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HDOJ 2147 HDU 2147 kiki's game ACM 2147 IN HDU

MiYu — Tue, 10 Aug 2010 12:48:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147
题目描述:

kiki's game

Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 40000/1000 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1806 Accepted Submission(s): 1055

Problem Description
Recently kiki has nothing to do. While she is bored, an idea appears in his mind, she just playes the checkerboard game.The size of the chesserboard is n*m.First of all, a coin is placed in the top right corner(1,m). Each time one people can move the coin into the left, the underneath or the left-underneath blank space.The person who can't make a move will lose the game. kiki plays it with ZZ.The game always starts with kiki. If both play perfectly, who will win the game?

Input
Input contains multiple test cases. Each line contains two integer n, m (0<n,m<=2000). The input is terminated when n=0 and m=0.

Output
If kiki wins the game printf "Wonderful!", else "What a pity!".

Sample Input
5 3
5 4
6 6
0 0

Sample Output
What a pity!
Wonderful!
Wonderful!

题目分析:

一直WA , 分析也没分析出来 , 癑ֺ�了一下别人的解题报告�?............我承�?...我被征服�?....................

分析如下:

P点：��是P个石子的时候，�Ҏ��拿可以赢(自己输的)

N点：��是N个石子的时候，自己拿可以赢

现在关于P,N的求解有三个规则

�Q?�Q�：最�l�态都是P

�Q?�Q�：按照游戏规则�Q�到辑ֽ�前态的前态都是N的话�Q�当前态是P

�Q?�Q�：按照游戏规则�Q�到辑ֽ�前态的前态至��有一个P的话�Q�当前态是N

题意�Q?/p>

在一个m*n的棋盘内�Q�从(1,m)点出发，每次可以�q�行的移动是�Q�左�U�M��Q�下�U�M��Q�左下移一。然后kiki每次先走�Q�判断kiki时候会赢（�Ҏ��无�\可走的时候）�?/p>

我们可以把PN状态的�Ҏ��l�出来：�Q?/p>

�q�些点的描绘有一个程序：�Q?/p>

�?/p>

#include
using namespace std;
bool map[2001][2001];//1 P 0 N;
int main(){
       int i,j,k;
       map[1][1]=1;
       for(i=2;i<=2000;i++)
       {
              if(map[i-1][1])
                     map[i][1]=0;
              else map[i][1]=1;
              for(j=2;j                     if(!map[i][j-1]&&!map[i-1][j-1]&&!map[i-1][j])
                            map[i][j]=1;
                     else map[i][j]=0;
              }
              if(map[1][i-1])
                     map[1][i]=0;
              else map[1][i]=1;
              for(j=2;j                     if(!map[j-1][i]&&!map[j-1][i-1]&&!map[j][i-1])
                            map[j][i]=1;
                     else map[j][i]=0;
              }
              if(!map[i][i-1]&&!map[i-1][i-1]&&!map[i-1][i])
                     map[i][i]=1;
              else map[i][i]=0;
       }
       int M,N;
       for(i=1;i<=10;i++){
              for(j=1;j<=10;j++)
                     printf("%c ",map[i][j]?'P':'N');
              printf("\n");
       }
       while(scanf("%d%d",&M,&N)&&M&&N){
              if(map[M][N]) printf("What a pity!\n");
              else printf("Wonderful!\n");
       }
       return 0;
}

�?/p>

具体代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;
int main ()
{
    int n,m;
    while ( cin >> n >> m , n + m )
    {
          puts ( n%2 && m % 2 ? "What a pity!" : "Wonderful!");
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-10 20:48 发表评论

HDOJ HDU 2149 Public Sale ACM 2149 IN HDU

MiYu — Mon, 09 Aug 2010 14:22:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2149
题目描述:

Public Sale

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 719 Accepted Submission(s): 419

Problem Description
虽然不想�Q�但是现实��d��是现实，Lele始终没有逃过退学的命运�Q�因��Z��没有拿到奖学金。现在等待他的，��是像FarmJohn一��L��农田生��?br>
要种田得有田才行�Q�Lele听说街上正在举行一场别开生面的拍卖会�Q�拍卖的物品正好��是一�?0亩的田地。于是，Lele带上他的全部�U�蓄�Q�冲往拍卖会�?br>
后来发现�Q�整个拍卖会只有Lele和他的死对头Yueyue�?br>
通过打听�Q�Lele知道�q�场拍卖的规则是�q�样的：刚开始底价�ؓ0�Q�两个�h轮流开始加��P��不过每次加�h的幅度要�?～N之间�Q�当��h��大于或等于田地的成本�?nbsp;M �Ӟ��d��方就把这块田地卖�l�这�ơ叫��L��人�?br>
Lele和Yueyue虽然考试不行�Q�但是对拍卖却十分精通，而且他们两个人都十分惛_��到这块田地。所以他们每�ơ都是选对自己最有利的方式进行加仗��?br>
�׃��Lele字典序比Yueyue靠前�Q�所以每�ơ都是由Lele先开始加��P��请问�Q�第一�ơ加��L��时候，
Lele要出多少才能保证自己买得到这块地呢？

Input
本题目包含多�l�测试，请处理到文�g�l�束(EOF)。每�l�测试占一行�?br>每组��试包含两个整数M和N(含义见题目描�q�ͼ�0<N�Q�M<1100)

Output
对于每组数据�Q�在一行里按递增的顺序输出Lele�W�一�ơ可以加的�h。两个数据之间用�I�格隔开�?br>如果Lele在第一�ơ无论如何出价都无法买到�q�块土地�Q�就输出"none"�?br>

Sample Input
4 2
3 2
3 5

Sample Output
1
none
3 4 5

题目分析:

��单的Bash 博弈. 按题意控制好输出 ��p��?, 不清楚请点击博弈入门

代码如下:

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include <iostream>
int main ()
{
    int n,m;
    while ( scanf ( "%d%d", &m, &n ) != EOF )
    {
            if ( m % ( n + 1 ) == 0 )
            {
                 puts ( "none" );
            }
            else
            {
                 if ( n >= m )
                 {
                      for ( int i = m; i <= n; ++ i )
                      {
                            printf ( i == m ? "%d" : " %d",i );
                      }
                      putchar ( '\n' );
                 }
                 else
                 {
                      printf ( "%d\n", m % ( n + 1 ) );
                 }
            }
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-09 22:22 发表评论

HDOJ HDU 2188 悼念512汶川大地震遇隑֐�胞——选拔志愿�?ACM 2188 IN HDU

MiYu — Mon, 09 Aug 2010 13:37:00 GMT

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题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2188
题目描述:

悼念512汶川大地震遇隑֐�胞——选拔志愿�?br>
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1337 Accepted Submission(s): 716

Problem Description
对于四川同胞遭受的灾难，全国人民�U�L��伸出援助之手�Q�几乎每个省市都�z�և�了大量的救援人员�Q�这其中包括抢险救灾的武警部队，�ȝ��和防疫的��L��人员�Q�以及进行心理疏导的心理学专家。根据要求，我校也有一个奔赴灾区救灄��名额�Q�由于广大师生报名踊跃，学校不得不进行选拔来决定最后的人选。经�q�多轮的考核�Q��Ş劉K��渐明朗�Q�最后的名额��在“林队”�?#8220;徐队”之间产生。但是很巧合�Q?个�h的简历几乎一模一��P��q�让��L��选拔�?600很是为难。无奈，他决定通过捐款来决定两��能入选�?br>选拔规则如下�Q?br>1、最初的捐款��是�I�的�Q?br>2、两��捐�ƾ，每次捐款额必��Mؓ正整敎ͼ��q�且每�h每次捐款最多不��过m�?1<=m<=10)�?br>3、最先��得��L��N��辑ֈ�或者超�q�n元（0<n<10000�Q�的一方�ؓ胜者，则其可以亲�ʎ灑֌�服务�?br>我们知道�Q�两人都很想入选志愿者名单，�q�且都是非常聪明的�h�Q�假设林队先捐，请你判断谁能入选最后的名单�Q?br>

