http://sighingnow.github.io/graphics/projection_and_camera.html
投影與相機空間
Published On August 14, 2015
計算機屏幕是2維的，OpenGL渲染的3D場景必須以2D形式的圖像投影到屏幕上。
透視投影
透視投影能較好的使二維投影顯示立體感，因為人眼觀看物體符合透視原理。首先，將所有頂點從眼坐標(biāo)(照相機坐標(biāo))轉(zhuǎn)換到裁剪坐標(biāo)系下。然后，這些裁剪坐標(biāo)通過透視除法，即除以裁剪坐標(biāo)中w分量，轉(zhuǎn)換到歸一化設(shè)備坐標(biāo)系(NDC)。在透視投影中，在眼坐標(biāo)下截頭椎體(a truncated pyramid frustum)內(nèi)的3D點被映射到NDC下一個立方體中；x坐標(biāo)從[l,r]映射到[-1,1],y坐標(biāo)從[b,t]映射到[-1,1]，z坐標(biāo)從[n,f]映射到[-1,1]。
世界坐標(biāo)和眼坐標(biāo)系使用右手坐標(biāo)系，而NDC使用左手坐標(biāo)系。這就是說，眼坐標(biāo)系下，在原點處的照相機朝著-Z軸看去，但是在NDC中它朝著+Z軸看去。如下圖所示：
由幾何關(guān)系，可以推導(dǎo)出對稱視錐(常見的都是對稱視錐，也符合人眼看物理的規(guī)律)的投影變換矩陣如下：
其中，n為眼睛與近平面的距離(near)，f為眼睛與遠(yuǎn)平面的距離(far)，r為設(shè)備的寬度，t為設(shè)備的高度。
如何定義視界角度為alpha，定義設(shè)備的寬高比為 ar = width/height, 那么，投影矩陣也可以表述為：
對應(yīng)的代碼實現(xiàn)：
PipeLine & PipeLine::PerspectiveProject(float ar, float alpha, float znear, float zfar) { mat4x4f PrespectiveM = { 1.0f/(tanf(alpha/2.0)*ar), 0.0f , 0.0f , 0.0f, 0.0f , 1.0f/(tanf(alpha/2.0)), 0.0f , 0.0f, 0.0f , 0.0f , (-znear-zfar)/(znear-zfar), (2*zfar*znear)/(znear-zfar), 0.0f , 0.0f , 1.0f , 0.0f }; mulmatf(PrespectiveM, M, M, 4, 4, 4); return *this; }
投影變換對應(yīng)的矩陣稱為投影(projection)矩陣。
正交投影
構(gòu)造正交投影(Orithographic Projection)的矩陣簡單很多。所有的是眼坐標(biāo)下xe, ye 和ze，都被線性的映射到NDC中。我們需要做的就是講長方體視景體縮放為規(guī)范視見體，然后移動到原點。如下圖所示：
如果視錐是對稱的話，投影矩陣為：
相機空間
我們可以將相機放在三維空間的任意位置，然后將世界坐標(biāo)系中的點轉(zhuǎn)換到相機坐標(biāo)系中，然后投影到設(shè)備屏幕上。理論上可以生成這樣的變化矩陣，實現(xiàn)把一個位于3D空間的對象投影到坐落在世界坐標(biāo)系任意位置的相機正前方的2D平面上。
三維相機的一個示意圖：
與UVN相關(guān)的概念包括:
- 相機位置，或者叫做視點(eyepoint): 觀察參考點 (View Reference Point)
- 相機鏡頭方向，通過觀察平面的法向量指定: 觀察平面法向量VPN (View Plane Normal)
- 相機頂部正朝向: VUV (View Up Vector)
相機平移變換
移動相機是非常簡單的。如果相機位于（x，y，z），那么平移變換就是（-x,-y,-y）。原因很明顯——相機在世界坐標(biāo)系下用向量（x,y,z）做平移變換，所以想要相機回到原點，那么我們就需要使用此向量的相反向量進行平移。變換矩陣如下所示：
相機旋轉(zhuǎn)變換
下一步是將相機轉(zhuǎn)向世界坐標(biāo)系中指定的位置。我們想要找到在相機定義的新坐標(biāo)系下頂點的位置。“UVN相機”是眾多指定相機方向的辦法中的一個。相機被下列的矩陣所定義：
- N: 由相機指向它的目標(biāo)的向量。在一些3D的文獻中也被稱為’look at’。這個向量對應(yīng)于Z軸。
- V: 直立時，這個向量相對于相機是豎直向上的。這個向量對應(yīng)于Y軸。
- U: 這個向量從相機指向其右側(cè)。它對應(yīng)于X軸。
為了把一個位置從世界坐標(biāo)系空間轉(zhuǎn)換到被UVN向量定義的相機坐標(biāo)系空間，我們需要在位置和UVN向量之間進行一個點乘運算。我們可以把UVN系統(tǒng)看作是相機的基，從而可以方便的把一個向量在世界坐標(biāo)和相機坐標(biāo)進行轉(zhuǎn)換(將世界坐標(biāo)變換到相機坐標(biāo))。得到的相機旋轉(zhuǎn)變換矩陣：
下來討論這個變換矩陣的推導(dǎo)過程。對于一個相機，我們?nèi)菀字浪谌S坐標(biāo)(世界坐標(biāo)系)中的以下三個參數(shù)：
- pos: 相機的位置坐標(biāo)。
- target: 相機正前方的目標(biāo)點的坐標(biāo)。
- up: 相機的正上方(頭頂)的方向向量。(一般為(0.0f, 1.0f, 0.0f)，與人平視屏幕時的頭頂方向一致)。
根據(jù)這三個參數(shù)，注意到相機坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，根據(jù)向量叉積的性質(zhì)，容易求出：
