原題地址【有關樹的路徑剖分的東東在網上介紹的太多了……】
常見的路徑剖分的方法是輕重邊剖分，即把樹中的邊分為輕重兩部分，方法：設SZ[i]為以i為根的子樹的大小（結點總數），則若點x不是葉結點，則其子結點中SZ值最大的（注意，有多個SZ值最大的子結點應任選一個，
只能選一個，防止出現重鏈相交，引發歧義）點y，邊(x, y)稱為重邊，其余的邊都是輕邊。首尾相連的重邊稱為重鏈（注意一定是自上而下的），則一個很顯然的性質是：從根結點到任意點i路徑上的輕邊與重鏈的總數都不會超過O(log
2N)。然后，對每條重鏈上的邊建立線段樹，每當遇到改值操作，若是輕邊就直接改，若是重邊就在線段樹里改；遇到找x、y路徑上邊權最大值的操作，只要找到LCA(x, y)，然后從x、y開始沿著樹邊上溯到LCA(x, y)處，對于中間的每條輕邊和重鏈（線段樹內）導出最大值即可。
求LCA：可以對整棵樹作深度優先遍歷，記下每個遇到的點（包括向上的和向下的）的編號，形成一個長度為2(N-1)的序列A，然后，找到點x、y在A中的第一次出現的位置（設為FF[x]和FF[y]），則A[FF[x]..FF[y]]中的深度最小的點的編號就是LCA(x, y)，顯然這需要RMQ。
具體步驟：
（1）輸入部分：建立無根樹；
（2）預處理部分：分為6步：
<1>利用BFS將無根樹轉化為有根樹，同時求出有根樹中點i（根結點除外）到其父結點的邊的編號（設為FA[i]）以及點i的深度（設為DEP[i]）；
<2>自底向上計算每個點的SZ值，同時劃分輕重邊（對于有根樹中的每條邊設立Z域，Z=1為重邊，Z=0為輕邊）；
<3>求出重鏈，建立線段樹：
求重鏈的方法：由于重鏈只會在葉結點處結束，因此從每個葉結點開始上溯，直到上溯到根或者遇到輕邊為止。為了方便，需要對每個結點i記錄以下4個值：UP[i]表示點i所在重鏈最頂上的那個結點的編號；ord[i]表示點i是其所在重鏈的上起第幾個點（從0開始）；tot[i]表示點i所在重鏈上有幾個結點；root[i]表示點i所在重鏈建成的線段樹的編號（這樣經常寫的opr(0, n-1, root)就可以表示成opr(0, tot[i]-1, root[i])）。求出重鏈以后，對沿途經歷的所有邊的權值
倒序寫入數組W0，再對數組W0建線段樹即可。考慮到不同線段樹的大小可能不同，這里采用壓縮處理，這樣就需要記錄每個點的lch、rch編號（見代碼）；
<4>對樹進行DFS遍歷，求出序列A；
<5>求出序列A的倍增最小值，存放在A0[][]里（注意：A和A0中記載的都是編號，而判定大小的關鍵字是深度）；
<6>求出LOG[i]=log
2i（下取整）；
（3）執行部分：對于詢問操作，求LCA，不斷上溯，對于重鏈在線段樹里找即可，注意線段樹的左右端點，尤其是當UP在LCA之上時，只能上溯到LCA處。
編程注意事項：建代碼中標Attention的地方。
代碼（我這個代碼常數巨大，時間達3.61s，不知是腫么搞得，神犇來看一下啊囧）：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
using namespace std;
#define re(i, n) for (int i=0; i<n; i++)
#define re1(i, n) for (int i=1; i<=n; i++)
#define re2(i, l, r) for (int i=l; i<r; i++)
#define re3(i, l, r) for (int i=l; i<=r; i++)
#define rre(i, n) for (int i=n-1; i>=0; i--)
#define rre1(i, n) for (int i=n; i>0; i--)
#define rre2(i, r, l) for (int i=r-1; i>=l; i--)
#define rre3(i, r, l) for (int i=r; i>=l; i--)
const int MAXN = 10001, MAXS = 20, INF = ~0U >> 2;
struct edge {
int a, b, w, pre, next;
bool Z;
} E0[MAXN << 2], E[MAXN + MAXN + 1];
struct node {
int maxv, lch, rch;
} T[MAXN << 2];
int n, m0, m, N, _a[MAXN], _b[MAXN], FA[MAXN], Q[MAXN], SZ[MAXN], DEP[MAXN], W0[MAXN], UP[MAXN], ord[MAXN], root[MAXN], tot[MAXN];
int n1, stk[MAXN], st[MAXN], A[MAXN << 2], A0[MAXN << 2][MAXS], FF[MAXN], LOG[MAXN << 2], l0, r0, x0, res;
bool vst[MAXN];
void init_d()
{
re(i, n) E0[i].pre = E0[i].next = E[i].pre = E[i].next = i;
m0 = m = n;
}
void add_edge0(int a, int b, int w)