Input
输入数据首先包含一个正整数C�Q�表�C�包含C�l�测试用例，然后是C行数据，每行包含两个正整数n�Q�m�Q�n和m的含义参见上面提到的规则�?br>

Output
对于每组��试数据�Q�如果林队能入选，误��出字�W�串"Grass"�Q?nbsp;如果徐队能入选，误��出字�W�串"Rabbit"�Q�每个实例的输出占一行�?br>

Sample Input
2
8 10
11 10

Sample Output
Grass
Rabbit

题目分析:

非常非常标准�?bash 博弈, 只要�?捐款看成取款��p��? 谁最后取光钱谁就�? 更多资料��L��?nbsp; 博弈入门

代码如下:

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include <iostream>
int main ()
{
    int T;
    scanf ( "%d",&T );
    {
            while ( T -- )
            {
                    int n,m;
                    scanf ( "%d%d", &n, &m );
                    puts ( n % ( 1 + m ) != 0 ? "Grass" : "Rabbit" );
            }
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-09 21:37 发表评论

HDOJ HDU 1847 Good Luck in CET-4 Everybody! ACM 1847 IN HDU

MiYu — Mon, 09 Aug 2010 13:27:00 GMT

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题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1847
题目描述:

Problem Description
大学��p��四��考试��p��来��了，你是不是在紧张的复习�Q�也许紧张得�q�短学期的ACM都没工夫�l�习了，反正我知道的Kiki和Cici都是如此。当�Ӟ��作�ؓ在考场��润了十几蝲的当代大学生�Q�Kiki和Cici更懂得考前的放松，所�?#8220;张弛有道”��是�q�个意思。这不，Kiki和Cici在每天晚上休息之前都要玩一会儿扑克牌以放松��经�?br>“升��”�Q?#8220;双扣”�Q?#8220;�U�五”�Q�还�?#8220;斗地�?#8221;�Q?br>当然都不是！那多俗啊~
作�ؓ计算机学院的学生�Q�Kiki和Cici打牌的时候可没忘��C��业，她们打牌的规则是�q�样的：
1�?nbsp; ��d��n张牌;
2�?nbsp; 双方轮流抓牌�Q?br>3�?nbsp; 每�h每次抓牌的个数只能是2的幂�ơ（卻I��1�Q?/span>2�Q?/span>4�Q?/span>8�Q?/span>16…�Q?br>4�?nbsp; 抓完牌，胜负�l�果也出来了�Q�最后抓完牌的�h��者；
假设Kiki和Cici都是��_��聪明�Q�其实不用假设，哪有不聪明的学生~�Q�，�q�且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢�Q?br>当然�Q�打牌无��赢都问题不大�Q�重要的是马上到来的CET-4能有好的状态�?br>
Good luck in CET-4 everybody!

Input
输入数据包含多个��试用例�Q�每个测试用例占一行，包含一个整数n�Q?/span>1<=n<=1000�Q��?br>

Output
如果Kiki能赢的话�Q�请输出“Kiki”�Q�否则请输出“Cici”�Q�每个实例的输出占一行�?br>

Sample Input
1
3

Sample Output
Kiki
Cici

题目分析:

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首先我们可以惛_��在面�?的时候是必��|局�Q�谁面对3时无论拿多少都会�?!  <---�q�是关键
那么��p��量造成�q�样的局势给�Ҏ��Q�因��Z�Q何不�?的倍数的数�?�?都可以变�?的倍数�Q?br>同理减去1�?也可以变�?的倍数�Q�也��是说假讄��前的个数不是3的倍数�Q�那我肯定能把它
拿成3的倍数�Q�比如现在是11个，那我拿走2个就变成9�Q�这样就造成�Ҏ��?的倍数局势，�?br>么对�Ҏ��m个我都可以通过�?或�?使��d��一轮拿的数目成�?的倍数�Q�这样就会有两种情况:
   1.刚好拿完.
   2.剩下的还�?的倍数个，那��l?
所以这��h��下去必胜

代码如下:

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#include <iostream>
using namespace std;
int main ()
{
    int N;
    while ( cin >> N )
    {
          puts ( N % 3 != 0 ? "Kiki" : "Cici" );
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-09 21:27 发表评论

HDOJ HDU 1849 Rabbit and Grass ACM 1849 IN HDU

MiYu — Mon, 09 Aug 2010 13:09:00 GMT

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题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1849
题目描述:

Problem Description
大学时光是浪漫的�Q�女生是��O的，圣诞更是��O的，但是Rabbit和Grass�q�两个大学女生在今年的圣诞节却表现得一炚w��不浪漫：不去逛商场，不去逛公园，不去和AC��L��会，两个人竟然猫在寝食下��?#8230;…
说是下棋�Q�其实只是一个简单的��游戏而已�Q�游戏的规则是这��L��Q?br>1�?nbsp; ��盘包含1*n个方��|��Ҏ��从左到右分别�~�号�?�Q?/span>1�Q?/span>2�Q?#8230;�Q�n-1�Q?br>2�?nbsp; m个棋子放在棋盘的�Ҏ��上，�Ҏ��可以为空�Q�也可以攑֤�于一个的��子�Q?br>3�?nbsp; 双方轮流走棋�Q?br>4�?nbsp; 每一步可以选择��L��一个棋子向左移动到��L��的位�|�（可以多个��子位于同一个方��|��Q�当�Ӟ��M��子不能��出��盘边界�Q?br>5�?nbsp; 如果所有的��子都位于最左边�Q�即�~�号�?的位�|�）�Q�则游戏�l�束�Q��ƈ且规定最后走��的一方�ؓ胜者�?br>
对于本题�Q�你不需要考虑n的大��（我们可以假设在初始状态，��子��L��位于��盘的适当位置�Q�。下面的�C�意囑֍��Z��?*15的棋盘，共有6个棋子，其中�Q�编�?的位�|�有两个��子�?br>

大家知道�Q�虽然偶��不够浪漫，但是Rabbit和Grass都是冰雪聪明的女生，如果每次都是Rabbit先走��，误��出最后的�l�果�?br>

Input
输入数据包含多组��试用例�Q�每个测试用例占二行�Q�首先一行包含一个整数m�Q?/span>0<=m<=1000�Q�，表示本测试用例的��子数目�Q�紧跟着的一行包含m个整数Ki(i=1…m; 0<=Ki<=1000)�Q�分别表�C�m个棋子初始的位置�Q�m=0则结束输入�?br>

Output
如果Rabbit能赢的话�Q�请输出“Rabbit Win!”�Q�否则请输出“Grass Win!”�Q�每个实例的输出占一行�?br>

Sample Input
2
3 5
3
3 5 6
0

Sample Output
Rabbit Win!
Grass Win!