N = norm(target - pos) U = norm(up * N) V = norm(N * U)
當(dāng)相機在屏幕中定位時，它首先會進行朝向的確定——旋轉(zhuǎn)，然后進行位置的確定——平移。因此，當(dāng)進行相機變換的時候，將世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換到相機坐標(biāo)系中的坐標(biāo)時，應(yīng)該進行一個相機定位的逆定位。先做逆平移變換，再做逆旋轉(zhuǎn)變換。
關(guān)于相機變換矩陣的推導(dǎo)，參考了博文[推導(dǎo)相機變換矩陣][http://blog.csdn.net/popy007/article/details/5120158]。
相機變換對應(yīng)的矩陣稱為視圖(view)矩陣，也稱為觀察矩陣。
數(shù)學(xué)運算庫 glm 中包含了一個lookUp函數(shù)，可以根據(jù)pos, target和up三個向量來直接計算出相機變換矩陣：
glm::mat4 View = glm::lookAt( glm::vec3(4,3,3), // Camera is at (4,3,3), in World Space glm::vec3(0,0,0), // and looks at the origin glm::vec3(0,1,0) // Head is up (set to 0,-1,0 to look upside-down) );
攝像機控制
通過相機變換矩陣，我們可以利用矩陣乘法將世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換到相機坐標(biāo)系中。通過修改pos, target 和 up 參數(shù)，我們可以在程序中動態(tài)完成相機的控制。但是這樣仍然不能很好的用于人機交互，通常使用的第一人稱相機，通過鍵盤WASD等鍵和鼠標(biāo)來控制虛擬相機更加方便，因此需要改進我們的相機控制。要想構(gòu)造適合人機交互的相機類，必須明確我們需要實現(xiàn)的目標(biāo)。第一人稱相機的目標(biāo)包括:鍵盤來移動相機，是相機前后左右移動，通過鼠標(biāo)來控制相機繞xy軸轉(zhuǎn)動角度，通過鼠標(biāo)滾輪來實現(xiàn)縮放。
第一人稱相機旋轉(zhuǎn)示意圖：
可以將相機在空間的旋轉(zhuǎn)、移動等變換都分解到 U、V、N 方向上進行，三個為了更好地表達(dá)對攝像機的控制，實現(xiàn)一個Camera類，代碼實現(xiàn)：
// implements for class Camera Camera::Camera(vec3f pos, vec3f target, vec3f up): POS(pos), TARGET(target), UP(up) { // initial camera. POS = pos; TARGET = target; UP = up; this->UpdateUVN(); } Camera & Camera::Translate(float du, float dv, float dn) { vec3f delta(du*U.x + dv*V.x + dn*N.x, du*U.y + dv*V.y + dn*N.y, du*U.z + dv*V.z + dn*N.z); POS = POS + delta; TARGET = TARGET + delta; return this->UpdateUVN(); } Camera & Camera::Rotate(float roll, float pitch, float yaw) { vec3f uu, vv, nn; uu = U, vv = V; U = uu * cosf(roll) - vv * sinf(roll); V = uu * sinf(roll) + vv * cosf(roll); vv = V, nn = N; V = vv * cosf(pitch) - nn * sinf(pitch); N = vv * sinf(pitch) + nn * cosf(pitch); // nn = N, uu = U; N = nn * cosf(yaw) - uu * sinf(yaw); U = nn * sinf(yaw) + uu * cosf(yaw); // update target and up. TARGET = POS + N; UP = V; return *this; } Camera & Camera::UpdateUVN() { // calculate the axis value of camera coordinate system. N = (TARGET - POS).Normalize(); U = (UP * N).Normalize(); V = (U * N).Normalize(); return *this; } mat4x4f & Camera::TransformM() { memset(M, 0x00, sizeof(M)); M[0][0] = M[1][1] = M[2][2] = M[3][3] = 1.0f; // calculate translation transform. mat4x4f TranslateM = { 1.0f, 0.0f, 0.0f, -POS.x, 0.0f, 1.0f, 0.0f, -POS.y, 0.0f, 0.0f, 1.0f, -POS.z, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f }; mulmatf(TranslateM, M, M, 4, 4, 4); // calculate rotation transform. mat4x4f RotateM = { U.x , U.y , U.z , 0.0f, V.x , V.y , V.z , 0.0f, N.x , N.y , N.z , 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f }; mulmatf(RotateM, M, M, 4, 4, 4); return this->M; }
