題意: 給一個(gè)正八面體，有只螞蟻要從面上一點(diǎn)走到另一點(diǎn)，只能沿表面走，求最短距離。
為了討論方便,首先給所有頂點(diǎn)標(biāo)號(hào),如圖所示.



分四類(lèi)討論：
1)共面情況( 兩點(diǎn)都在面ABC上 )
兩點(diǎn)之間直線(xiàn)最短, 這時(shí)直接計(jì)算兩點(diǎn)之間距離

2)相鄰面情況(一點(diǎn)在面ABC上, 一點(diǎn)在面ACD上 )
最短路徑只可能是兩個(gè)相鄰面攤開(kāi)的直線(xiàn)距離,如圖所示:


其他路徑可以反射到這兩個(gè)面上證明他們不是最優(yōu)的.例如:

紅線(xiàn)路徑和黃線(xiàn)路徑是等價(jià)的,而紅線(xiàn)路徑顯然沒(méi)有前一幅圖的藍(lán)線(xiàn)路徑優(yōu).


3)同在上側(cè)的“對(duì)立面”情況( 一點(diǎn)在面ABC上, 一點(diǎn)在面ADE上 ).
最優(yōu)情況有兩種:

• 從 面ABC 到 面ACD 到 面ADE
• 從 面ABC 到 面ABE 到 面ADE

同2)一樣利用反射的方法可以證明其他走法不是最優(yōu)的.

4)嚴(yán)格“對(duì)面”情況(一點(diǎn)在面ABC上, 一點(diǎn)在面DEF上 )。

枚舉所有可能的六種情況.


其他的情況都可以通過(guò)坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化成這四種情況