题目分析 :

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

标准 �?nim 博弈问题, 不要惛_��杂了 . 因�ؓ只能往左移, 所以可以将初始的每个棋子的位置看成一个堆, 比如�? 1个棋子在 n-1�? 那么��׃��表这个堆�?n-1个数
左移1�?��是取走一�? 所以有 m ��子��׃��表有m个堆, 全部�?��是取完�?........... 更具体的 nim 博弈介绍��L��?nbsp; << 博弈入门 >>

代码如下:

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#include <iostream>
int heap[1001];
int main ()
{
    int T;
    while ( scanf ( "%d",&T ), T )
    {
            int res = 0 , nCount = 0;
            for ( int i = 0; i != T; ++ i )
            {
                  scanf ( "%d",heap + i );
                  res ^= heap[i];
            }
            puts ( res == 0 ? "Grass Win!" : "Rabbit Win!" );
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-09 21:09 发表评论

HDOJ HDU 1846 Brave Game ACM 1846 IN HDU

MiYu — Mon, 09 Aug 2010 12:35:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846
题目描述:

Problem Description
十年前读大学的时候，中国每年都要从国外引�q�一些电影大片，其中有一部电影就叫《勇敢者的游戏》（英文名称�Q�Zathura�Q�，一直到现在�Q�我依然对于电媄中的部分电脑�Ҏ��印象深刻�?br>今天�Q�大安��择上机考试�Q�就是一�U�勇敢（brave�Q�的选择�Q�这个短学期�Q�我们讲的是博弈�Q�game�Q�专题；所以，大家现在玩的也是“勇敢者的游戏”�Q�这也是我命名这个题目的原因�?br>当然�Q�除�?#8220;勇敢”�Q�我�q�希望看�?#8220;诚信”�Q�无��试成�W如何�Q�希望看到的都是一个真实的�l�果�Q�我也相信大家一定能做到�?/span>~

各位勇敢者要玩的�W�一个游戏是什么呢�Q�很��单，它是�q�样定义的：
1�?nbsp; 本游戏是一个二人游�?
2�?nbsp; 有一堆石子一共有n个；
3�?nbsp; 两�h轮流�q�行;
4�?nbsp; 每走一步可以取�?…m个石子；
5�?nbsp; 最先取光石子的一方�ؓ胜；

如果游戏的双方��用的都是最优策略，误��出哪个�h能赢�?br>

Input
输入数据首先包含一个正整数C(C<=100)�Q�表�C�有C�l�测试数据�?br>每组��试数据占一行，包含两个整数n和m�Q?/span>1<=n,m<=1000�Q�，n和m的含义见题目描述�?br>

Output
如果先走的�h能赢�Q�请输出“first”�Q�否则请输出“second”�Q�每个实例的输出占一行�?br>

Sample Input
2
23 2
4 3

Sample Output
first
second

题目分析:

巴什博弈�Q�一个�h�?～m个，那谁面对m+1的局势的的时候则必��|�Q�很明显�Q�先拿的��是要造这个局�?如果n�?m+1)*r+s(k��Z�Q意，sputs ( n % ( 1 + m ) != 0 ? "first" : "second" );

�l�果竟然被这题给阴了....while(scanf("%d",&c)!=EOF) --> �l�果WA, YM
然后�Ҏ�� scanf("%d",&c) 居然 AC �? ...................悲剧～～�?/p>

代码如下 :

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include
int main ()
{
    int T;
    scanf ( "%d",&T );
    {
            while ( T -- )
            {
                    int n,m;
                    scanf ( "%d%d", &n, &m );
                    puts ( n % ( 1 + m ) != 0 ? "first" : "second" );
            }
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-09 20:35 发表评论

HDOJ HDU 1850 Being a Good Boy in Spring Festival ACM 1850 IN HDU

MiYu — Mon, 09 Aug 2010 12:04:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1850
题目描述:

Problem Description
一�q�在�?nbsp;父母时刻牉|��
春节回家你能做几天好孩子�?br>寒假里尝试做做下面的事情�?br>
陪妈妈逛一�ơ菜�?br>悄悄�l�爸�怹�个小�C�物
��d��?nbsp;强烈�?nbsp;要求�z�一�ơ碗
某一天早�?nbsp;�l�爸妈用心地做回早餐

如果愿意你还可以和爸妈说
�׃��玩个��游戏吧 ACM课上学的呢～

下面是一个二人小游戏�Q�桌子上有M堆扑克牌�Q�每堆牌的数量分别�ؓNi(i=1…M)�Q�两��进行；每走一步可以�Q意选择一堆�ƈ取走其中的�Q意张牌；桌子上的扑克全部取光�Q�则游戏�l�束�Q�最后一�ơ取牌的��Zؓ胜者�?br>现在我们不想研究到底先手��q�是��Q�我只想问大�Ӟ��
—�?#8220;先手的�h如果惌��Q�第一步有几种选择呢？”

Input
输入数据包含多个��试用例�Q�每个测试用例占2行，首先一行包含一个整数M(1<M<100)�Q�表�C�扑克牌的堆敎ͼ�紧接着一行包含M个整数Ni(1<=Ni<=1000000�Q�i=1…M)�Q�分别表�C�M堆扑克的数量。M�?则表�C��入数据的�l�束�?br>

Output
如果先手的�h能赢�Q�请输出他第一步可行的�Ҏ��敎ͼ�否则误��?�Q�每个实例的输出占一行�?br>

Sample Input
3
5 7 9
0

Sample Output
1

题目分析 :

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

一.
如果a1^a2^a3^...^an=0 ( �?: nim-sum=0 ) , 说明先手没有必赢�{�略, �Ҏ��数肯定�ؓ 0;
�?

假设先手的�h有必赢策略�?/p>

问题则�{化�ؓ=>在�Q意一堆拿��L��K张牌�Q��ƈ且剩下所有堆的nim-sum=0(P-position)的方案��L��?/p>

1. 现在我们先看一个例�?5,7,9)�Q��ƈ假设从第一堆取��L��K张牌�?/p>

排除�W�一堆牌的nim-sum�?7^9=14

0111

^1001

-------

1110

如果要��所有堆的nim-sum=0成立�Q�则�W�一堆取掉K张以后必定�ؓ1110�Q�因为X^X=0�?/p>

所以要观察 5-k=14 k>0 成立,此例�?在第一堆取��L��K张牌)明显的不成立。但�q�不代表在第二或�W�三堆取��L��K张牌的解不成立�?/p>

2. 现在看第二个例子(15,7,9)�Q��ƈ假设从第一堆取��L��K张牌�?/p>

排队�W�一堆牌的nim-sum�?^9=14�Q�和�W�一个例子相同，所以问题变��?15-k=14 k>0 是否成立�?/p>

当然�q�个例子是成立的�?/p>

�?
�ȝ��得出�Q?/p>

在�Q意一堆拿��L��K张牌�Q��ƈ且所有堆的nim-sum=0 成立的条件�ؓ�Q�排除取掉K张牌的那一堆的nim-sum必须��于该堆牌上的数�?例子�?�Q�否则不能在此堆上取��L��K张牌使所有堆的nim-sum=0成立(例子一)�?/p>

故��L��案数�?( 在�Q意一堆拿��L��K张牌�Q��ƈ且所有堆的nim-sum=0 成立 ) 的��L��?/p>

代码如下 :

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include <iostream>
int heap[101];
int main ()
{
    int T;
    while ( scanf ( "%d",&T ), T )
    {
            int res = 0 , nCount = 0;
            for ( int i = 0; i != T; ++ i )
            {
                  scanf ( "%d",heap + i );
                  res ^= heap[i];
            }
            if ( res == 0 )
            {
                 puts ( "0" );
                 continue;
            }
            int cmp = 0;
            for ( int i = 0; i != T; ++ i )
            {
                  cmp = res ^ heap[i];
                  if ( cmp < heap[i] )
                  {
                       nCount ++;
                  }
            }
            printf ( "%d\n",nCount );
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-09 20:04 发表评论

HDOJ HDU 2897 邂逅明�?ACM 2897 IN HDU

MiYu — Mon, 09 Aug 2010 03:59:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2897
题目描述:

Problem Description
当日遇到月，于是有了明。当我遇��C��你，便成了��G�?br>那天�Q�日月相会，我见��C��你。而且�Q�大地失��M��光辉�Q�你我是否成侣？�q�注定是个凄��的故事。（以上是废话）
��t和所有世俗的��Z��一��P��期待那百�q�难遇的日食。驻��头看天，看日月渐渐走�q�，��t的脖子那个酸呀�Q�他坚持�q�个姿势已经有半个多��时啦）。他低下仰�v的头�Q�环��֛�周。忽然发现��n边竟站着位漂亮的mm。天渐渐暗下�Q�这mm在这街头竟然如此耀��|��Ҏ��天��吗？站着��t�w�边的天�ѝ�?br>��t对mm惊呼�Q?#8220;�~�分�?/span>~~”。mm却毫不含�p�：“是啊�Q?00�q�一遇哦�Q?#8221;�Q�此后省�?000�?#8230;.�Q?br>��t赶紧向mm要联�p�L��式，可mm��_��“我和你玩个游戏吧�Q�赢了，我就把我的手机号告诉你�?#8221;��t�Q�心惛_��下哪有题目能隑ր�我呢，便满口答应下来。mm开始说游戏规则�Q?#8220;我有一堆硬币，一�?枚，从这个硬币堆里取��币�Q�一�ơ最��取2枚，最�?枚，如果剩下��于2枚就要一�ơ取完。我和你轮流取，直到堆里的硬币取完，最后一�ơ取��币的算输。我玩过�q�个游戏好多�ơ了�Q�就让让你，让你先取�?/span>~”
��t掐指一��，不对呀�Q�这是不可能的�Q务么。小t露出得意的笑�Q?#8220;�q�是mm优先啦，呵呵~”mm霎时愣住了，��x��对小t的反应出乎意料吧�?br>她却也不生气�Q?#8220;好小子，��明呢�Q�要不这样吧�Q�你把我的邮��q��我，我给你发个文本，每行有三个数字n�Q�p�Q�q�Q�表�C�Z��堆硬币一共有n枚，从这个硬币堆里取��币�Q�一�ơ最��取p枚，最多q枚，如果剩下��于p枚就要一�ơ取完。两��取�Q�直到堆里的��币取完�Q�最后一�ơ取��币的算输。对于每一行的三个数字�Q�给出先取的人是否有必胜�{�略�Q�如果有回答WIN�Q�否则回�{�LOST。你把对应的�{�案发给我，如果你能在今天晚�?点以前发�l�我正确�{�案�Q�或许我们明天下午可以再见�?#8221;
��t二话没说�Q�将自己的邮��q��了mm。当他兴冲冲得赶回家�Q�上�|�看邮箱�Q�哇�Q�mm的邮件已�l�到了。他发现文本长达100000行，每行的三个数字都很大�Q�但是都是不��过65536的整数。小t看表已经下午6点了�Q�要��x��工算出所有结果，看来是不可能了。你能帮帮他�Q�让他再见到那个mm吗？

Input
不超�q?00000行，每行三个正整数n�Q�p�Q�q�?br>

Output
对应每行输入�Q�按前面介绍的游戏规则，判断先取者是否有必胜�{�略。输出WIN或者LOST�?br>

Sample Input
7 2 4
6 2 4

Sample Output
LOST
WIN

博弈的入门题, 巴什博奕(Bash Game), 具体了解��L��?nbsp; 博弈入门 .

代码如下:

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include <iostream>
int main ()
{
       int N, p, q;
       while ( scanf ( "%d%d%d",&N, &p, &q ) != EOF )
       {
            int res = N % ( p + q );
            puts ( res ? res <= p ? "LOST" : "WIN" : "WIN" );
    }
       return 0;
}

另外�U��U�自己的一行代�?:

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

main(p,q){int N,res;while(~scanf("%d%d%d",&N,&p,&q)){res=N%(p+q);puts(res?res<=p?"LOST":"WIN":"WIN");}}

MiYu 2010-08-09 11:59 发表评论

博弈入门 ( ACM 博弈 �l�合 )

MiYu — Mon, 09 Aug 2010 03:24:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

��L��q��状态（也称必��|态，奇异局势）�Q�（满��Q��Q意非�q��态经�q�一�ơ操作可以变为��^衡态）

(一)巴什博奕(Bash Game):

只有一�?/span>n个物�?/span>,两个��从�q�堆物品中取�?/span>,规定每次臛_��取一�?/span>,最多取m�?/span>.最后取光者得�?/span>.

n = (m+1)r+s , (r��Z�Q意自然数,s≤m), �?/span>n%(m+1) != 0, 则先取者肯定获�?/span>

(�?/span>)威佐夫博�?/span>(Wythoff Game):

有两堆各若干个物�?/font>,两个��从某一堆或同时从两堆中取同样多的物�?/font>,规定每次臛_��取一�?/font>,多者不�?/font>,最后取光者得�?/font>.

(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示奇异局�?/span>

求法�Q?/span>

ak =[k(1+√5)/2], bk= ak + k (k=0,1,2,...,n �Ҏ��可��C�取整函�?/span>)

判断�Q?/span>

Gold=(1+sqrt(5.0))/2.0�Q?/span>

1�Q�假设（a�Q?/span>b�Q��ؓ�W?/span>k�U�奇异局�?/span>(k=0,1,2...) 那么k=b-a;

2�Q�判断其a==(int)(k*Gold),相等则�ؓ奇异局�?/span>

�Q�注�Q�采用适当的方�?/span>,可以��非奇异局势变为奇异局�?/span>.

假设面对的局势是(a,b)

�?/span> b = a,则同时从两堆中取�?/span> a 个物�?/span>,��变��Z��奇异局�?/span>(0,0)�Q?/span>

1. 如果a = ak,

1.1 b > bk, 那么,取走b - bk个物�?/span>,卛_��为奇异局�?/span>(ak, bk)�Q?/span>

1.2 b < bk 则同时从两堆中拿�?/span> ak – a[b – ak]个物�?/span>,变�ؓ奇异局�?/span>( a[b – ak] , a[b – ak]+ b - ak)�Q?/span>

2 如果a = bk ,

2.1 b > ak ,则从�W�二堆中拿走多余的数�?/span>b – ak

2.2 b < ak ,�?/span> �?/span>b = aj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数�?/span>a– bj; (a > bj)

�?/span>b = bj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数�?/span>a– aj; ( a > aj)

�Q?/span>

例题�Q?/span>pku 1067

(�?/span>)��姆博奕(Nimm Game):

�?/font>n堆各若干个物�?/font>,两个��从某一堆取��L��多的物品,规定每次臛_��取一�?/font>,多者不�?/font>,最后取光者得�?/font>.