{
E0[m0].a = a; E0[m0].b = b; E0[m0].w = w; E0[m0].pre = E0[a].pre; E0[m0].next = a; E0[a].pre = m0; E0[E0[m0].pre].next = m0++;
E0[m0].a = b; E0[m0].b = a; E0[m0].w = w; E0[m0].pre = E0[b].pre; E0[m0].next = b; E0[b].pre = m0; E0[E0[m0].pre].next = m0++;
}
void add_edge(int a, int b, int w)
{
E[m].a = a; E[m].b = b; E[m].w = w; E[m].Z = 0; E[m].pre = E[a].pre; E[m].next = a; E[a].pre = m; E[E[m].pre].next = m++;
}
int mkt(int l, int r)
{
int No = ++N;
if (l == r) {
T[No].maxv = W0[l]; T[No].lch = T[No].rch = 0;
} else {
int mid = l + r >> 1, l_r = mkt(l, mid), r_r = mkt(mid + 1, r); T[No].lch = l_r; T[No].rch = r_r;
if (T[l_r].maxv >= T[r_r].maxv) T[No].maxv = T[l_r].maxv; else T[No].maxv = T[r_r].maxv;
}
return No;
}
void prepare()
{
re(i, n) vst[i] = 0; Q[0] = 0; vst[0] = 1; DEP[0] = 0; FA[0] = -1;
int i0, j0;
for (int front=0, rear=0; front<=rear; front++) {
i0 = Q[front];
for (int p=E0[i0].next; p != i0; p=E0[p].next) {
j0 = E0[p].b;
if (!vst[j0]) {add_edge(i0, j0, E0[p].w); vst[j0] = 1; Q[++rear] = j0; FA[j0] = m - 1; DEP[j0] = DEP[i0] + 1;}
}
}
int maxSZ, x, n0, root0;
rre(i, n) {
i0 = Q[i]; SZ[i0] = 1; maxSZ = 0;
for (int p=E[i0].next; p != i0; p=E[p].next) {SZ[i0] += SZ[j0 = E[p].b]; if (SZ[j0] > maxSZ) {maxSZ = SZ[j0]; x = p;}}
if (SZ[i0] > 1) E[x].Z = 1; //Attention
}
UP[0] = 0; ord[0] = 0; N = 0;
re2(i, 1, n) {
i0 = Q[i]; x = FA[i0]; if (E[x].Z) {UP[i0] = UP[E[x].a]; ord[i0] = ord[E[x].a] + 1;} else {UP[i0] = i0; ord[i0] = 0;}
if (SZ[i0] == 1 && ord[i0]) {
j0 = UP[i0]; n0 = ord[i0];
for (int j=i0; j!=j0; j=E[FA[j]].a) {tot[j] = ord[i0]; W0[--n0] = E[FA[j]].w;} tot[j0] = ord[i0]; //Attention
root0 = mkt(0, ord[i0] - 1); //Attention
for (int j=i0; j!=j0; j=E[FA[j]].a) root[j] = root0; root[j0] = root0; //Attention
}
}
re(i, n) {st[i] = E[i].next; FF[i] = -1;} stk[0] = 0; int tp = 0; n1 = 1; A[0] = FF[0] = 0;
while (tp >= 0) {
i0 = stk[tp]; x = st[i0];
if (x != i0) {
j0 = E[x].b; if (FF[j0] == -1) FF[j0] = n1; A[n1++] = j0; st[i0] = E[x].next; stk[++tp] = j0;
} else {
if (tp) A[n1++] = stk[tp - 1];
tp--;
}
}
rre(i, n1) {
A0[i][0] = A[i]; x = 1;
re2(j, 1, MAXS) if (i + (x << 1) <= n1) {
if (DEP[A0[i][j - 1]] <= DEP[A0[i + x][j - 1]]) A0[i][j] = A0[i][j - 1]; else A0[i][j] = A0[i + x][j - 1]; //Attention
