母函數（Generating function）詳解
前段時間寫了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包詳解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一個和大家一樣學習的人，寫這些文章的目的只是為了一是希望讓大家學的輕松，二是讓自己復習起來更方便。
(以下內容部分引至杭電ACM課件和維基百科)
在數學中，某個序列的
母函數是一種
形式冪級數，其每一項的
系數可以提供關于這個序列的信息。使用母函數解決問題的方法稱為
母函數方法。
母函數可分為很多種，包括普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個類型的一個母函數。構造母函數的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函數視乎序列本身的特性和問題的類型。
這里先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：
“把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來”
“母函數的思想很簡單—就是把離散數列和冪級數一一對應起來，把離散數列間的相互結合關系對應成為冪級數間的運算關系，最后由冪級數形式來確定離散數列的構造. “
我們首先來看下這個多項式乘法：
由此可以看出:
1. x的系數是a1,a2,…an的單個組合的全體。
2. x2的系數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。
………
n. xn的系數是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。
由此得到：
母函數的定義：
對于序列a0，a1，a2，…構造一函數：
稱函數G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函數
這里先給出2個例子，等會再結合題目分析：
第一種：
有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？
考慮用母函數來接吻這個問題：
我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：
1個1克的砝碼可以用函數1+x表示，
1個2克的砝碼可以用函數1+x2表示，
1個3克的砝碼可以用函數1+x3表示，
1個4克的砝碼可以用函數1+x4表示，
上面這四個式子懂嗎？
我們拿1+x2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示重量，即這里就是一個質量為2的砝碼，那么前面的1表示什么？1代表重量為2的砝碼數量為0個。（理解！）
不知道大家理解沒，我們這里結合前面那句話：
“把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來”
1+x2表示了兩種情況：1表示質量為2的砝碼取0個的情況，x2表示質量為2的砝碼取1個的情況。
這里說下各項系數的意義：
在x前面的系數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這里可不能簡單的認為相應砝碼取0個就該是0*x2(想下為何？結合數學式子)。
Tanky Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/
所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？
幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函數的乘積表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
從上面的函數知道：可稱出從1克到10克，系數便是方案數。（！！！經典！！！）
例如右端有2x5 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1 。
接著上面，接下來是第二種情況：
求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：
大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是一個，而這里每種是無限的。
以展開后的x4為例，其系數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數為4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
這里再引出兩個概念整數拆分和拆分數：
所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當于把n個無區別的球放到n個無標志的盒子，盒子允許空，也允許放多于一個球）。
整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。
現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例，給出
模板：
1
2
3
4
5
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7
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20
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#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001;
// c1是保存各項質量砝碼可以組合的數目
// c2是中間量，保存沒一次的情況
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{ //int n,i,j,k;
int nNum; //
int i, j, k;
while(cin >> nNum)
{
for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ①
{
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②
{
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③
for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④
{
c2[j+k] += c1[j];
}
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
cout << c1[n] << endl;
}
return 0;
}
|
我們來解釋下上面標志的各個地方：
① 、首先對c1初始化，由第一個表達式(1+x+x2+..xn)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.
② 、 i從2到n遍歷，這里i就是指第i個表達式，上面給出的第二種母函數關系式里，每一個括號括起來的就是一個表達式。
③、j 從0到n遍歷，這里j就是只一個表達式里第j個變量，比如在第二個表達式里：(1+x2+x4….)里，第j個就是x2*j.
③ k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表達式的增量是i）。
④ 、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從一個表達式中開始的
咱們趕快趁熱打鐵，來幾道題目：
（相應題目解析均在相應的代碼里分析）
1. 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
代碼：http://www.wutianqi.com/?p=587
這題大家看看簡單不？把上面的模板理解了，這題就是小Case!
看看這題：
2. 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
代碼：http://www.wutianqi.com/?p=590
要說和前一題的區別，就只需要改2個地方。 在i遍歷表達式時（可以參考我的資料—《母函數詳解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍歷指數時把k+=i變成了k+=i*i; Ok,說來說去還是套模板~~~
3. 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
代碼：http://www.wutianqi.com/?p=592
這題終于變化了一點，但是萬變不離其中。
大家好好分析下，結合代碼就會懂了。
4. 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
代碼：http://www.wutianqi.com/?p=594
還有一些題目，大家有時間自己做做：
HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152
附：
1.在維基百科里講到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0
2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函數：
http://www.matrix67.com/blog/archives/120
3.大家可以看看杭電的ACM課件的母函數那篇，我這里的圖片以及一些內容都引至那。
文章暫時講完后，隨著以后更深入的了解，我會把資料繼續完善，供大家一起學習探討。(我的博客—Tanky Woo的程序人生：www.wutianqi.com ，大家幫我支持下博客吧，如果大家有問題或者資料里的內容有錯誤，可以留言給出，謝謝您的支持。)
Tanky Woo
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原文下載地址：
http://download.csdn.net/source/2591324