��M��奇异局�?/span>(a1, a2, … , an)都有a1(+)a2(+)…(+)an =0. ( (+)�?/span> 按位^)

Nim游戏��介：

�Q?�Q�有两个玩家�Q?/p>

�Q?�Q�有三堆扑克牌（比如�Q�可以分别是5�Q?�Q?张）�Q?/p>

游戏双方轮流操作�Q?/p>

�Q?�Q�玩家的每次操作是选择其中某一堆牌�Q�然后从中取��C�Q意张�Q?/p>

最后一�ơ去拍的一方�ؓ莯��方；

定义: 假设 (xm · · · x0)2 �?ym · · · y0)2 的nim-sum�?zm · · · z0)2,则我们表�C�成 (xm · · · x0)2 ⊕ (ym · · · y0)2 = (zm · · · z0)2,
�q�里�Q�zk = xk + yk (mod 2)�Q�k=0…m�Q?

nim游戏的定理一�Q?/p>

对于nim游戏的某个位�|?x1,x2,x3),当且仅当它各部分的nim-sum�{�于0�Ӟ��即x1⊕x2⊕x3=0�Q�（x1�Q�x2�Q�x3做异或操作^�Q�，则当前位于必败点�?/p>

定理一也适用于更多堆的情况！

例题�Q?/span>pku 2234

例题�Q?/span>hdu 1730

例题�Q?/span>pku 1740

例题�Q?/span>pku 1704

例题�Q?/span>pku 1082 (大量分析… �l�论很简单�?/span> 也可以根据简单的推论模拟实现�?/span>)

MiYu 2010-08-09 11:24 发表评论

HDOJ HDU 1133 Buy the Ticket ACM 1133 IN HDU

MiYu — Sun, 08 Aug 2010 09:20:00 GMT

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题目地址 :
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1133
题目描述:

Problem Description
The "Harry Potter and the Goblet of Fire" will be on show in the next few days. As a crazy fan of Harry Potter, you will go to the cinema and have the first sight, won’t you?

Suppose the cinema only has one ticket-office and the price for per-ticket is 50 dollars. The queue for buying the tickets is consisted of m + n persons (m persons each only has the 50-dollar bill and n persons each only has the 100-dollar bill).

Now the problem for you is to calculate the number of different ways of the queue that the buying process won't be stopped from the first person till the last person.
Note: initially the ticket-office has no money.

The buying process will be stopped on the occasion that the ticket-office has no 50-dollar bill but the first person of the queue only has the 100-dollar bill.

Input
The input file contains several test cases. Each test case is made up of two integer numbers: m and n. It is terminated by m = n = 0. Otherwise, m, n <=100.

Output
For each test case, first print the test number (counting from 1) in one line, then output the number of different ways in another line.

Sample Input
3 0
3 1
3 3
0 0

Sample Output
Test #1:
6
Test #2:
18
Test #3:
180

卡特兰数的应用~~~ ^_^
1133 公式推导如下 :

//MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

( C(m+n, n) - C(m+n, m+1) ) * m! * n! 化简�?nbsp;(m+n)! * (m-n+1) / (m+1)

推导�q�程如下 :

m个�h�?0�Q�n个�h�?00

1:    所以如�?nbsp;n > m�Q�那么排序方法数�?nbsp;0 �q�一点很�Ҏ��x��?nbsp;

2:    现在我们假设 �?0的�h�?nbsp;‘0’表示�Q?nbsp;�?00的�h�?nbsp;1 表示�?br>
      如果有这么一个序�?nbsp;0101101001001111.

      当第K个位�|�出�?的个数多�?的个数时��是一个不合法序列�?br>
      假设m=4 n=3的一个序列是�Q?/span>0110100 昄��Q�它不合法，现在我们把它�E�微变化一下：

      把第二个1�Q�这�?前面的都是合法的�Q�后面的所有位0变成1�Q?变成0

      ��得�?nbsp;0111011 �q�个序列1的数量多�?的数量，昄��不合法，但现在的关键不是看这个序列是不是合法�?nbsp;

      关键是：它和我们的不合法序列 0110100 成一一对应的关�p?nbsp;

      也就是说��L��一个不合法序列(m�?�Q�n�?)�Q?nbsp;都可以由另外一个序�?n-1�?和m+1�?)得到

      另外我们知道�Q�一个序列要么是合法的，要么是不合法�?nbsp;

      所以，合法序列数量 = 序列��L��?nbsp;- 不合法序列的总量

      序列��L��可以�q�样计算m+n 个位�|�中�Q?nbsp;选择 n 个位�|�出来填�?nbsp;1�Q?nbsp;所以是 C(m+n, n)

      不合法序列的数量��是�Q?nbsp;m+n 个位�|�中�Q?nbsp;选择 m+1 个位�|�出来填�?nbsp;1 所以是 C(m+n, m+1)

      然后每个人都是不一��L��Q�所以需要全排列 m! * n!

     所以最后的公式�?: ( C(m+n, n) - C(m+n, m+1) ) * m! * n! 化简�?nbsp;(m+n)! * (m-n+1) / (m+1)

推广:
      如果原来有p�?0元的�?那么不合法的序列的数量应该是:��L��一个不合法序列(m�?�Q�n�?)�Q?br>
      都可以由另外一个序�?n-1�?和m+1+p�?)得到,所以是m+n 个位�|�中�Q?nbsp;选择 m+1+p 个位�|?br>
      出来填上 1 所以是 C(m+n, m+1+p) 接下来的化简��׃��推了.

代码如下 :

//MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define MAX 100
#define BASE 10000
void multiply(int a[],int Max,int b)  //大数乘小�?/span>
{
    int i,array=0;
    for (i=Max-1; i>=0; i--)
    {
        array+=b*a[i];
        a[i] = array%BASE;
        array /= BASE;
    }
}

void divide(int a[], int Max, int b)  //大数除小�?/span>
{
    int i,div=0;
    for (i=0;i<Max; i++)
    {
        div = div*BASE + a[i];
        a[i] = div / b;
        div %= b;
    }
}
int fact[205][MAX];
void setFact ()
{
     fact[0][MAX-1] = fact[1][MAX-1] = 1;
     for ( int i = 2; i <= 200; ++ i )
     {
           memcpy ( fact[i] , fact[i-1] , MAX * sizeof ( int ) );
           multiply ( fact[i] , MAX , i );
     }
}
void outPut ( int ctl[MAX] )
{
     int i = 0;
     while ( i < MAX && ctl[i] == 0 )
     {
             i ++ ; //��d��?
     }
     printf ( "%d", ctl[i++] );
     while ( i < MAX )
     {
             printf ( "%04d", ctl[i++] );
     }
     putchar ( '\n' );
}
int res[MAX];
int main ()
{
     int M,N;
     int ca = 1;
     setFact();
     while ( cin >> M >> N , M + N )
     {
             printf ( "Test #%d:\n",ca++ );
             if ( N > M )
             {
                  puts ( "0" );
                  continue;
             }
             memcpy ( res , fact[M+N] , MAX * sizeof ( int ) );      阶乘 ( m + n )!
             multiply ( res, MAX, M - N + 1 );                               ( m + n )! * ( m-n+1 )
             divide ( res, MAX, M + 1 );                                        ( m + n )! * ( m-n+1 )  / ( m+ 1 )
             outPut ( res );
     }
     return 0;
}

MiYu 2010-08-08 17:20 发表评论

HDOJ HDU 1023 1130 1133 1134 2067 ACM 1023 1130 1133 1134 2067 IN HDU ( 卡特兰数专题 catalan )

MiYu — Sun, 08 Aug 2010 09:08:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

卡特兰数专题

更多卡特兰数资料 ��L�� 卡特兰数

HDU 1023 1130 1134 2067 都是标准的卡特兰�? 具体说明误�� 卡特兰数 ,只是有一炚w��要注�? �?5�?/span>下的catalan�?br>
可以直接使用 long long �?__int64 提交�? 但是�?N ��过35 之后, �q�就需�?span style="COLOR: red">大数�?

下面�?2067 �?long long 代码 ,详细误�� ( 2067 ��兔的棋�?解题报告 ) 没有使用递归�?, 直接用的catalan �?�q�代�? :

//MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 f[37][37];
int main()
{
    int ca=0;
    int N;
    while ( cin >> N , N + 1 )
    {
        ++ ca;
        for ( int i = 1;i <= N; ++ i )
        {
              f[0][i] = 1;
        }
        for ( int i = 1; i < N; ++ i )
        {
              for ( int j = i; j <= N; ++ j )
              {
                    if ( i == j )
                    {
                         f[i][j] = f[i-1][j];
                    }
                    else
                    {
                         f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
                    }
              }
        }
        printf("%d %d %I64d\n", ca, N, 2 * f[N-1][N] );
    }
    return 0;
}

除了 2067 �? 其他的题目均是大数的�c�d��, 在这�? 各位 ACMer , 请出你们的大数模板吧 .