x <<= 1;
} else break;
}
int _x; x = 1;
re(i, MAXS) {
_x = x << 1;
if (_x < n1) re2(j, x, _x) LOG[j] = i; else {re2(j, x, n1) LOG[j] = i; break;}
x = _x;
}
}
void opr0(int l, int r, int No)
{
if (l == l0 && r == l0) T[No].maxv = x0; else {
int mid = l + r >> 1, lch = T[No].lch, rch = T[No].rch;
if (mid >= l0) opr0(l, mid, lch);
if (mid < l0) opr0(mid + 1, r, rch);
if (T[lch].maxv >= T[rch].maxv) T[No].maxv = T[lch].maxv; else T[No].maxv = T[rch].maxv;
}
}
void opr1(int l, int r, int No)
{
if (l >= l0 && r <= r0) {
if (T[No].maxv > res) res = T[No].maxv;
} else {
int mid = l + r >> 1;
if (mid >= l0) opr1(l, mid, T[No].lch);
if (mid < r0) opr1(mid + 1, r, T[No].rch);
}
}
int main()
{
int tests, a0, b0, w0, LCA, LOG0, FF0, FF1, p0, tmp;
char ss[20], ch;
scanf("%d", &tests);
re(testno, tests) {
scanf("%d", &n); init_d();
re(i, n-1) {scanf("%d%d%d", &a0, &b0, &w0); add_edge0(--a0, --b0, w0); _a[i] = a0; _b[i] = b0;}
prepare(); ch = getchar();
while (1) {
scanf("%s", ss);
if (!strcmp(ss, "QUERY")) {
scanf("%d%d%*c", &a0, &b0); --a0; --b0;
if (a0 == b0) res = 0; else res = -INF;
FF0 = FF[a0]; FF1 = FF[b0];
if (FF0 > FF1) {tmp = FF0; FF0 = FF1; FF1 = tmp;}
LOG0 = LOG[FF1 - FF0 + 1];
if (DEP[A0[FF0][LOG0]] <= DEP[A0[FF1 - (1 << LOG0) + 1][LOG0]]) LCA = A0[FF0][LOG0]; else LCA = A0[FF1 - (1 << LOG0) + 1][LOG0];
while (a0 != LCA) {
p0 = FA[a0];
if (E[p0].Z) {
r0 = ord[a0] - 1; if (DEP[UP[a0]] >= DEP[LCA]) l0 = 0; else l0 = ord[LCA]; //Attention
if (l0 <= r0) opr1(0, tot[a0] - 1, root[a0]); //Attention
if (l0) a0 = LCA; else a0 = UP[a0];
} else {
if (E[p0].w > res) res = E[p0].w;
a0 = E[p0].a;
}
}
while (b0 != LCA) {
p0 = FA[b0];
if (E[p0].Z) {
r0 = ord[b0] - 1; if (DEP[UP[b0]] >= DEP[LCA]) l0 = 0; else l0 = ord[LCA]; //Attention
if (l0 <= r0) opr1(0, tot[b0] - 1, root[b0]); //Attention
if (l0) b0 = LCA; else b0 = UP[b0];
} else {
if (E[p0].w > res) res = E[p0].w;
b0 = E[p0].a;
}
}
printf("%d\n", res);
} else if (!strcmp(ss, "CHANGE")) {
scanf("%d%d", &a0, &w0); b0 = _b[--a0]; a0 = _a[a0];
if (FA[b0] == -1 || E[FA[b0]].a != a0) {tmp = a0; a0 = b0; b0 = tmp;}
p0 = FA[b0];
if (E[p0].Z) {
l0 = ord[a0]; x0 = w0; opr0(0, tot[a0] - 1, root[a0]);
} else E[p0].w = w0;
} else break;
}
}
return 0;
}
樹的路徑剖分是解決樹上路徑的操作查詢問題的有力工具，它還有一些更為強大的應用，以后再來搞……