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積分與排名

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動量守恒與能量守恒相矛盾嗎？

https://www.zhihu.com/question/21540160

證明末動能小于初動能：

牛頓定律 $\mathbf{F }_{i }=m \mathbf{a }_{i }=m _{i }\frac{\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, }{\, \mathrm{d } \, t \, }$ ，Fi是第i個物體受的合力

$\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,$

$\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\cdot \dot{\mathbf{r }}_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, =m _{i }\dot{\mathbf{r }}_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,$

$\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, =\, \mathrm{d } \left( \frac{1 }{2 }m _{i }{\dot{\mathbf{r }}_{i }}^{2 }\right) \,$

咱們用T表動能

$\Rightarrow \sum _{i }\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; =\sum _{i }\, \mathrm{d } \left( \frac{1 }{2 }m _{i }{\dot{\mathbf{r }}_{i }}^{2 }\right) \, \; =\sum _{i }\, \mathrm{d } \, T _{i } \, \;$

而 $\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; =\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( i \right) }} \cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; +\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }} \cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \;$ i表內，e表外

$=\, \mathrm{d } \, W _{外 } \, +\, \mathrm{d } \, W _{內 } \,$

$\Rightarrow \, \mathrm{d } \, W _{外 } \, +\, \mathrm{d } \, W _{內 } \, =\sum _{i }\, \mathrm{d } \, T _{i } \, \;$

積個分

$\Rightarrow W _{外 }+W _{內 }=\sum _{i }\Delta T _{i }\;$ 這是動能定理

如果非彈性碰撞的話，物體在受擠壓力的時候向內凹陷，一定有內力負功，還有很少摩擦力，按物理語言，這些功轉成了熱

$W _{外 }+W _{內 }=-Q < 0$

所以動能關系

${\left( \sum _{i }T _{i }\; \right) }_{末 }< {\left( \sum _{i }T _{i }\; \right) }_{初 }$

動量守恒：

$\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,$

$\Rightarrow \sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, \;$

$\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( i \right) }}\, \mathrm{d } \, t \, \; +\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }} \, \mathrm{d } \, t \, \;$

而物體間內力是成對出現的

$\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( i \right) }}\; =\sum _{i \neq j }\mathbf{F }_{i j }\;$

我們還有牛頓第三定律：

$\sum _{i \neq j }\mathbf{F }_{i j }\; =0$

所以合力的沖量元即為合外力的沖量元

$\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }} \, \mathrm{d } \, t \, \;$

用Ii表示第i個物體受合外力的沖量

$\, \mathrm{d } \, \mathbf{I }_{i } \, ={\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }}\, \mathrm{d } \, t \,$

$\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }\, \mathrm{d } \, \mathbf{I }_{i } \, \; =\, \mathrm{d } \, \mathbf{I } \,$

所以動量定理的微分式我們也有了，I是體系合外力的沖量

$\, \mathrm{d } \, \mathbf{I } \, =\sum _{i }m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, \;$

碰撞的話，一瞬間質點系的合外力為零

$\mathbf{I }=\mathbf{0 }$

自然有

$\sum _{i }m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, \; =\mathbf{0 }$

所以積分后就有我們的動量守恒律：

$\sum _{i }m _{i }\dot{\mathbf{r }}_{i }\; =常$

$\sum _{i }m _{i }\mathbf{v }_{i }\; =守恒量$

作者：沈飛
鏈接：https://www.zhihu.com/question/21540160/answer/469870033
來源：知乎
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posted on 2018-11-20 16:32 zmj 閱讀(366) 評論(0) 編輯收藏引用

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