或者某些代码牛人可以自己手�?nbsp;<-------0rz

写好代码�?只需按题目要求格式做相应的改�? 便能直接AC. 1133 �E�微有点不同. 会在

最后给出它的解题报�?

1023 1130 1134 直接使用 catalan�?的递归�?,代码如下, 使用的是高精度乘�? ( 需要在输入�l�束控制斚w��Ҏ��各题做相应变�?) :

//MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 105
#define BASE 10000
typedef int myType[MAX+10];
void multiply ( int a[], int Max, int b )  //大数乘小�?/span>
{
    int i,array=0;
    for (i=Max-1; i>=0; i--)
    {
        array+=b*a[i];
        a[i] = array%BASE;
        array /= BASE;
    }
}

void divide ( int a[], int Max, int b )  //大数除小�?/span>
{
    int i,div=0;
    for (i=0;i<Max; i++)
    {
        div = div*BASE + a[i];
        a[i] = div / b;
        div %= b;
    }
}
void outPut ( myType ctl[MAX] ,int N )
{
     int i = 0;
     while ( i < MAX && ctl[N][i] == 0 )
     {
             i ++ ; //��d��?
     }
     cout << ctl[N][i++];
     while ( i < MAX )
     {
             printf ( "%04d", ctl[N][i++] );
     }
     cout << endl;
}
void setNum ( myType ctl[MAX] )
{
     memset ( ctl[1], 0, MAX * sizeof ( int ) );
     ctl[1][MAX-1] = 1;
     for ( int i = 2; i < 101; i ++ )
     {
         memcpy ( ctl[i], ctl[i-1], MAX * sizeof ( int ) );
         multiply ( ctl[i], MAX, 4 * i - 2 );
         divide ( ctl[i], MAX, i + 1 );
     }
}
myType ctl[MAX];
int main()
{
    setNum ( ctl );
    int N;
    while ( cin >> N )     // �q�里�Ҏ��各题要求需要做相应变化
    {
           outPut ( ctl, N );
    }
    return 0;
}

1133 公式推导如下 :

代码如下 :

//MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define MAX 100
#define BASE 10000
void multiply(int a[],int Max,int b)  //大数乘小�?/span>
{
    int i,array=0;
    for (i=Max-1; i>=0; i--)
    {
        array+=b*a[i];
        a[i] = array%BASE;
        array /= BASE;
    }
}

void divide(int a[], int Max, int b)  //大数除小�?/span>
{
    int i,div=0;
    for (i=0;i<Max; i++)
    {
        div = div*BASE + a[i];
        a[i] = div / b;
        div %= b;
    }
}
int fact[205][MAX];
void setFact ()
{
     fact[0][MAX-1] = fact[1][MAX-1] = 1;
     for ( int i = 2; i <= 200; ++ i )
     {
           memcpy ( fact[i] , fact[i-1] , MAX * sizeof ( int ) );
           multiply ( fact[i] , MAX , i );
     }
}
void outPut ( int ctl[MAX] )
{
     int i = 0;
     while ( i < MAX && ctl[i] == 0 )
     {
             i ++ ; //��d��?
     }
     printf ( "%d", ctl[i++] );
     while ( i < MAX )
     {
             printf ( "%04d", ctl[i++] );
     }
     putchar ( '\n' );
}
int res[MAX];
int main ()
{
     int M,N;
     int ca = 1;
     setFact();
     while ( cin >> M >> N , M + N )
     {
             printf ( "Test #%d:\n",ca++ );
             if ( N > M )
             {
                  puts ( "0" );
                  continue;
             }
             memcpy ( res , fact[M+N] , MAX * sizeof ( int ) );      //阶乘 ( m + n )!
             multiply ( res, MAX, M - N + 1 );                               //( m + n )! * ( m-n+1 )
             divide ( res, MAX, M + 1 );                                        //( m + n )! * ( m-n+1 )  / ( m+ 1 )
             outPut ( res );
     }
     return 0;
}

MiYu 2010-08-08 17:08 发表评论

错排公式 ( ACM 数论 �l�合 )

MiYu — Sun, 08 Aug 2010 00:58:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

错排公式:

错排公式

目录
错排公式的由�?br>递推的方法推导错排公�?br>�Ҏ��原理
��化公�?br>

错排公式的由�?br>
　　pala提出的问�? 十本不同的书攑֜�书架上。现重新摆放�Q��每本书都不在原来攄��位置。有几种摆法�Q?br>　　�q�个问题推广一下，��是错排问题: n个有序的元素应有n�Q�种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称�q�个排列为错排�?br>递推的方法推导错排公�?br>
　　当n个编号元素放在n个编号位�|?元素�~�号与位�|�编号各不对应的�Ҏ��数用M(n)表示,那么M(n-1)��p��C�n-1个编号元素放在n-1个编号位�|?各不对应的方法数,其它�c�L��.
　　�W�一�?把第n个元素放在一个位�|?比如位置k,一共有n-1�U�方�?
　　�W�二�?攄��号�ؓk的元�?�q�时有两�U�情�?1,把它攑ֈ�位置n,那么,对于剩下的n-2个元�?��有M(n-2)�U�方�?2,不把它放��C��|�n,�q�时,对于�q�n-1个元�?有M(n-1)�U�方�?
　　�l�g��得到
　　M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
　　�Ҏ��圎ͼ�M(1)=0,M(2)=1
　　下面通过�q�个递推关系推导通项公式:
　　为方便�v见，设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)
　　则N(1)=0,N(2)=1/2
　　n>=3�?n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
　　�?nbsp;nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
　　于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!
　　因此
　　N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
　　N(2)-N(1)=(-1)^2/2!
　　相加�Q�可�?br>　　N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
　　因此
　　M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
　　可以得到
　　错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
�Ҏ��原理

　　正整�?�?/span>2�?/span>3�?#8230;…、n的全排列有n!�U�，其中�W�k位是k的排列有�Q�n-1)!�Q�当k�?�?/span>2�?/span>3�?#8230;…、n�Ӟ��共有n*�Q�n-1)!�U�排列，�׃��是错排，�q�些排列应排除，但是此时把同时有两个��C��错排的排列多排除了一�ơ，应补上；在补上时�Q�把同时有三个数不错排的排列多补上了一�ơ，应排除；……�Q��l�这一�q�程�Q�得到错排的排列�U�数�?br>　　M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1)^k*n!/k!
　　即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!]
　　�?sigma表示�q�加�W�号,(k=2~n)是连加的范围
��化公�?br>
　　另外�Q�书上的错排公式为Dn=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-..+(-1)^n/n!),此公式算n很大时就很不方便�Q�后来发现它可以化简为１个优��的式子Dn=[n!/e+0.5],[x]为取整函敎ͼ�
　　公式证明较简单．观察一般书上的公式�Q�可以发现e-1的前��与之相同，然后作比较可�?/span>/Dn-n!e-1/<1/(n+1)<0.5,于是��得到这个简单而优��的公式�Q�此仅供参考）

MiYu 2010-08-08 08:58 发表评论

卡特兰数 Catalan�?( ACM 数论 �l�合 )

MiYu — Sat, 07 Aug 2010 13:51:00 GMT

�l�基癄��资料:

卡塔兰数

卡塔兰数�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" class="mw-redirect" title="�l�合数学" href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E5%AD%B8">�l�合数学中一个常出现在各�U�计数问题中出现�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" title="数列" href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E6%95%B0%E5%88%97">数列。由�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" class="mw-redirect" title="比利�? href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E6%AF%94%E5%88%A9%E6%99%82">比利�?/a>的数学家�Ƨ仁·查理·卡塔�?/a> (1814–1894)命名�?/p>

卡塔兰数的一般项公式�?span class="Apple-converted-space"> 另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前几��ؓ �Q?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" title="整数数列�U�上大全" href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E6%95%B4%E6%95%B8%E6%95%B8%E5%88%97%E7%B7%9A%E4%B8%8A%E5%A4%A7%E5%85%A8">OEIS中的数列A000108�Q? 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

[�~�辑]性质

C_n的另一个表辑�Ş式�ؓ 所以，C_n是一�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" title="自然�? href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0">自然�?/a>�Q�这一点在先前的通项公式中�ƈ不显而易见。这个表辑�Ş式也是André对前一公式证明的基��?见下文的�W�二个证�?/a>�?