方向鍵控制六個方向上的移動：
static void SpecialKeys(int key, int, int) { switch (key) { case GLUT_KEY_LEFT: camera.Translate(-STEP_VAL); break; case GLUT_KEY_RIGHT: camera.Translate(STEP_VAL); break; case GLUT_KEY_UP: camera.Translate(0.0f, STEP_VAL); break; case GLUT_KEY_DOWN: camera.Translate(0.0f, -STEP_VAL); break; case GLUT_KEY_PAGE_UP: camera.Translate(0.0f, 0.0f, STEP_VAL); break; case GLUT_KEY_PAGE_DOWN: camera.Translate(0.0f, 0.0f, -STEP_VAL); break; default: printf("Unknown Special Key: %d\n", key); break; } }
鼠標(biāo)拖拽：
glutMotionFunc(MotionFunc); glutMouseFunc(MouseFunc); static void MotionFunc(int x, int y) { if(mstate) { camera.Rotate(0.0f, ToRadian((_y-y)*Camera::MOUSE_SENSITIVITY), ToRadian((_x-x)*Camera::MOUSE_SENSITIVITY)); _x = x; _y = y; // update } } static void MouseFunc(int button, int state, int x, int y) { if(button == GLUT_LEFT_BUTTON) { if(state == GLUT_DOWN) { _x = x, _y = y; mstate = true; } else { mstate = false; } } }
MVP變換矩陣
M、V、P 分別指模型(model)，視圖(view)和投影(projection)。MVP矩陣是模型、視圖、以及投影變換三者結(jié)合起來的變換矩陣。變換順序為：模型 -> 視圖 -> 投影。變換方程表達(dá)：
MVP = model * view * projection MVPTransform = model * view * projection * origin
在實際編程中，可以使用glm庫來方便地實現(xiàn)這些操作：
// Projection matrix : 45° Field of View, 4:3 ratio, display range : 0.1 unit <-> 100 units glm::mat4 Projection = glm::perspective(45.0f, 4.0f / 3.0f, 0.1f, 100.0f); // Camera matrix glm::mat4 View = glm::lookAt( glm::vec3(4,3,3), // Camera is at (4,3,3), in World Space glm::vec3(0,0,0), // and looks at the origin glm::vec3(0,1,0) // Head is up (set to 0,-1,0 to look upside-down) ); // Model matrix : an identity matrix (model will be at the origin) glm::mat4 Model = glm::mat4(1.0f); // Changes for each model ! // Our ModelViewProjection : multiplication of our 3 matrices glm::mat4 MVP = Projection * View * Model; // Remember, matrix multiplication is the other way around
深度緩沖（Z-Buffer）
在OpenGL繪圖過程中，我們會遇到這樣的問題：一些理應(yīng)被遮擋的面，因為繪制次序靠后，竟然變成可見的了。我們將用深度緩沖（Z-Buffer）算法解決它。
該問題的解決方案是：在緩沖中存儲每個片段的深度（即“Z”值）；并且每次繪制片段之前要比較當(dāng)前與先前片段的深度值，看誰離攝像機更近。
我們可以自己實現(xiàn)深度緩沖，但讓硬件自動完成更簡單：
// Enable depth test glEnable(GL_DEPTH_TEST); // Accept fragment if it closer to the camera than the former one glDepthFunc(GL_LESS);
問題解決了。
參考
- 深入投影變換
- OpenGL學(xué)習(xí)腳印: 投影矩陣的推導(dǎo)
- 推導(dǎo)相機變換矩陣