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數論(2)-------擴展歐幾里得算法

擴展歐幾里得算法------求解線性方程ax+by=c

1.應用:
      線性方程ax+by=c ,已知a,b,c,求解x,y.

2.基本思路:
    
      ax+by=c有解 => c=k*gcd(a,b)=kd(因為d=gcd(a,b)=>d|(ax+by))
      
      我們先考慮求解  ax+by=d
        由歐幾里得算法,d=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b])y'    
        則由上述兩式子,我們可以得出 x=y' ,y=x'-[a/b]y'
        這樣子,在歐幾里得算法添加x,y變量,最后得到解。(可結合下面代碼源代碼進行理解)

      接下來我們來看看ax'+by'=d和ax+by=c之間的關系
      
        (c/d)ax'+(c/d)by'=(c/d)d 即 可以得到 x=(c/d)x',y=(c/d)y'
         
         所以可以得到ax+by的一組解
         那么ax+by=c所有解的形式是什么呢?
             a(x+qb)+b(y-qa)=c; q為任意整數
(注意,當要求y-qa的最小正整數min時,由y-qa>=0, q取[y/a]最小,min=y-[y/a]y,但是,[y/a]可能為0,如果y是負數,min此時也為負數,不好,此時令min+=a就可以取得最小正整數值了([y/a]=0所以|y|<a),這段可以自己找個例子好好理解下啊)

3.源代碼模板
 1int Extended_Euclid(int a,int b,int& x,int &y)
 2{
 3    if(b==0){
 4        x=1;
 5        y=0;
 6        return a;
 7    }

 8    int d=Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
 9    int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
10    return d;
11}

12//用擴展歐幾里得算法解線性方程ax+by=c;
13bool linearEquation(int a,int b,int c,int& x,int &y)
14{
15    int d=Extended_Euclid(a,b,x,y);
16    if(c%d) return false;
17
18    int k=c/d;
19    x*=k;y*=k;//求的只是其中一個解
20    return true;
21}

四.學習心得
    擴展歐幾里得算法的妙用,值得好好體會,對整個過程自己可以找個例子好好印證一下,肯定印象深刻。去Google一下POJ上的這方面的題目好好實踐一下吧!!!

posted on 2009-09-05 16:51 原語餓狼 閱讀(4258) 評論(4)  編輯 收藏 引用 所屬分類: 數論

評論

# re: 數論(2)-------擴展歐幾里得算法 2011-02-02 09:34 ding

頂  回復  更多評論   

# re: 數論(2)-------擴展歐幾里得算法 2011-04-07 23:08 曉楠

由歐幾里得算法,d=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b])y'

這句話應該是
d=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b]y')
  回復  更多評論   

# re: 數論(2)-------擴展歐幾里得算法 2011-10-03 17:34 CrazyForAC

min=y-[y/a]y錯了.  回復  更多評論   

# re: 數論(2)-------擴展歐幾里得算法 2013-12-15 20:43 s

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不為0)  回復  更多評論   

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