卡塔兰数满��以下递推关系

它也满��

�q�提供了一个更快速的�Ҏ��来计��卡塔兰数�?/p>

卡塔兰数的渐�q�增长�ؓ

它的含义是左式除以右式的�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" title="极限" href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E6%9E%81%E9%99%90">��向�?/a>1�?em>n → ∞。（�q�可以用n!�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" title="斯特灵公�? href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E6%96%AF%E7%89%B9%E9%9D%88%E5%85%AC%E5%BC%8F">斯特灵公�?/a>来证明。）

所有的奇卡塔兰�?em>C_n都满��?span style="FONT-FAMILY: serif" class="texhtml">n = 2^k − 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数�?/p>

[�~�辑]应用

�l�合数学中有非常�?的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用C_n=3�?em>C_n=4举若�q�例�Q?/p>

C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X�?em>n个Y�l�成的字�Ԍ��且所有的部分字串皆满��X的个数大于等于Y的个数。以下�ؓ长度�?的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

��上例的X换成左括��P��Y换成��x��P��C_n表示所有包�?em>n�l�括��L��合法�q�算式的个数:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

C_n表示�?em>n+1个叶子的二叉�?/a>的个数�?

C_n表示所有不同构的含n个分枝结点的�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" title="二叉�? href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91">二叉�?/a>的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结炚w��有两个子树或没有子树。）

证明�Q?/em>

�?表示�q�栈�Q?表示出栈�Q�则可�{化�ؓ求一�?em>2n位、含n�?�?em>n�?的二�q�制敎ͼ�满��从左往��x��描到��L��一位时�Q�经�q�的0��C��多于1数。显然含n�?�?em>n�?�?em>2n位二�q�制数共�?img style="BORDER-BOTTOM-STYLE: none; BORDER-RIGHT-STYLE: none; MARGIN: 0px; BORDER-TOP-STYLE: none; VERTICAL-ALIGN: middle; BORDER-LEFT-STYLE: none" class="tex" alt="{2n \choose n}" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/9/2/c92da943df73dc077dbee5514376346a.png">个，下面考虑不满��求的数目.

考虑一个含n�?�?em>n�?�?n位二�q�制敎ͼ�扫描到第2m+1位上时有m+1�?�?em>m�?�Q�容易证明一定存在这��L��情况�Q�，则后面的0-1排列中必�?em>n-m�?�?em>n-m-1�?。将2m+2及其以后的部�?变成1�?变成0�Q�则对应一�?em>n+1�?�?em>n-1�?的二�q�制数。反之亦�Ӟ��怼�的思�\证明两者一一对应�Q��?/p>

从�?img style="BORDER-BOTTOM-STYLE: none; BORDER-RIGHT-STYLE: none; MARGIN: 0px; BORDER-TOP-STYLE: none; VERTICAL-ALIGN: middle; BORDER-LEFT-STYLE: none" class="tex" alt="C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/8/2/4828faf1c29e4b699529f2275cc63453.png">。证毕�?/p>

C_n表示所有在n × n格点中不��过对角�U�的单调路径的个数。一个单调�\径从格点左下角出发，在格点右上角�l�束�Q�每一步均为向上或向右。计��这�U��\径的个数�{��h于计��Dyck word的个敎ͼ� X代表“向右”�Q�Y代表“向上”。下图�ؓn = 4的情况：

C_n表示通过�q�结��点而将n + 2边的凸多边�Ş分成三角�?/a>的方法个数。下图中�?em>n = 4的情况：

C_n表示对{1, ..., n}依序�q�出 �?/a>�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" class="mw-redirect" title="�|�换" href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E7%BD%AE%E6%8D%A2">�|�换个数。一个置�?em>w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下�Q��ow = unv�Q�其�?em>n�?em>w的最大元素，u�?em>v为更短的数列�Q�再�?em>S(w) =S(u)S(v)n�Q�其�?em>S为所有含一个元素的数列的单位元�?

C_n表示集合{1, ..., n}�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(204,34,0); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" class="new" title="不交叉划分（��未撰写�Q? href="http://m.shnenglu.com/w/index.php?title=%E4%B8%8D%E4%BA%A4%E5%8F%89%E5%88%92%E5%88%86&action=edit&redlink=1">不交叉划�?/a>的个�? 那么, C_n 永远不大于第n��?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(6,69,173); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" title="贝尔�? href="http://m.shnenglu.com/zh-cn/%E8%B4%9D%E5%B0%94%E6%95%B0">贝尔�?/a>. C_n也表�C�集合{1, ..., 2n}�?a style="BACKGROUND-IMAGE: none; COLOR: rgb(204,34,0); TEXT-DECORATION: none; background-origin: initial; background-clip: initial" class="new" title="不交叉划分（��未撰写�Q? href="http://m.shnenglu.com/w/index.php?title=%E4%B8%8D%E4%BA%A4%E5%8F%89%E5%88%92%E5%88%86&action=edit&redlink=1">不交叉划�?/a>的个敎ͼ�其中每个�D�落的长度�ؓ2。综合这两个�l�论�Q�可以用数学归纳�?/a>证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.

C_n表示�?em>n个长方�Ş填充一个高度�ؓn的阶梯状囑�Ş的方法个数。下图�ؓ n = 4的情�?

癑ֺ�癄��资料:
��?br>
　　中文:卡特兰数
　　Catalan数是�l�合数学中一个常出现在各�U�计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家�Ƨ仁·查理·卡塔�?nbsp;(1814–1894)命名�?br>　　原理�Q?br>　　令h(0)=1,h(1)�Q?/span>1,catalan数满��递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)
       另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前几��ؓ �Q�OEIS中的数列A000108�Q? 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452,
应用

