(nèi)，所以我們下來就是求出u,v了：
=>P = A + u * (C - A)+ v * (B - A), u,v這也就是三角形的重心坐標(biāo)系坐標(biāo),這就是個二元一次方程，這里我們化簡下，設(shè)P-A為v2， C - A為v0，B - A為v1，
=>v2 = u * v0 + v*v1, 乘v0,v1我們就能得到兩個方程
=>v2 * v0 = (u * v0 + v*v1)* v0, (1)
v2 * v1 = (u * v0 + v*v1)* v1, (2)
略化簡。。
=>u = ((v1 * v1)(v2 * v0) - (v1 * v0)(v2 * v1))/(((v0 * v0)(v1 * v1) - (v0 * v1)(v1 * v0))
v = ((v0 * v0)(v2 * v1) - (v0 * v1)(v2 * v0))/(((v0 * v0)(v1 * v1) - (v0 * v1)(v1 * v0))