　　我�ȝ��了一下，最典型的四�c�d��用：�Q�实质上却都一��P��无非是递归�{�式的应用，��q��你能不能分解问题写出递归式了�Q?br>1.括号化问题�?br>
　　矩阵链乘�Q?nbsp;P=a1×a2×a3×……×an�Q�依据乘法结合律�Q�不改变光��序，只用括号表示成对的乘�U�，试问有几�U�括号化的方案？(h(n)�U?
2.出栈�ơ序问题�?br>
　　一个栈(无穷�?的进栈序列�ؓ1,2,3,..n,有多��个不同的出栈序�?/span>?
　　�c�M��Q?br>　　(1)�?n个�h排成一行进入剧场。入��5元。其中只有n个�h有一�?元钞��，另外n人只�?0元钞��，剧院无其它钞��，问有多少中方法��得只要有10元的��Z��，售票处就�?元的钞票��N��Q?��持5元者到达视作将5元入栈，�?0元者到达视作��栈中�?元出�?
　　(2)在圆上选择2n个点,��这些点成对�q�接��h��Q��得所得到的n条线�D�不�怺�的方法数�?br>3.��多边行划分��Z��角�Ş问题�?br>
　　��一个凸多边形区域分成三角�Ş区域的方法数?
　　�c�M��Q�一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她�?n个街区去上班。如果她
　　从不�I�越�Q�但可以��到�Q�从家到办公室的对角�U�，那么有多��条可能的道路？
　　�c�M��Q�在圆上选择2n个点,��这些点成对�q�接��h��使得所得到的n条线�D�不�怺�的方法数?
4.�l�顶节点�l�成二叉树的问题�?br>
　　�l�定N个节点，能构成多��种形状不同的二叉树�Q?br>　　(一定是二叉�?/span>!
　　先去一个点作�ؓ��点,然后左边依次可以�?至N-1个相对应�?双��是N-1�?�?两两配对�怹�,��是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0)=h(n))
　　�Q�能构成h�Q�N�Q�个�Q?/span>

MiYu 2010-08-07 21:51 发表评论

HDOJ HDU 2067 ��兔的棋�?ACM 2067 IN HDU

MiYu — Sat, 07 Aug 2010 13:37:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2067
题目描述:

Problem Description
��兔的叔叔从外面旅游回来�l�她带来了一个礼物，��兔高兴地跑回自��q��戉K��Q�拆开一看是一个棋盘，��兔有所失望。不�q�没�q�几天发��C��盘的好玩之处。从��L��(0�Q?/span>0)走到�l�点(n,n)的最短�\径数是C(2n,n),现在��兔又想如果不穿��对角线(但可接触对角�U�上的格�?�Q�这��L��路径数有多少?��兔想了很长旉��都没惛_��来，现在惌��你帮助小兔解册��个问题，对于你来说应该不隑֐�!

Input
每次输入一个数n(1<=n<=35)�Q�当n�{�于�Q?时结束输入�?br>

Output
对于每个输入数据输出路径敎ͼ�具体格式看Sample�?br>

Sample Input
1
3
12
-1

Sample Output
1 1 2
2 3 10
3 12 416024

题目分析:

假设��兔的棋盘是 8 × 8 �?( 当然你也可以假设是其�?)。如下图:
��头方向表示从该格子下一步能�ȝ��格子。因��Z��能穿��对角线�Q�所有对角线上的格子只有�q�去的箭��_��没有出来的箭头�?br>

观察上图你就可以发现�Q�其实这是一张关于对角线对称的图。所有我们只要求一个方向的��|��然后乘以2卛_��?br>我们��拿下三角来考虑。不隑֏�玎ͼ�所有在0列上的格子，路径数都�?1 (只能从上面过�?�?br>而其他格子则都是�׃��、左两个方向�q�来�Q�即:f(i, j) = f(i - 1, j) + f(i, j - 1);
另外f(i, i) = f(i, j - 1) 或�?f(i, i) = f( i-1, j ) ;

代码如下:

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 f[37][37];
int main()
{
    int ca=0;
    int N;
    while ( cin >> N , N + 1 )
    {
        ++ ca;
        for ( int i = 1;i <= N; ++ i )
        {
              f[0][i] = 1;
        }
        for ( int i = 1; i < N; ++ i )
        {
              for ( int j = i; j <= N; ++ j )
              {
                    if ( i == j )
                    {
                         f[i][j] = f[i-1][j];
                    }
                    else
                    {
                         f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
                    }
              }
        }
        printf("%d %d %I64d\n", ca, N, 2 * f[N-1][N] );
    }
    return 0;
}

另外看别人的解题报告说这个是卡特兰数 ( 详细��h��?nbsp;<<卡特兰数>> ), 其实现在�q�不理解, 分析如下:

Catalan数。�?br>令h(1)�Q?/span>1,h(0)=1�Q�catalan数满��递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　另类递归式：
　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,…)

附卡特兰代码:

#include<stdio.h>
int main()
{
    __int64 a[37][37]={0};
    int i,j,n,t=0;
    a[0][0]=0;
    a[0][1]=1;
    a[1][1]=2;
    for(i=2;i<37;i++)
    {
        a[i][0]=1;
        for(j=1;j<i-1;j++)
            a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-1][j];
        a[i][i-1]=a[i][i-2]+a[i-1][i-1]/2;
        a[i][i]=2*a[i][i-2]+a[i-1][i-1];

    }
    while(scanf("%d",&n)&&n!=-1)
    {
        printf("%d %d %I64d\n",++t,n,a[n][n]);
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-07 21:37 发表评论

HDOJ HDU 2068 RPG的错�?ACM 2068 IN HDU

MiYu — Fri, 06 Aug 2010 08:00:00 GMT

MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2068
题目描述:

Problem Description
今年暑假杭电ACM集训队第一�ơ组成女生队,其中有一队叫RPG,但做为集训队成员之一的野骆驼竟然不知道RPG三个人具体是谁谁。RPG�l�他��Z��让他猜猜�Q�第一�ơ猜�Q�R是公主，P是草儿，G是月野兔�Q�第二次猜：R是草儿，P是月野兔�Q�G是公主；�W�三�ơ猜�Q�R是草儿，P是公主，G是月野兔�Q?img src="http://m.shnenglu.com/Images/dot.gif">可怜的野骆驼第六次�l�于把RPG分清楚了。由于RPG的带动，做ACM的女生越来越多，我们的野骆驼想都知道她们�Q�可现在有N多�h�Q�他要猜的次数可��多了，��Z��不�ؓ��N��骆驼�Q�女生们只要求他�{�对一半或以上��q��q�关�Q�请问有多少�l�答案能使他��利�q�关�?br>

Input
输入的数据里有多个case,每个case包括一个n�Q�代表有几个女生�Q�（n<=25�Q? n = 0输入�l�束�?br>

Sample Input
1
2
0

Sample Output
1
1

很明昄�� 错排 + 排列�l�合的题�? 更多错排资料��L��?--> << 错排公式 >>

要猜对一半或一半以�? 那么��是从给出的 n 个�h�?取出 ��于或等�?n / 2 的�h�q�行错排 ,

因�ؓ题目问的是顺利通关的所有解, 所以最后需要篏�?0 -> n / 2 的错排方�?

错排公式 : F ( n ) = ( n - 1 ) * ( F(n-1) + F ( n - 2 ) )

代码如下 :

//MiYu原创, 转帖��h��?: 转蝲�?______________白白の屋

#include <stdio.h>
typedef long long int64;
int64 Com ( int n, int m ) // �?C_n^{m �?�l�合�?/sup>
{}if ( m == 0 )
      {
           return 1;
      }
      int64 up = 1,down = 1;
      for ( int i = 0; i < m; ++ i )
      {
            up *= n - i;
            down *= i + 1;
      }
      return up / down;
}
int64 F[14] = { 0, 0, 1, 2 };
void setNum ()
{
     for ( int i = 4; i < 14; ++ i )
     {
           F[i] = ( i - 1 ) * ( F[ i - 1 ] + F[ i - 2 ] );
     }
}
int main ()
{
    int N;
    int64 sum;
    setNum ();
    while ( scanf("%d", &N), N )
    {
          sum = 1;
          for ( int i = N / 2; i >= 0; -- i )
          {
               sum += Com ( N , i ) * F[i];    // 从N中取i 个�h 的错排数
          }
          printf("%I64d\n", sum );
    }
}

MiYu 2010-08-06 16:00 发表评论

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